Die instationäre Wärmeleitung in einem zylindrischen elektrischen Heizelement wird mit der radialen Wärmeleitungsgleichung, einer internen Joule-Wärmeerzeugung und einer konvektiven Randbedingung an der Oberfläche modelliert. Für einen langen Vollstab mit Radius (R), konstanten Stoffeigenschaften und gleichmäßiger elektrischer Wärmeerzeugung wird die dimensionslose Temperatur als stationäres radiales Profil plus eine unendliche Reihe abklingender Bessel-Funktionsmoden dargestellt. Die Abklingraten werden durch Eigenwerte bestimmt, die von der Biot-Zahl an der Oberfläche abhängen.

Die zentrale Idee besteht darin, die Temperatur in einen stationären Zustand aufgrund der Wärmeerzeugung und eine instationäre Korrektur aufzuteilen. Die Zylindersymmetrie führt zu räumlichen Eigenfunktionen (J_0(\lambda_n r)), während die Konvektion an der Staboberfläche die Eigenwerte über (\lambda_n J_1(\lambda_n)=\mathrm{Bi},J_0(\lambda_n)) bestimmt.

Definition des zylindrischen Heizproblems

Physikalische Annahmen

Ein häufig verwendetes Pilotanlagenmodell nimmt Folgendes an:

Das Heizelement ist ein langer Zylinder, sodass axiale Effekte und Endeffekte vernachlässigbar sind.
Die elektrische Wärmeerzeugung ist innerhalb des Festkörpers gleichmäßig.
Wärmeleitfähigkeit (k), Dichte (\rho) und Wärmekapazität (C_p) sind konstant.
Die Anfangstemperatur ist gleichmäßig.
Wärme verlässt die Außenfläche durch Konvektion an das umgebende Prozessfluid.

Diese Annahmen sind angemessen, wenn die Stablänge deutlich größer als der Radius ist und sich die elektrischen sowie materiellen Eigenschaften mit der Temperatur nicht wesentlich ändern.

Volumetrische elektrische Wärmeerzeugung

Die interne Wärmeerzeugungsrate wird als (q''') mit der Einheit (\mathrm{W/m^3}) geschrieben. Für ein Widerstandselement kann sie über die elektrischen Bedingungen wie folgt ausgedrückt werden:

[ q'''=\sigma E^2 ]

wobei (\sigma) der elektrische Widerstand und (E) die elektrische Feldstärke ist. Äquivalente Ausdrücke können unter Verwendung von Strom, Spannung, Widerstand und dem Volumen des Elements formuliert werden.

Grundlegende Energiegleichung

Bei Zylindersymmetrie lautet die instationäre Wärmeleitungsgleichung:

[ \rho C_p\frac{\partial T}{\partial t}

k\left[ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right) \right]+q''' ]

oder unter Verwendung der Temperaturleitfähigkeit (\alpha=k/(\rho C_p)):

[ \frac{\partial T}{\partial t}

\alpha\left[ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right) \right] +\frac{q'''}{\rho C_p}. ]

Die radiale Koordinate erfüllt (0\le r\le R).

Anwendung der Rand- und Anfangsbedingungen

Bedingung auf der Zylinderachse

Die Temperatur muss auf der Zylinderachse endlich bleiben. Aufgrund der Symmetrie muss der radiale Wärmestrom außerdem null sein:

[ \left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=0}=0. ]

Diese Bedingung eliminiert die Bessel-Funktion zweiter Art (Y_0), die bei (r=0) singulär ist.

Konvektive Randbedingung an der Oberfläche

An der Außenfläche steht die Wärmeleitung innerhalb des Stabs mit der Konvektion an das umgebende Fluid im Gleichgewicht:

[ -k\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R}

h,[T(R,t)-T_\infty], ]

wobei (h) der konvektive Wärmeübergangskoeffizient und (T_\infty) die Temperatur des Prozessfluids im Hauptstrom ist.

Dies ist eine Robin-Randbedingung oder gemischte Randbedingung, da sie sowohl die Temperatur als auch ihren Temperaturgradienten miteinander verknüpft.

Anfangsbedingung

Für einen gleichmäßig vorgewärmten oder anfänglich kalten Stab gilt:

[ T(r,0)=T_i. ]

Die Anfangsbedingung bestimmt, wie stark jede instationäre Eigenmode zum anschließenden Verhalten beiträgt.

Dimensionslose Formulierung

Dimensionslose Variablen

Der dimensionslose Radius, die dimensionslose Zeit und die dimensionslose Temperatur werden definiert als:

[ r^*=\frac{r}{R}, \qquad Fo=\frac{\alpha t}{R^2}, \qquad \Theta=\frac{k(T-T_\infty)}{q'''R^2}. ]

Die Fourier-Zahl (Fo) misst die verstrichene Zeit relativ zur charakteristischen internen Wärmeleitungszeit.

Die Biot-Zahl an der Oberfläche ist:

[ \mathrm{Bi}=\frac{hR}{k}. ]

Sie vergleicht den äußeren konvektiven Widerstand mit dem inneren Wärmeleitwiderstand.

Dimensionslose Gleichung

Die Grundgleichung lautet:

[ \frac{\partial \Theta}{\partial Fo}

\frac{1}{r^} \frac{\partial}{\partial r^} \left( r^\frac{\partial \Theta}{\partial r^} \right)+1. ]

Die dimensionslosen Randbedingungen sind:

[ \left.\frac{\partial \Theta}{\partial r^}\right|_{r^=0}=0 ]

und

[ -\left.\frac{\partial \Theta}{\partial r^}\right|_{r^=1}

\mathrm{Bi},\Theta(1,Fo). ]

Aufstellung der Temperaturlösung

Stationäres Temperaturprofil

Im stationären Zustand ist die Zeitableitung null:

[ \frac{1}{r^} \frac{d}{dr^} \left( r^\frac{d\Theta_{ss}}{dr^} \right)+1=0. ]

Durch Anwendung der Bedingungen auf der Zylinderachse und an der konvektiven Oberfläche ergibt sich:

[ \Theta_{ss}(r^*)

\frac{1}{2\mathrm{Bi}} + \frac{1}{4}(1-r^{*2}). ]

Der erste Term stellt den Temperaturanstieg dar, der mit der Konvektion von der Oberfläche zum Prozessfluid verbunden ist. Der zweite Term beschreibt den radialen Temperaturanstieg aufgrund der Wärmeleitung vom Zentrum zur Oberfläche.

Instationäre Korrektur

Die vollständige Lösung wird geschrieben als:

[ \Theta(r^*,Fo)

\Theta_{ss}(r^)+\theta(r^,Fo). ]

Die instationäre Korrektur erfüllt die homogene Diffusionsgleichung:

[ \frac{\partial \theta}{\partial Fo}

\frac{1}{r^} \frac{\partial}{\partial r^} \left( r^\frac{\partial \theta}{\partial r^} \right). ]

Die Variablentrennung führt zu:

[ \theta(r^*,Fo)

\sum_{n=1}^{\infty} A_n J_0(\lambda_n r^*) e^{-\lambda_n^2 Fo}. ]

Damit lautet das vollständige Temperaturfeld:

[ \boxed{ \Theta(r^*,Fo)

\frac{1}{2\mathrm{Bi}} + \frac{1}{4}(1-r^{2}) + \sum_{n=1}^{\infty} A_n J_0(\lambda_n r^) e^{-\lambda_n^2 Fo} } ]

wobei (J_0) die Bessel-Funktion erster Art und nullter Ordnung ist.

Eigenwertgleichung

Die Anwendung der konvektiven Randbedingung auf eine Mode (J_0(\lambda r^*)) ergibt:

[ \lambda_n J_1(\lambda_n)

\mathrm{Bi},J_0(\lambda_n), ]

oder gleichwertig:

[ \lambda_n

\mathrm{Bi}, \frac{J_0(\lambda_n)}{J_1(\lambda_n)}. ]

Die positiven Nullstellen (\lambda_n) werden numerisch bestimmt. Jede Nullstelle definiert eine radiale Temperaturmode.

Modenkoeffizienten

Die Koeffizienten werden bestimmt, indem die anfängliche Abweichung vom stationären Zustand in der Bessel-Funktionsbasis entwickelt wird:

[ A_n

\frac{ \displaystyle \int_0^1 r^* \left[\Theta(r^,0)-\Theta_{ss}(r^)\right] J_0(\lambda_n r^),dr^ }{ \displaystyle \int_0^1 r^J_0^2(\lambda_n r^),dr^* }. ]

Der Gewichtungsfaktor (r^*) ist aufgrund der Zylindergeometrie und der Orthogonalitätsbeziehung der Eigenfunktionen erforderlich.

Interpretation des Modells in einer Pilotanlage

Vorhersage der Aufheizzeit

Die langsamste Mode, die dem kleinsten Eigenwert (\lambda_1) zugeordnet ist, bestimmt in der Regel das Verhalten bei langen Zeiten:

[ \theta\sim A_1J_0(\lambda_1r^*)e^{-\lambda_1^2Fo}. ]

Damit können Ingenieure abschätzen, wie lange das Element benötigt, um sich seiner stationären Temperatur anzunähern, bevor eine vollständige Reihenberechnung durchgeführt wird.

Abschätzung der Oberflächen- und Zentrumstemperaturen

Das Modell liefert die Temperatur an jeder radialen Position. Insbesondere gilt:

Die Temperatur auf der Zylinderachse erhält man durch Setzen von (r^*=0), wobei (J_0(0)=1) gilt.
Die Oberflächentemperatur erhält man durch Setzen von (r^*=1).
Die höchste Temperatur tritt im Allgemeinen im Zentrum auf, da die Wärme durch den Stab nach außen geleitet werden muss.

Diese Vorhersagen sind wichtig, wenn der Heizer in ein Prozessfluid eingetaucht, in eine Wand eingebettet oder zur Wärmeversorgung eines mantelbeheizten oder rohrförmigen verfahrenstechnischen Apparats eingesetzt wird.

Bezug zur Fluidströmung

Die Biot-Zahl hängt vom Wärmeübergangskoeffizienten (h) ab. In einer Pilotanlage kann sich (h) mit Fluidgeschwindigkeit, Durchmischung, Viskosität und Strömungsregime ändern.

Diese Effekte werden üblicherweise durch Korrelationen mit Reynolds- und Nusselt-Zahlen beschrieben. Eine Änderung der Geschwindigkeit des Prozessfluids verändert daher (\mathrm{Bi}), die Eigenwerte, die Oberflächentemperatur und die gesamte Aufheizzeit.

Bewertung der konzentrierten Wärmekapazitätsnäherung

Wenn

[ \mathrm{Bi}<0.1, ]

sind die internen Temperaturgradienten häufig klein genug, dass der Stab durch eine einheitliche Temperatur angenähert werden kann. Die vollständige Bessel-Reihenlösung wird erforderlich, wenn der interne Wärmeleitwiderstand von Bedeutung ist und sich Zentrumstemperatur und Oberflächentemperatur deutlich unterscheiden.

Erweiterung des Modells auf reale Anlagen

Heizelemente endlicher Länge

Ein Modell für einen langen Zylinder vernachlässigt Wärmeverluste über die Enden. Bei kurzen Elementen hängt die Temperatur sowohl von (r) als auch von der axialen Koordinate (z) ab, sodass eine zwei- oder dreidimensionale Formulierung erforderlich ist.

Die Lösung umfasst dann gekoppelte radiale Bessel-Funktionen und axiale Eigenfunktionen.

Temperaturabhängige Stoffeigenschaften

Elektrischer Widerstand, Wärmeleitfähigkeit und Wärmekapazität können sich mit der Temperatur ändern. In diesem Fall sind (q'''), (k) und (\alpha) nicht länger konstant, und die analytische Reihenlösung muss möglicherweise durch eine numerische Zeitintegration ersetzt werden.

Verbundisolierungen und Wandsysteme

Wenn das Heizelement von einer Isolierung, einem Metallmantel oder einer Prozessbehälterwand umgeben ist, benötigt jede Schicht ihre eigene Wärmeleitungsgleichung. An jeder Grenzfläche muss das Modell Folgendes erfüllen:

[ T_1=T_2 ]

und

[ -k_1\frac{\partial T_1}{\partial r}

-k_2\frac{\partial T_2}{\partial r}. ]

Diese Bedingungen gewährleisten die Kontinuität von Temperatur und Wärmestrom über die Verbundstruktur hinweg.

Kopplung an das Prozessfluid

Die Randannahme eines konstanten (T_\infty) ist angemessen, wenn das umgebende Fluid gut durchmischt ist oder sich wie ein großes Wärmereservoir verhält. Ändert sich die Fluidtemperatur deutlich, muss das Heizermodell mit einer Fluidenergiebilanz gekoppelt werden, die Masse, Wärmekapazität, Durchflussrate, Wärmeübertragungsfläche und den Gesamtwärmeübergangskoeffizienten berücksichtigt.

Verständnis der Zielkonflikte

Analytische Lösung gegenüber numerischem Modell

Die Bessel-Reihenlösung ist schnell, transparent und für Auslegungsberechnungen sowie Lehrversuche nützlich. Sie wird weniger praktisch, wenn sich Geometrie, Stoffeigenschaften, Wärmeerzeugungsraten oder Randbedingungen mit der Zeit oder der Position ändern.

Finite-Differenzen-, Finite-Volumen- oder Finite-Elemente-Methoden bewältigen diese Komplikationen natürlicher, erfordern jedoch eine numerische Diskretisierung und Validierung.

Gleichmäßige gegenüber ungleichmäßiger Wärmeerzeugung

Das oben dargestellte analytische Profil setzt eine gleichmäßige volumetrische Wärmeerzeugung voraus. Eine ungleichmäßige elektrische Belastung, eine temperaturabhängige Widerstandsfähigkeit oder eine lokal begrenzte Erwärmung verändert den Quellterm und damit sowohl das stationäre Profil als auch das instationäre Verhalten.

Konstanter Wärmeübergangskoeffizient gegenüber veränderlichen Strömungsbedingungen

Die Verwendung eines konstanten (h) vereinfacht die Berechnung, aber die Strömungsbedingungen in einer Pilotanlage können sich während des Betriebs ändern. Rührgeschwindigkeit, Fluidviskosität, Phasenänderungen und Verschmutzung können (h) verändern. Daher sollten gemessene oder auf Korrelationen basierende Werte mit dem Betriebsbereich abgeglichen werden.

Zentrumstemperatur gegenüber mittlerer Temperatur

Die Zentrumstemperatur ist häufig die entscheidende Größe für Sicherheit oder Materialqualität, entspricht jedoch nicht der volumengemittelten Temperatur. Prozessenergiebilanzen können die mittlere Temperatur des Festkörpers erfordern, während Materialgrenzen von der höchsten Temperatur auf der Zylinderachse abhängen können.

Die richtige Wahl für Ihr Ziel

Das geeignete Modell hängt von der erforderlichen Genauigkeit, den verfügbaren Messungen und den Betriebsbedingungen ab.

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Abschätzung der Heizreaktionszeit liegt: Verwenden Sie die dimensionslosen Fourier- und Biot-Zahlen mit den ersten Bessel-Moden und prüfen Sie, ob die Näherung der konzentrierten Wärmekapazität gültig ist.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Vorhersage des heißesten Punkts liegt: Werten Sie die vollständige radiale Lösung auf der Zylinderachse aus, da die maximale Temperatur im Allgemeinen bei (r=0) auftritt.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Bestimmung der Konvektionsleistung liegt: Verwenden Sie gemessene oder auf Korrelationen basierende Werte für (h), um (\mathrm{Bi}) zu berechnen, und vergleichen Sie anschließend die vorhergesagten Oberflächentemperaturen und Aufheizraten mit den Daten der Pilotanlage.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Modellierung eines kurzen, isolierten oder aus mehreren Schichten bestehenden Elements liegt: Verwenden Sie ein mehrdimensionales oder mehrschichtiges numerisches Modell mit Temperatur- und Wärmestromabgleich an den Grenzflächen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Prozessregelung liegt: Koppeln Sie das zylindrische Wärmeleitungsmodell mit der Energie- oder Behälterbilanz des Fluids, anstatt die Temperatur des umgebenden Fluids als konstant zu behandeln.

Ein zylindrischer elektrischer Heizer wird somit durch die Kombination aus interner Joule-Wärmeerzeugung, radialer Wärmeleitung, konvektivem Wärmeverlust an der Oberfläche und instationären Bessel-Funktionsmoden modelliert, um seinen Temperaturverlauf während des gesamten Betriebs der Pilotanlage vorherzusagen.

Zusammenfassungstabelle:

Modellelement	Zweck	Wichtige Beziehung
Interne Wärmeerzeugung	Stellt die ohmsche elektrische Erwärmung dar	(q'''=\sigma E^2)
Radiale Wärmeleitungsgleichung	Beschreibt die instationäre Temperatur im Zylinder	(\rho C_p\frac{\partial T}{\partial t}=k\nabla_r^2T+q''')
Konvektion an der Oberfläche	Modelliert die Wärmeübertragung an das Prozessfluid	(-k\frac{\partial T}{\partial r}=h(T-T_\infty))
Fourier-Zahl	Misst den Fortschritt der internen Wärmediffusion	(Fo=\alpha t/R^2)
Biot-Zahl	Gibt die Bedeutung interner Temperaturgradienten an	(Bi=hR/k)
Bessel-Eigenfunktionen	Stellen die instationären zylindrischen Temperaturmoden dar	(J_0(\lambda_n r^*))
Eigenwertgleichung	Bestimmt die modalen Abklingraten	(\lambda_nJ_1(\lambda_n)=BiJ_0(\lambda_n))
Prüfung der konzentrierten Wärmekapazität	Ermittelt, wann ein Modell mit einheitlicher Temperatur ausreichend sein kann	Im Allgemeinen gültig, wenn (Bi<0.1)
Erweitertes numerisches Modell	Behandelt endliche Längen, Verbundschichten, veränderliche Stoffeigenschaften oder variable Fluidbedingungen	Verwendung von Finite-Differenzen-, Finite-Volumen- oder Finite-Elemente-Methoden

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