Für viskose Fluidströmungen wird die Energiebilanz formuliert, indem die Gesamtenergie in thermische und mechanische Beiträge aufgeteilt wird. Die Gesamtenergiebilanz erfasst die innere, kinetische und potenzielle Energie und berücksichtigt dabei Wärmeleitung sowie die durch Druck- und viskose Spannungen verrichtete Arbeit. Durch Subtraktion der mechanischen Energiebilanz werden die thermischen Auswirkungen von Kompression oder Expansion sowie die irreversible Umwandlung mechanischer Energie in Wärme durch viskose Dissipation sichtbar.

Die grundlegende Formulierung kombiniert eine Gesamtenergiebilanz mit einer mechanischen Energiebilanz. Für viskose Fluide muss die Gleichung der inneren Energie Wärmeleitung, Druckarbeitseffekte und den Term der viskosen Dissipation (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}) enthalten, der bei Operationen mit hoher Viskosität oder hoher Scherung von Bedeutung sein kann.

Mit der Gesamtenergiebilanz beginnen

Energie eines Fluidelements

Die spezifische Gesamtenergie pro Masseneinheit ist

[ e_t = u + \frac{v^2}{2} + gz ]

wobei (u) die innere Energie, (v^2/2) die kinetische Energie und (gz) die potenzielle Energie bezeichnet.

Für ein Fluidelement kann die Bilanz nach dem ersten Hauptsatz wie folgt geschrieben werden:

[ \rho \frac{D e_t}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{v}) + \rho \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

wobei (\rho) die Dichte, (\mathbf{q}) der Wärmeleitungsfluss, (\boldsymbol{\sigma}) der gesamte Spannungstensor, (\mathbf{b}) die Körperkraft pro Masseneinheit und (\dot{q}_v) eine mögliche volumetrische Wärmequelle bezeichnet.

Wärmeleitung

Das Fourier-Gesetz definiert den Wärmeleitungsfluss:

[ \mathbf{q}=-k\nabla T ]

Daher lautet der Wärmeleitungsbeitrag zur Energiebilanz:

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}

\nabla\cdot(k\nabla T) ]

Für eine konstante Wärmeleitfähigkeit ergibt sich daraus (k\nabla^2T).

An einer ruhenden festen Wand ist die Fluidgeschwindigkeit an der Wand aufgrund der Haftbedingung gleich null. Der Wärmeübergang über die Grenzfläche wird daher durch den zur Wand normalen Wärmeleitungsfluss beschrieben:

[ q_w=-k\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_w ]

Der Temperaturgradient an der Wand bestimmt die lokale Wärmeübertragungsrate, die in Wärmetauschern, Verdampfern, Kühlschlangen und Reaktormänteln verwendet wird.

Spannungsarbeit

Der Spannungstensor wird üblicherweise zerlegt als

[ \boldsymbol{\sigma}=-P\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

wobei (P) den Druck und (\boldsymbol{\tau}) den deviatorischen oder viskosen Spannungstensor bezeichnet.

Der Term der Spannungsarbeit umfasst sowohl Druckarbeit als auch Arbeit der viskosen Spannungen. Diese Unterscheidung ist wesentlich, da Druckarbeit hauptsächlich eine reversible Übertragung mechanischer Energie darstellt, während viskose Spannungen irreversibel thermische Energie erzeugen können.

Die thermische Energiebilanz herleiten

Form der inneren Energie

Nach der Abtrennung der kinetischen und potenziellen Energie aus der Gesamtenergiebilanz und unter Verwendung der Impulsbilanz lautet die Gleichung der inneren Energie:

[ \rho\frac{D u}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q}

P\nabla\cdot\mathbf{v} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Hier bezeichnet (\mathbf{v}) das Geschwindigkeitsfeld, und der Doppelpunkt steht für die doppelte Kontraktion zweier Tensoren.

Die Terme haben eine direkte physikalische Bedeutung:

• (-\nabla\cdot\mathbf{q}): Netto-Wärmeleitung in das Fluidelement.
• (-P\nabla\cdot\mathbf{v}): Reversible Druck-Volumen-Arbeit.
• (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}): Irreversible Umwandlung mechanischer Energie in innere Energie durch Viskosität.
• (\dot{q}_v): Extern vorgegebene volumetrische Wärmeerzeugung.

Temperatur-Druck-Form

Für ein thermodynamisch charakterisiertes Fluid kann das Differential der inneren Energie durch Temperatur und Druck ausgedrückt werden. Eine zweckmäßige Form der thermischen Bilanz ist

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \left[ 1- \frac{T}{\rho} \left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_P \right] \frac{D P}{D t} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Der genaue Druckkoeffizient hängt von den verwendeten thermodynamischen Variablen und der Zustandsgleichung ab. Die wichtigen physikalischen Beiträge sind der druckinduzierte thermische Effekt und die viskose Dissipation.

Für konstantes (k) kann der Wärmeleitungsterm geschrieben werden als

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}=k\nabla^2T ]

Kompressibilität und Druckeffekte

Der Term mit (DP/Dt) beschreibt die reversible Erwärmung oder Abkühlung im Zusammenhang mit Kompression und Expansion. Er ist besonders relevant, wenn sich die Dichte deutlich ändert, etwa bei Gasen, kompressiblen Flüssigkeiten, schnellen Drucktransienten oder stark druckbeaufschlagten Anlagen.

Bei einer inkompressiblen Flüssigkeit mit nahezu konstanten Stoffeigenschaften ist dieser Temperatur-Druck-Beitrag in der thermischen Gleichung häufig vernachlässigbar. Der Druck kann in der separaten mechanischen Energiebilanz dennoch von Bedeutung sein.

Viskose Dissipation berücksichtigen

Allgemeiner Term der viskosen Erwärmung

Der Term

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

ist die Rate, mit der viskose mechanische Energie pro Volumeneinheit in Wärme umgewandelt wird.

Für ein physikalisch zulässiges Newtonsches Fluid ist er nichtnegativ und beschreibt die irreversible innere Erwärmung durch Geschwindigkeitsgradienten.

Newtonsches Fluid

Für ein Newtonsches Fluid gilt:

[ \boldsymbol{\tau}

\mu\left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

wobei (\mu) die dynamische Viskosität und (\lambda) der zweite Viskositätskoeffizient ist.

Die Dissipationsfunktion lautet daher

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

Für eine inkompressible Strömung mit konstanter Viskosität wird sie häufig mithilfe des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors (\mathbf{D}) ausgedrückt:

[ \Phi_v=2\mu,\mathbf{D}:\mathbf{D} ]

Warum die Viskosität bei Grundoperationen wichtig ist

Bei Strömungen mit niedriger Viskosität und geringer Scherung kann die viskose Erwärmung im Vergleich zum Wärmeaustausch über die Anlagenwand gering sein. Bei Polymeren, Schwerölen, konzentrierten biologischen Fluiden und intensiven Mischvorgängen kann sie jedoch zu einer bedeutenden internen Wärmequelle werden.

Dies kann dazu führen, dass die Fluidtemperatur ansteigt, selbst wenn die Anlage von außen gekühlt wird. Wird (\Phi_v) in solchen Systemen vernachlässigt, kann dies zu falschen Austrittstemperaturen, Wärmeübergangskoeffizienten, Verweilzeitprognosen und Anforderungen an die Kühlleistung führen.

Die mechanische Energiebilanz formulieren

Mechanische Energie pro Masseneinheit

Der mechanische Energiegehalt eines strömenden Fluids wird üblicherweise durch Druck-, kinetische und potenzielle Terme dargestellt:

[ \frac{P}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz ]

Für eine stationäre Strömung durch eine Grundoperation lautet eine praktische mechanische Energiebilanz pro Masseneinheit:

[ \frac{P_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + gz_1 + w_s

\frac{P_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + gz_2 + F ]

wobei (w_s) die dem Fluid zugeführte Wellenarbeit und (F) den Verlust mechanischer Energie pro Masseneinheit aufgrund von Reibung und anderen irreversiblen Effekten bezeichnet.

Umgestellt ergibt sich

[ w_s

\frac{P_2-P_1}{\rho} + \frac{v_2^2-v_1^2}{2} + g(z_2-z_1) + F ]

Das Vorzeichen von (w_s) hängt von der verwendeten Konvention ab. Die obige Gleichung definiert positives (w_s) als dem Fluid zugeführte Arbeit.

Differenzielle mechanische Bilanz

Eine differenzielle Form kann aus der Impulsgleichung hergeleitet werden, indem die Spannungsarbeit auf das Geschwindigkeitsfeld projiziert wird. Sie berücksichtigt die Arbeit des Druckgradienten, die Arbeit der Körperkräfte, Änderungen der kinetischen Energie, Wellenarbeit und viskose Verluste.

Bei praktischen Berechnungen im Pilotanlagenmaßstab ist die integrierte Form meist nützlicher, da sie die Pumpen- oder Verdichterarbeit direkt mit Druckanstieg, Geschwindigkeitsänderung, Höhenänderung und Reibungsverlust verknüpft.

Mechanische Bilanz für inkompressible Strömungen

Für eine Flüssigkeitsströmung mit konstanter Dichte lautet der häufig verwendete Ausdruck:

[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F

w_s ]

Die Multiplikation mit dem Massenstrom ergibt den erforderlichen Wellenleistungsbedarf:

[ \dot W_s

\dot m \left[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F \right] ]

Diese Beziehung unterstützt die Pumpenauswahl und die Vorhersage von Druckverlusten in Rohrleitungen, Armaturen, Wärmetauschern, Filtern, Mischern und anderen Modulen.

Mechanische Verluste mit der Wärmeerzeugung verknüpfen

Reibung ist nicht automatisch ein Wandwärmestrom

Der Reibungsterm (F) stellt den Abbau mechanischer Energie dar. Er sollte nicht automatisch als über die Wand übertragene Wärme in die thermische Bilanz eingesetzt werden.

Ein Teil der verlorenen mechanischen Energie wird durch viskose Dissipation lokal in innere Energie umgewandelt. Der verbleibende Teil kann vom Fluid transportiert und letztlich auf Anlagenoberflächen oder die Umgebung übertragen werden.

Lokale und übergreifende Bilanzen

Die differenzielle thermische Gleichung verwendet den lokalen Erzeugungsterm

[ \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

Eine übergreifende mechanische Bilanz verwendet den integrierten Verlust (F). Diese Größen sind durch räumliche Integration miteinander verbunden, aber ohne Berücksichtigung des Strömungsfelds und des Kontrollvolumens nicht austauschbar.

Diese Unterscheidung verhindert eine doppelte Erfassung der Reibungserwärmung, wenn sowohl thermische als auch mechanische Bilanzen auf dieselbe Grundoperation angewendet werden.

Wärme und Arbeit sind unterschiedliche Übertragungsarten

Wärme überschreitet eine Systemgrenze aufgrund eines Temperaturunterschieds. Arbeit überschreitet die Grenze durch mechanische, elektrische, Druck- oder Wellenkräfte.

Eine Pumpe oder ein Rührwerk führt dem Prozess Arbeit zu, während ein Kühlmantel Wärme abführt. Die Tatsache, dass mechanische Arbeit letztlich als thermische Energie auftreten kann, macht die ursprüngliche Übertragung der Wellenarbeit nicht zu einer Wärmeübertragung.

Die Abwägungen verstehen

Inkompressible Näherungen

Bei vielen flüssigen Grundoperationen werden Dichte, Viskosität und Wärmeleitfähigkeit als konstant angenommen. Dadurch vereinfacht sich die thermische Bilanz zu

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

k\nabla^2T + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Diese Näherung ist nur dann angemessen, wenn druckinduzierte Änderungen der Dichte und der Stoffeigenschaften im Betriebsbereich unbedeutend sind.

Vernachlässigung der viskosen Dissipation

Durch das Weglassen des viskosen Terms reduziert sich die Gleichung auf eine konventionelle Konvektions-Wärmeleitungs-Bilanz. Das ist bei Fluiden mit niedriger Viskosität häufig vertretbar, kann jedoch bei engen Durchgängen, hohen Drehzahlen, intensivem Mischen oder stark scherverdünnenden Materialien problematisch sein.

Entscheidend ist der Vergleich zwischen der Erzeugung viskoser Wärme und der Wärmeabfuhr über die Wand, nicht allein die Viskosität.

Stationäre Annahmen

Im stationären Zustand kann die lokale Akkumulation verschwinden, während konvektiver Transport, Wärmeleitung, Druckeffekte, viskose Dissipation und Wärmeaustausch weiterhin relevant sein können.

Stationärer Zustand bedeutet nicht, dass die thermische Bilanz vernachlässigbar ist. Er bedeutet, dass sich das Temperaturfeld an einem festen Ort nicht mehr mit der Zeit ändert.

Vereinfachungen vom Bernoulli-Typ

Wenn viskose Verluste, Wellenarbeit, Wärmeeffekte und Kompressibilität vernachlässigbar sind, reduziert sich die mechanische Bilanz auf eine Beziehung vom Bernoulli-Typ. Dies ist für idealisierte Strömungen nützlich, reicht jedoch im Allgemeinen nicht zur Auslegung realer Pumpen oder zur Analyse von Anlagen für hochviskose Fluide aus.

So wenden Sie dies auf Ihr Projekt an

Die richtige Bilanz hängt davon ab, ob das Ziel in der Vorhersage der Temperatur, der Berechnung des Anlagenarbeitsbedarfs oder der gemeinsamen Bewertung beider Effekte besteht.

• Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Temperaturvorhersage liegt: Verwenden Sie die Gleichung der inneren Energie oder die Temperaturgleichung mit Wärmeleitung, Konvektion, gegebenenfalls druckinduzierten thermischen Effekten, viskoser Dissipation und volumetrischer Wärmeerzeugung.
• Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Auslegung von Pumpen oder Verdichtern liegt: Verwenden Sie die mechanische Energiebilanz mit Druckänderung, Änderung der kinetischen Energie, Höhenänderung, Reibungsverlust und Wellenarbeit.
• Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf einer Operation mit hoher Viskosität oder hoher Scherung liegt: Behalten Sie (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}) bei und bewerten Sie, ob die viskose Erwärmung das Temperaturfeld wesentlich verändert.
• Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf einer kompressiblen oder schnell druckbeaufschlagten Strömung liegt: Behalten Sie den thermodynamischen Term (DP/Dt) bei und verwenden Sie eine konsistente Zustandsgleichung sowie ein konsistentes Stoffmodell.
• Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Gesamtbedarf einer Grundoperation liegt: Kombinieren Sie die lokale thermische Bilanz mit der integrierten mechanischen Bilanz und vermeiden Sie dabei eine doppelte Erfassung der Reibungsenergie.

Eine zuverlässige Formulierung hält Wärmetransport, mechanische Energie und ihre irreversible Umwandlung ausdrücklich miteinander verbunden, aber physikalisch getrennt.

Zusammenfassungstabelle:

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