Die Stokes-Hypothese versagt, wenn sich molekulare Energie- oder chemische Modi nicht schnell genug an die Hauptströmung angleichen können. Sie ist eine sinnvolle Näherung für Gase mit niedriger Dichte, deren Moleküle einfache binäre Stöße ausführen und deren translatorische Energie sich nahe am Gleichgewicht befindet. Sie wird unzuverlässig in Gasen mit hoher Dichte, chemisch reagierenden Strömungen, Stoßwellen, intensiven akustischen Feldern sowie in Fluiden mit langsamen Rotations-, Vibrations- oder chemischen Relaxationsprozessen.
Die Volumenviskosität ist ungleich null, wenn Kompression oder Expansion das Fluid vorübergehend aus dem inneren thermodynamischen Gleichgewicht bringen. Die daraus resultierende verzögerte Relaxation erzeugt isotrope Spannungen und dissipiert mechanische Energie als Wärme, sodass der Druck nicht mehr angemessen allein durch das Modell der Stokes-Hypothese dargestellt werden kann.
Wann die Stokes-Hypothese gültig ist
Gase mit niedriger Dichte und schneller Gleichgewichtseinstellung
Bei einem verdünnten Gas, das von einfachen binären Molekülstößen dominiert wird, stellt sich das translatorische molekulare Energiegleichgewicht typischerweise schnell im Vergleich zur makroskopischen Zeitskala der Strömung ein.
Unter diesen Bedingungen wird die isotrope viskose Spannung häufig mithilfe der Stokes-Hypothese angenähert: Die Volumenviskosität wird als null angenommen oder, äquivalent dazu, der zweite Viskositätskoeffizient so festgelegt, dass er die klassische Stokes-Beziehung erfüllt.
Strömungen nahe am Gleichgewicht und mit schwacher Kompressibilität
Die Näherung ist am besten begründbar, wenn Dichteänderungen gering sind, Kompression und Expansion allmählich erfolgen und die Temperatur nahe am lokalen thermodynamischen Gleichgewicht bleibt.
In diesem Bereich reagieren die inneren molekularen Modi schnell genug, sodass zwischen Kompression und Druckreaktion keine signifikante Verzögerung entsteht.
Warum physikalische Relaxation zum Versagen führt
Langsamer Energietransfer zwischen translatorischen und inneren Modi
Komplexe Moleküle können zusätzlich zur Translationsbewegung Energie in Rotations- und Vibrationsfreiheitsgraden speichern.
Wenn der Energietransfer in diese Modi oder aus ihnen heraus im Vergleich zur Zeitskala von Kompression, Expansion oder akustischen Schwingungen langsam ist, bleiben die inneren Modi außerhalb des Gleichgewichts. Diese verzögerte Reaktion zeigt sich makroskopisch als ungleich null liegende Volumenviskosität.
Lokale Abweichungen vom chemischen Gleichgewicht
In reaktiven Fluiden können Kompression und Erwärmung die Reaktionsgeschwindigkeiten und Stoffkonzentrationen verändern.
Wenn chemische Reaktionen nicht schnell genug ablaufen, um das Gleichgewicht wiederherzustellen, bleibt die lokale Zusammensetzung hinter den Änderungen von Druck und Temperatur zurück. Die damit verbundene Relaxation trägt zur Volumenspannung bei und macht die Annahme einer vernachlässigbaren Volumenviskosität ungültig.
Einflüsse von Dichte und Druck
Bei höheren Gasdichten werden Molekülstöße häufiger und komplexer, als es das Modell einfacher binärer Stöße annimmt.
Wechselwirkungen mit mehreren Stoßpartnern, molekulare Assoziation, Dissoziation oder andere Mechanismen der inneren Relaxation können eine erhebliche volumetrische Dissipation verursachen. Die Näherung einer verschwindenden Volumenviskosität wird daher mit zunehmender Dichte und molekularer Komplexität weniger zuverlässig.
Strömungsbedingungen, unter denen das Versagen sichtbar wird
Stoßwellen
Eine Stoßwelle komprimiert das Fluid über eine sehr kurze Strecke und in sehr kurzer Zeit.
Die schnelle Kompression kann schneller erfolgen als die Vibrations-, Rotations- oder chemische Relaxation. Die Volumenviskosität trägt dann zur Struktur der Stoßwelle, zur Entropieerzeugung und zum Temperaturanstieg bei, sodass ein Modell mit verschwindender Volumenviskosität möglicherweise ungenau ist.
Intensive akustische Felder
Bei starken Schallwellen können die lokalen Druck- und Dichteschwankungen zu schnell auftreten, als dass sich die inneren molekularen Modi während jedes Zyklus ins Gleichgewicht bringen könnten.
Die Volumenviskosität verursacht dann eine zusätzliche akustische Dämpfung und thermische Dissipation. Der Effekt ist besonders wichtig, wenn die akustische Frequenz mit dem Kehrwert der Relaxationszeit eines molekularen oder chemischen Prozesses vergleichbar ist.
Starke Kompression und Expansion
Eine schnelle volumetrische Verformung erzeugt die größte Abweichung vom Gleichgewicht, weil die Volumenviskosität auf die Dehnrate wirkt, die durch die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes dargestellt wird.
Strömungen, die von Scherung dominiert werden, können weniger empfindlich auf die Volumenviskosität reagieren, während schnell komprimierte oder expandierende Strömungen selbst bei mäßiger Scherviskosität stark beeinflusst werden können.
Reaktive verfahrenstechnische Prozesse
Anlagen für Verbrennung, Hochtemperaturreaktionen, Dissoziation, Polymerisation oder andere Prozesse mit veränderlicher Zusammensetzung können Bereiche enthalten, in denen die chemische Relaxation langsam ist.
Reaktoren mit hoher Dichte, reaktive Stoßwellensysteme sowie stark erwärmte oder akustisch angeregte Anlagen erfordern daher mit größerer Wahrscheinlichkeit eine Behandlung mit endlicher Volumenviskosität.
Wie die Volumenviskosität die Energiebilanz verändert
Zusätzliche Dissipation von mechanischer in thermische Energie
Wenn die Volumenviskosität ungleich null ist, erzeugen isotrope Kompression und Expansion zusätzlich zur gewöhnlichen Scherdissipation eine viskose Erwärmung.
Dadurch wird ein Teil der mit der volumetrischen Bewegung verbundenen mechanischen Energie in innere Energie umgewandelt, wodurch sich die berechneten Temperaturfelder in komprimierten Bereichen verändern können.
Der Druck ist nicht mehr rein momentan
Bei Anwendung der Stokes-Hypothese wird der Druck als Gleichgewichtsdruck der Thermodynamik zuzüglich der durch die Standardformulierung des Newtonschen Fluids implizierten Effekte behandelt.
Wenn die Relaxation erheblich ist, hängt die isotrope Spannung auch von der Vorgeschichte oder der Kompressionsrate ab. Die mechanische Druckreaktion wird daher durch eine momentane Gleichgewichtszustandsgleichung nicht vollständig erfasst.
Kopplung mit Temperatur und Zusammensetzung
In reaktiven Systemen kann die Dissipation durch Volumenviskosität die Temperatur verändern, während Temperaturänderungen die Reaktionsgeschwindigkeiten und Relaxationszeiten beeinflussen.
Das Ergebnis ist eine gekoppelte Wechselwirkung zwischen Geschwindigkeitsdivergenz, Wärmetransport, molekularen Energiemodi und chemischer Zusammensetzung. Einfache Newtonsche Energiebilanzen benötigen möglicherweise zusätzliche Relaxations- oder Nichtgleichgewichtsterme.
Die Abwägungen verstehen
Die Näherung ist nützlich, aber an Bedingungen geknüpft
Die Annahme einer verschwindenden Volumenviskosität reduziert die Modellkomplexität und ist für gewöhnliche Strömungen verdünnter Gase außerhalb stark komprimierter oder reaktiver Bereiche häufig ausreichend.
Sie sollte jedoch als physikalische Näherung und nicht als universelle Eigenschaft von Gasen betrachtet werden.
Volumenviskosität ist nicht dasselbe wie Scherviskosität
Die Scherviskosität dissipiert Energie durch Geschwindigkeitsgradienten, die mit einer Formänderung verbunden sind.
Die Volumenviskosität dissipiert Energie durch eine Volumenänderung, beispielsweise durch Kompression und Expansion. Ein Gas kann eine gut charakterisierte Scherviskosität aufweisen und dennoch einen erheblichen Volumenviskositätskoeffizienten benötigen.
Ein konstanter Koeffizient kann unzureichend sein
Selbst wenn die Volumenviskosität berücksichtigt wird, kann ein einzelner konstanter Wert ein reaktives oder stark im Nichtgleichgewicht befindliches Fluid möglicherweise nicht genau darstellen.
Die effektive Reaktion kann von Temperatur, Druck, Zusammensetzung, Frequenz sowie den Relaxationszeiten molekularer und chemischer Modi abhängen.
Eine übermäßige Anwendung der Hypothese kann Vorhersagen verfälschen
Die Vernachlässigung der Volumenviskosität bei Stoßwellen oder schnellen akustischen Strömungen kann die vorhergesagte Stoßwellendicke, Wellendämpfung, Entropieerzeugung und Temperatur beeinflussen.
In reaktiven Systemen kann sie außerdem die lokalen Temperatur- und Zusammensetzungsfelder verschieben, was sich auf Reaktionsgeschwindigkeiten und die Gesamtleistung der Anlage auswirken kann.
Die richtige Wahl für Ihr Ziel treffen
Eine praktische Entscheidung sollte die dominante Zeitskala der Strömung mit den Relaxationszeiten der relevanten molekularen und chemischen Prozesse vergleichen.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf einer verdünnten Gasströmung mit niedriger Geschwindigkeit liegt: Die Stokes-Hypothese ist in der Regel eine vertretbare erste Näherung, sofern die Kompression schwach ist und das Gas nahe am lokalen Gleichgewicht bleibt.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Stoßwellen oder kompressiblen Hochgeschwindigkeitsströmungen liegt: Berücksichtigen Sie die Volumenviskosität oder ein relaxationsbasiertes Modell, da eine schnelle Kompression verhindern kann, dass sich die inneren Modi ins Gleichgewicht bringen.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf intensiver Akustik liegt: Bewerten Sie das Verhältnis zwischen Anregungsfrequenz und molekularen Relaxationszeiten, da eine ungleich null liegende Volumenviskosität die Druckwelle stark dämpfen kann.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Anlagen für reaktive Fluide liegt: Verwenden Sie ein Modell, das chemische Relaxation und Änderungen der Zusammensetzung berücksichtigt, wenn die Reaktionsgeschwindigkeiten im Verhältnis zu den Strömungs- und thermischen Zeitskalen nicht schnell genug sind.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Gasen mit hoher Dichte oder komplexen Molekülen liegt: Nehmen Sie keine verschwindende Volumenviskosität ohne Stoffdaten oder eine Begründung durch die Transporttheorie an, da Stoß- und Effekte innerer Modi die volumetrische Dissipation dominieren können.
Die Stokes-Hypothese ist nur dann zuverlässig, wenn die innere molekulare und chemische Gleichgewichtseinstellung schneller erfolgt als die modellierte makroskopische Kompression, Expansion oder Schwingung.
Zusammenfassungstabelle:
| Bedingung | Warum die Stokes-Hypothese versagt | Auswirkung auf die Modellierung |
|---|---|---|
| Gase mit hoher Dichte oder komplexen Molekülen | Stöße und innere molekulare Wechselwirkungen werden komplexer | Stoffdaten oder Modelle der Transporttheorie verwenden |
| Stoßwellen | Die Kompression erfolgt schneller als die molekulare Relaxation | Volumenviskosität oder Relaxationseffekte berücksichtigen |
| Intensive akustische Felder | Druckschwingungen können die Rotations-, Vibrations- oder chemische Gleichgewichtseinstellung überholen | Frequenzabhängige Dämpfung berücksichtigen |
| Schnelle Kompression oder Expansion | Starke volumetrische Verformung erzeugt eine Nichtgleichgewichtsspannung | Endliche Volumenviskosität in die Energiebilanz aufnehmen |
| Reaktive Fluide | Die chemische Zusammensetzung kann hinter Änderungen von Druck und Temperatur zurückbleiben | Viskosität, Wärmeübertragung und Reaktionskinetik koppeln |
| Verdünnte, schwach kompressible Gase | Innere Modi gleichen sich normalerweise schnell an das Gleichgewicht an | Die Stokes-Hypothese ist häufig eine sinnvolle Näherung |
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