Wie Unterscheiden Sich Geschwindigkeitsprofile Und Durchflussraten In Newtonschen Und Potenzgesetz-Flüssigkeiten? Ein Leitfaden Für Pilotanlagen

Newtonsche Flüssigkeiten erzeugen parabolische Geschwindigkeitsprofile, während potenzgesetzbeschriebene nichtnewtonsche Flüssigkeiten Profile erzeugen, deren Form sich mit dem Fließverhaltensindex (n) ändert. Bei einer newtonschen Flüssigkeit ist die Geschwindigkeit auf der Rohrachse doppelt so groß wie die mittlere Geschwindigkeit, und die Durchflussrate folgt der Hagen-Poiseuille-Beziehung, (Q \propto R^4(-d\mathcal{P}/dz)/\mu). Bei einer Potenzgesetz-Flüssigkeit hängt das Profil von (n) ab, und die volumetrische Durchflussrate hängt sowohl vom Konsistenzindex (m) als auch vom Druckgradienten ab, der mit der Potenz (1/n) erhöht wird.

In einem Rundrohrmodul weist die newtonsche Strömung ein festes parabolisches Profil auf, da die Viskosität konstant ist. Die Form der Potenzgesetz-Strömung ändert sich mit der Scherrate: scherverdünnende Flüssigkeiten werden flacher und eher pfropfenförmig, während scherverdickende Flüssigkeiten stärker zugespitzt werden.

Wie sich die Geschwindigkeitsprofile unterscheiden

Newtonscher laminarer Fluss

Für die stationäre, vollständig ausgebildete laminare Strömung einer newtonschen Flüssigkeit beträgt die axiale Geschwindigkeit beim Radius (r)

[ v_z(r)=2U\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right], ]

wobei (U) die mittlere Geschwindigkeit über den Rohrquerschnitt und (R) der Rohrradius ist.

Aufgrund der Haftbedingung ist die Geschwindigkeit an der Wand gleich null. Auf der Rohrachse erreicht sie ihr Maximum:

[ v_{\max}=2U. ]

Dieses feste Verhältnis zwischen der Geschwindigkeit auf der Rohrachse und der mittleren Geschwindigkeit ist das charakteristische parabolische Ergebnis, das in einführenden Rohrströmungsexperimenten verwendet wird.

Potenzgesetzförmige nichtnewtonsche Strömung

Für eine durch

[ \tau_{rz}=-m\left|\frac{dv_z}{dr}\right|^n, ]

beschriebene Potenzgesetz-Flüssigkeit lautet das vollständig ausgebildete laminare Geschwindigkeitsprofil

[ v_z(r)=\left(\frac{3n+1}{n+1}\right)U \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{(n+1)/n}\right]. ]

Das Verhältnis der Geschwindigkeit auf der Rohrachse zur mittleren Geschwindigkeit beträgt daher

[ \frac{v_{\text{CL}}}{U}=\frac{3n+1}{n+1}. ]

Dieser Ausdruck geht für (n=1) korrekt in (v_{\text{CL}}/U=2) über und ergibt damit wieder das parabolische newtonsche Profil.

Einfluss des Fließverhaltensindex

Der Wert von (n) bestimmt die Form des Profils.

Scherverdünnende Flüssigkeiten, (n<1): Das Profil ist in der Nähe der Mitte flacher und weist nahe der Wand einen steileren Geschwindigkeitsgradienten auf. Mit abnehmendem (n) nähert sich die Geschwindigkeit auf der Rohrachse der mittleren Geschwindigkeit an.
Newtonsche Flüssigkeiten, (n=1): Das Profil ist parabolisch, mit (v_{\text{CL}}=2U).
Scherverdickende Flüssigkeiten, (n>1): Das Profil wird stärker zugespitzt, wobei das Verhältnis der Geschwindigkeit auf der Rohrachse zur mittleren Geschwindigkeit größer ist als beim newtonschen Wert.

Beispielsweise ergibt (n=0.2)

[ \frac{v_{\text{CL}}}{U}=\frac{1.6}{1.2}\approx1.33, ]

während (n=2) ergibt

[ \frac{v_{\text{CL}}}{U}=\frac{7}{3}\approx2.33. ]

Das häufig zitierte alternative Verhältnis ((3n+1)/(2n+1)) stimmt nicht mit dem angegebenen Potenzgesetz-Profil überein und sollte nicht für das Verhältnis der Geschwindigkeit auf der Rohrachse zur mittleren Geschwindigkeit verwendet werden.

Wie sich die volumetrischen Durchflussraten unterscheiden

Durchflussrate bei newtonschen Flüssigkeiten

Für eine newtonsche Flüssigkeit wird die volumetrische Durchflussrate durch die Hagen-Poiseuille-Gleichung beschrieben:

[ Q=-\frac{\pi R^4}{8\mu}\frac{d\mathcal{P}}{dz}. ]

Die Durchflussrate ist direkt proportional zum Betrag des Druckgradienten und umgekehrt proportional zur konstanten dynamischen Viskosität (\mu).

Die starke Abhängigkeit von (R^4) bedeutet, dass bereits eine geringfügige Änderung des Rohrradius eine große Änderung der Durchflussrate bewirken kann. Diese Beziehung ist für Ausbildungspilotanlagen praktisch, da Druckverlustmessungen direkt mit einem linearen newtonschen Modell verglichen werden können.

Durchflussrate bei Potenzgesetz-Flüssigkeiten

Für eine Potenzgesetz-Flüssigkeit gilt für die volumetrische Durchflussrate

[ Q=\pi R^2U ]

und unter denselben Annahmen einer vollständig ausgebildeten laminaren Strömung

[ Q= \left(\frac{n\pi}{3n+1}\right) \left(-\frac{1}{2m}\frac{d\mathcal{P}}{dz}\right)^{1/n} R^{(3n+1)/n}. ]

Anders als beim newtonschen Ausdruck wird der Druckgradiententerm mit (1/n) potenziert. Der scheinbare Strömungswiderstand ändert sich daher mit der Betriebsdurchflussrate.

Auch die Abhängigkeit vom Radius unterscheidet sich von der newtonschen Beziehung (R^4). Für (n=1) geht die Potenzgesetzgleichung in das Hagen-Poiseuille-Ergebnis über, sofern (m=\mu) gilt.

Warum Pumpentests unterschiedliche Ergebnisse liefern

In einem newtonschen Experiment ändern sich Durchflussrate und Druckverlust bei einer Änderung der Pumpendrehzahl entsprechend einer weitgehend konstanten Viskosität. In einem Potenzgesetz-Experiment ändert die Pumpendrehzahl außerdem die scheinbare Viskosität, da sich die Scherrate verändert.

Bei einer scherverdünnenden Flüssigkeit kann eine Erhöhung des Durchflusses die scheinbare Viskosität verringern und zu einem unterproportionalen Anstieg des Druckverlusts führen. Eine scherverdickende Flüssigkeit verhält sich entgegengesetzt und kann bei steigender Durchflussrate einen schnell zunehmenden Pumpendruck erfordern.

Was Studierende in einer Pilotanlage beobachten

Druckverlust- und Durchflussmessung

Ein Rundrohrmodul kombiniert typischerweise eine drehzahlvariable Pumpe mit einer Durchflussmessung und Druckentnahmestellen entlang des Prüfbereichs. Studierende können gemessene Daten von (Q) gegenüber dem Druckverlust mit den newtonschen und Potenzgesetzgleichungen vergleichen.

Bei newtonschen Flüssigkeiten steht die Beziehung im Einklang mit einer konstanten Viskosität. Bei nichtnewtonschen Flüssigkeiten ändert sich die gemessene Steigung mit den Betriebsbedingungen, da die scheinbare Viskosität von der Scherrate abhängt.

Wandschubspannung und Scherverteilung

Bei einer vollständig ausgebildeten Rohrströmung variiert die Schubspannung linear von null auf der Rohrachse bis zu ihrem größten Betrag an der Wand. Der zur Erzeugung dieser Spannung erforderliche Geschwindigkeitsgradient hängt vom Flüssigkeitsmodell ab.

Dieser Unterschied ist bei der Bioprozessierung und beim Polymertransport von Bedeutung, da die Wandschubspannung Zellen, Partikel, die Polymerstruktur und die Produktqualität beeinflussen kann.

Interpretation von Verweilzeit und Mischung

Das Geschwindigkeitsprofil beeinflusst, wie sich das Material durch das Rohr bewegt. Ein parabolisches newtonsches Profil erzeugt einen größeren Unterschied zwischen den Geschwindigkeiten auf der Rohrachse und nahe der Wand, während ein scherverdünnendes Profil einen größeren zentralen Bereich mit Geschwindigkeiten nahe der mittleren Geschwindigkeit transportiert.

Folglich beeinflusst die Profilform die Verweilzeitverteilungen und die Interpretation von Tracerexperimenten. Die mittlere Durchflussrate allein beschreibt das Transportverhalten nicht vollständig.

Temperatur und Prozessbedingungen

Die newtonsche Viskosität kann sich mit der Temperatur erheblich ändern, obwohl sie nicht von der Scherrate abhängt. Die scheinbare nichtnewtonsche Viskosität kann sowohl mit der Temperatur als auch mit der Scherrate variieren. Daher sind Temperaturregelkreise beim Vergleich von Pilotanlagenmessungen wichtig.

Die Betriebsbedingungen müssen zusammen mit Druck- und Durchflussdaten aufgezeichnet werden, wenn die Ergebnisse für die Maßstabsvergrößerung verwendet werden sollen.

Die Zielkonflikte verstehen

Das Potenzgesetzmodell ist eine Näherung

Das Potenzgesetzmodell ist nützlich zur Beschreibung von scherverdünnendem und scherverdickendem Verhalten über einen ausgewählten Scherratenbereich. Es stellt nicht jede nichtnewtonsche Flüssigkeit dar und garantiert keine genauen Vorhersagen außerhalb des Bereichs, in dem (m) und (n) bestimmt wurden.

Flüssigkeiten mit einer Fließgrenze, wie Bingham-Plastiken, erfordern ein anderes Modell, da die Strömung erst beginnt, wenn die angelegte Spannung die Fließgrenze überschreitet.

Vollständig ausgebildete laminare Strömung ist eine Annahme

Die Gleichungen setzen eine stationäre, vollständig ausgebildete, achsensymmetrische Strömung in einem Rundrohr voraus. Eintrittseffekte, Armaturen, Bögen, Pumpenpulsationen sowie turbulente oder Übergangsströmungen können dazu führen, dass die gemessenen Druckverluste von der analytischen Vorhersage abweichen.

Daher sollten Pilotanlagendaten zwischen Reibungsverlusten im Prüfbereich und lokalen Verlusten durch Anlagenkomponenten und Verbindungen unterscheiden.

Scherverdünnung bedeutet nicht gleichmäßig niedrigen Widerstand

Eine scherverdünnende Flüssigkeit kann bei hohen Scherraten eine niedrigere scheinbare Viskosität aufweisen, doch die effektive Viskosität kann in Bereichen mit niedriger Scherrate weiterhin hoch sein. Dies ist insbesondere in der Nähe der Rohrmitte sowie in schlecht durchmischten oder stagnierenden Zonen relevant.

Bei der Pumpenauswahl muss der gesamte Betriebsbereich berücksichtigt werden, nicht nur die bei einer nominalen Durchflussrate gemessene scheinbare Viskosität.

Messinstrumente können den Vergleich verfälschen

Durchflussmesser und Drucksensoren werden in der Regel am einfachsten für newtonsche Flüssigkeiten kalibriert. Nichtnewtonsches Verhalten, pulsierende Verdrängerpumpen, Temperaturänderungen und eine ungeeignete Anordnung der Druckentnahmestellen können Messfehler verursachen.

Der didaktische Wert des Moduls hängt davon ab, diese Variablen zu kontrollieren und die Messungen mit den Annahmen hinter jedem Modell zu vergleichen.

Anwendung des Vergleichs bei Pilotanlagenarbeiten

Der sinnvollste Ansatz besteht darin, das Flüssigkeitsmodell und die Messmethode auf das Ziel des Experiments abzustimmen.

Wenn Ihr Schwerpunkt auf den Grundlagen der laminaren Strömung liegt: Verwenden Sie eine gut charakterisierte newtonsche Flüssigkeit und überprüfen Sie das parabolische Profil, (v_{\max}=2U), sowie die Hagen-Poiseuille-Beziehung für die Durchflussrate.
Wenn Ihr Schwerpunkt auf dem Transport von Polymeren oder biologischen Brühen liegt: Bestimmen Sie (m) und (n) über den relevanten Scherratenbereich und verwenden Sie anschließend das Potenzgesetz-Profil und die Durchflussgleichung zur Analyse von Druckverlust und Pumpendimensionierung.
Wenn Ihr Schwerpunkt auf dem Verweilzeitverhalten liegt: Vergleichen Sie die unterschiedlichen Profilformen, anstatt sich nur auf die mittlere Geschwindigkeit zu stützen, da eine scherverdünnende Strömung eine flachere zentrale Geschwindigkeitsverteilung aufweisen kann.
Wenn Ihr Schwerpunkt auf der Auswahl von Anlagenkomponenten liegt: Messen Sie, wie sich der Druckverlust mit Durchflussrate und Temperatur ändert, und bewerten Sie anschließend, ob eine Kreiselpumpe oder eine Verdrängerpumpe den erforderlichen Betriebsbereich bereitstellt.
Wenn Ihr Schwerpunkt auf der Maßstabsvergrößerung liegt: Berücksichtigen Sie Rohrdurchmesser, Wandschubspannung, Eintritts- und lokale Verluste, Temperatur sowie die Grenzen des rheologischen Modells in der Auslegungsberechnung.

Das Verständnis des Zusammenhangs zwischen Rheologie, Form des Geschwindigkeitsprofils und druckgetriebener Strömung ermöglicht es einer Pilotanlage, sowohl als Lehrvorrichtung als auch als praktisches Werkzeug für die Maßstabsvergrößerung zu dienen.

Zusammenfassungstabelle:

Merkmal	Newtonsches Fluid	Potenzgesetzförmiges nichtnewtonsches Fluid
Geschwindigkeitsprofil	Feste parabolische Form	Form variiert mit dem Fließverhaltensindex n
Geschwindigkeit auf der Rohrachse im Verhältnis zur mittleren Geschwindigkeit	v_CL/U = 2	v_CL/U = (3n + 1)/(n + 1)
Viskositätsverhalten	Bei einer bestimmten Temperatur konstant	Scheinbare Viskosität ändert sich mit der Scherrate
Beziehung der Durchflussrate	Q ist proportional zum Druckgradienten	Q ist proportional zum Druckgradienten hoch 1/n
Abhängigkeit vom Radius	Q ist proportional zu R^4	Q ist proportional zu R^((3n+1)/n)
Typischer Einfluss des Profils	Starke Geschwindigkeitsvariation von der Mitte zur Wand	Scherverdünnende Flüssigkeiten sind flacher; scherverdickende Flüssigkeiten stärker zugespitzt
Schwerpunkt der Pilotanlage	Überprüfung der Hagen-Poiseuille-Strömung und der konstanten Viskosität	Bewertung von Rheologie, Druckverlust, Pumpen, Scherung und Maßstabsvergrößerung
Wichtige Einschränkungen	Temperatur, Eintrittseffekte und lokale Verluste	Rheologischer Bereich, Temperatur, Messinstrumente und lokale Verluste

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