Die Impulserhaltung bei der Kontrollvolumenanalyse wird als Kräftebilanz für einen festen oder sich bewegenden Flüssigkeitsbereich formuliert. Unter Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes mit dem Reynolds-Transporttheorem entspricht die Rate der Impulsakkumulation innerhalb des Kontrollvolumens plus dem konvektiven Nettoimpulsfluss durch die Kontrollfläche der gesamten äußeren Kraft. Die Gesamtkraft wird in Volumenkräfte, die im gesamten Flüssigkeitsvolumen wirken, und Oberflächenkräfte, die durch Druck- und viskose Spannungen über die Kontrollfläche wirken, aufgeteilt.

Die Impulsgleichung für ein Kontrollvolumen lautet [ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho \mathbf{v},dV +\oint_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA =\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV +\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA. ] Die rechte Seite enthält den Beitrag der Volumenkraft und den Beitrag der Oberflächenkraft.

Wie die Impulserhaltung formuliert wird

Ausgangspunkt: das zweite Newtonsche Gesetz

Für ein materielles System besagt das zweite Newtonsche Gesetz, dass die resultierende äußere Kraft der zeitlichen Änderung des Impulses entspricht:

[ \mathbf{F}_{\text{net}}

\frac{d}{dt}\int_{\text{system}}\rho\mathbf{v},dV. ]

Hierbei sind (\rho) die Flüssigkeitsdichte und (\mathbf{v}) der Geschwindigkeitsvektor.

Für ein materielles Fluidelement kann dieselbe Beziehung in Differentialform ausgedrückt werden als:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}, ]

wobei (D\mathbf{v}/Dt) die materielle Beschleunigung und (\mathbf{f}) die resultierende Kraft pro Volumeneinheit ist.

Anwendung des Reynolds-Transporttheorems

Ein Kontrollvolumen ist ein ausgewählter Raumbereich, durch den Flüssigkeit strömen kann. Das Reynolds-Transporttheorem überführt die Systembilanz in eine Kontrollvolumenbilanz, indem es sowohl den innerhalb des Volumens gespeicherten Impuls als auch den über seine Grenze transportierten Impuls berücksichtigt.

Für ein stationäres Kontrollvolumen gilt:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\mathbf{F}_{\text{net}}. ]

Der erste Term stellt die Impulsakkumulation innerhalb des Kontrollvolumens dar. Der zweite beschreibt den konvektiven Nettoimpulsstrom durch die Kontrollfläche.

Interpretation des konvektiven Impulsflusses

Der Vektor (\mathbf{n}) ist die nach außen gerichtete Einheitsnormale der Kontrollfläche. Die Größe (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) bezeichnet die Normalkomponente der Geschwindigkeit, die die Fläche durchquert.

In das Kontrollvolumen eintretende Flüssigkeit weist (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}<0) auf, während austretende Flüssigkeit (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}>0) aufweist. Diese Vorzeichenkonvention berücksichtigt automatisch die Impulsbeiträge am Ein- und Austritt.

Für eine stationäre, eindimensionale Strömung mit gleichförmigen Geschwindigkeitsprofilen vereinfacht sich die Bilanz häufig zu:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}. ]

Unterschiede zwischen Volumen- und Oberflächenkräften

Volumenkräfte wirken im gesamten Flüssigkeitsvolumen

Eine Volumenkraft wirkt direkt auf die Masse der Flüssigkeit im gesamten Kontrollvolumen. Sie erfordert keinen physischen Kontakt mit einer Begrenzung.

Der allgemeine Beitrag der Volumenkraft lautet:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV, ]

wobei (\mathbf{b}) die Volumenkraft pro Masseneinheit ist.

Das in den meisten verfahrenstechnischen Grundoperationen der Strömungsmechanik vorherrschende Beispiel ist die Schwerkraft:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV. ]

Für konstante Dichte und ein gleichförmiges Gravitationsfeld ergibt sich:

[ \mathbf{F}_V

\rho\mathbf{g}V_{CV}. ]

Die Schwerkraft ist bei hydrostatischen Druckberechnungen, vertikalen Rohrleitungen, Tanks, Kolonnen und Systemen mit Höhenänderungen von Bedeutung.

Oberflächenkräfte wirken über die Begrenzung

Eine Oberflächenkraft wirkt über die Kontrollfläche auf die Flüssigkeit. Diese Kräfte entstehen durch benachbarte Flüssigkeit, feste Wände, Pumpen, Ventile und andere Kontaktflächen.

Der allgemeine Ausdruck lautet:

[ \mathbf{F}_S

\oint_{CS}\mathbf{s}(\mathbf{n}),dA

\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA, ]

wobei (\mathbf{s}(\mathbf{n})) der Oberflächentraktionsvektor und (\boldsymbol{\sigma}) der Spannungstensor ist.

Oberflächenkräfte bestehen hauptsächlich aus zwei Komponenten:

[ \boldsymbol{\sigma}

-p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}. ]

Der Term (-p\mathbf{I}) stellt die isotrope Druckspannung dar. Der Tensor (\boldsymbol{\tau}) beschreibt die durch Geschwindigkeitsgradienten verursachte viskose oder deviatorische Spannung.

Druckkräfte wirken normal

Der Druck wirkt senkrecht zur Oberfläche. Sein Beitrag lautet:

[ \mathbf{F}_p

-\oint_{CS}p\mathbf{n},dA. ]

Das negative Vorzeichen folgt aus der Konvention der nach außen gerichteten Normalen: Der auf die Flüssigkeit ausgeübte Druck zeigt relativ zur umgebenden Oberfläche nach innen.

Druckkräfte sind für Impulsbilanzen in Reduzierstücken, Düsen, Bögen, Pumpen und Rohrleitungsarmaturen von zentraler Bedeutung. Ihre Resultierende kann Schubkräfte, Reaktionskräfte oder Beziehungen für Druckabfälle erzeugen.

Viskose Kräfte wirken tangential

Die viskose Schubspannung wirkt überwiegend tangential zu einer Wand oder Flüssigkeitsgrenzfläche. An einer festen Wand steht sie mit dem Geschwindigkeitsgradienten in der Nähe der Begrenzung in Zusammenhang.

Der viskose Beitrag wird dargestellt durch:

[ \mathbf{F}_{\tau}

\oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

Bei Innenströmungen erzeugt die Wandschubspannung Reibungsdruckverluste. Diese Verluste beeinflussen die Auslegung von Pumpen, die Betriebsleistung und die hydraulische Leistungsfähigkeit von Rohrleitungsnetzen.

Die vollständige Kräftebilanz für ein Kontrollvolumen

Durch Kombination der Impulstransportterme mit den Volumen- und Oberflächenkräften ergibt sich:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV

\oint_{CS}p\mathbf{n},dA + \oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

Diese Gleichung gilt unabhängig in jeder Koordinatenrichtung. Beispielsweise wird ein horizontaler Rohrbogen üblicherweise anhand der (x)- und (y)-Komponenten analysiert, um die erforderliche Stütz- oder Verankerungskraft zu bestimmen.

Vereinfachung im stationären Zustand

Unter stationären Bedingungen verschwindet die Impulsakkumulation:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV=0. ]

Die Gleichung besagt dann, dass der aus dem Kontrollvolumen austretende Nettoimpulsfluss der Summe der Volumen- und Oberflächenkräfte entspricht.

Diese Form ist besonders nützlich für die Analyse stationärer Rohrströmungen, Pumpstationen, Ventile, Rohrkrümmer und Reaktorzufuhrsysteme.

Eindimensionale Form für Ein- und Austritte

Für diskrete Ein- und Austritte kann die Impulsbilanz wie folgt geschrieben werden:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}}. ]

Der Massenstrom beträgt:

[ \dot{m}=\rho A v, ]

für einen gleichförmigen Strom mit der Querschnittsfläche (A) und der Geschwindigkeit (v).

Diese ingenieurtechnische Form ist praktisch, wenn die Ein- und Austrittsgeschwindigkeiten bekannt sind oder mithilfe der Kontinuitätsgleichung abgeschätzt werden können.

Warum diese Unterscheidung bei verfahrenstechnischen Grundoperationen wichtig ist

Vorhersage von Druckabfällen und Reibungsverlusten

Druckkräfte und Wandschubkräfte müssen bei der Berechnung von Druckänderungen in Rohrleitungen und Anlagen unterschieden werden. Druckdifferenzen liefern die Antriebskräfte, während die viskose Schubspannung für irreversible Reibungsverluste verantwortlich ist.

Diese Ergebnisse unterstützen die Pumpenauswahl und die Bewertung von Betriebsgrenzen in Versuchsanlagen im Pilotmaßstab.

Bewertung von Anlagen- und Rohrleitungskräften

Der Impulsfluss kann seine Richtung ändern, auch wenn sein Betrag konstant bleibt. Ein Rohrbogen erfährt daher eine Reaktionskraft, weil sich der Impulsvektor der Flüssigkeit ändert.

Eine Kontrollvolumenbilanz liefert die auf die Flüssigkeit wirkende Kraft; die gleich große und entgegengesetzte Kraft bestimmt die auf die Armatur, die Halterung oder die Anlage übertragene Belastung.

Berücksichtigung von Höhen- und hydrostatischen Effekten

Volumenkräfte werden bedeutsam, wenn das Kontrollvolumen eine erhebliche vertikale Ausdehnung besitzt oder wenn die Flüssigkeit ruht oder sich langsam bewegt. Die Schwerkraft trägt dann zur Druckverteilung und zur hydrostatischen Druckhöhe bei.

In vertikalen Kolonnen und Tanks kann das Weglassen des Volumenkraftterms zu einer falschen Vorhersage von Druck oder Kraft führen.

Verständnis der Abwägungen

Integralbilanzen erfordern eine geeignete Mittelwertbildung

Die Kontrollvolumengleichung ist exakt, doch praktische Berechnungen verwenden häufig mittlere Geschwindigkeiten, gleichförmige Profile und vereinfachte Druckverteilungen. Diese Näherungen können bei stark sich entwickelnden, turbulenten, abgelösten oder mehrphasigen Strömungen unzureichend sein.

Geschwindigkeitsprofil-Korrekturfaktoren können erforderlich sein, wenn die Geschwindigkeitsverteilung deutlich von einer gleichförmigen Verteilung abweicht.

Druck und Schubspannung können nicht gleichgesetzt werden

Druck ist eine Normalspannung, während viskose Schubspannung eine Tangentialspannung ist. Wenn alle Oberflächenkräfte als Druckkräfte behandelt werden, kann dies zu einer falschen resultierenden Kraft führen und Reibungsverluste unterschätzen.

Umgekehrt kann die Berücksichtigung von Wandschubspannung, wenn sie vernachlässigbar ist, unnötige Komplexität hinzufügen, ohne das Ergebnis zu verbessern.

Das gewählte Kontrollvolumen beeinflusst die Berechnung

Die Kontrollfläche sollte dort platziert werden, wo Drücke, Geschwindigkeiten und Durchflussraten bekannt sind oder zuverlässig abgeschätzt werden können. Ein schlecht gewähltes Kontrollvolumen kann unbekannte Wandkräfte oder unnötige Grenzflächen einführen.

Bei Anlagen mit internen Komponenten kann die Wahl von Grenzen um die gesamte Einheit die Bilanz vereinfachen, da interne Kräfte durch eine resultierende äußere Kraft ersetzt werden.

Die Impulsanalyse ersetzt keine Energieanalyse

Die Impulserhaltung bestimmt Kräfte und Impulsänderungen, ermittelt jedoch nicht allein Temperaturänderungen, Wärmeübertragung oder Verluste mechanischer Energie. Für thermische Anlagen, Pumpenleistung und die Analyse von Wärmetauschern sind Energiebilanzen erforderlich.

Bei der vollständigen Auslegung verfahrenstechnischer Anlagen werden Massen-, Impuls- und Energiebilanzen gemeinsam verwendet.

Die richtige Wahl für Ihr Ziel

Verwenden Sie die Impulsgleichung für ein Kontrollvolumen, indem Sie das Kontrollvolumen festlegen, die Impulsflüsse am Ein- und Austritt bestimmen und jeden Beitrag der Volumen- und Oberflächenkräfte bewerten.

• Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Vorhersage von Druckabfällen liegt: Berücksichtigen Sie Druck- und Wandschubbeiträge sorgfältig und verwenden Sie geeignete Korrelationen für Geschwindigkeitsprofile oder Reibungsfaktoren.
• Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Auslegung von Pumpen und Rohrleitungen liegt: Wenden Sie die stationäre Impulsbilanz an, um Druckkräfte, Reaktionen der Anlage und Stützlasten zu bestimmen.
• Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf vertikalen oder hydrostatischen Systemen liegt: Beziehen Sie den Volumenkraftterm (\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV) ein und berücksichtigen Sie Höheneffekte ausdrücklich.
• Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Maßstabsvergrößerung von Pilotanlagen liegt: Kombinieren Sie Impulsbilanzen mit Kontinuitäts- und Energiebilanzen, damit Strömungsverteilung, Druckverluste und thermische Effekte konsistent bewertet werden.

Ein gut gewähltes Kontrollvolumen macht die Impulserhaltung in Flüssigkeiten zu einer direkten, quantitativen Verbindung zwischen dem Strömungsverhalten und den auf verfahrenstechnische Anlagen wirkenden Kräften.

Zusammenfassungstabelle:

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