Bei einer Kriechströmung um ein kugelförmiges Partikel wird der gesamte hydrodynamische Widerstand durch das Stokes’sche Gesetz beschrieben: (F_D = 6\pi \mu R U), wobei (\mu) die Viskosität des Fluids, (R) der Partikelradius und (U) die Relativgeschwindigkeit zwischen Partikel und Fluid ist. Die Gesamtkraft ergibt sich durch Integration der Fluidtraktion über die gesamte Kugeloberfläche. Druckkräfte tragen ein Drittel bei, (F_{D,p}=2\pi\mu R U), während viskose Scherkräfte zwei Drittel beitragen, (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U).

Bei einer Kriechströmung ist der Widerstand der Kugel linear von der Viskosität, der Partikelgröße und der Relativgeschwindigkeit abhängig. Obwohl Trägheit vernachlässigbar ist, trägt das umgebende Druckfeld weiterhin ein Drittel des Widerstands bei; die Oberflächenscherung liefert die verbleibenden zwei Drittel.

Festlegung des Kriechströmungsbereichs

Die maßgebliche Reynolds-Zahl

Eine Kriechströmung liegt vor, wenn die Partikel-Reynolds-Zahl deutlich kleiner als eins ist:

[ Re_p=\frac{\rho U d}{\mu}\ll 1 ]

wobei (\rho) die Fluiddichte und (d=2R) der Partikeldurchmesser ist.

Bei derart niedrigen Reynolds-Zahlen sind Trägheitseffekte im Vergleich zu viskosen Effekten vernachlässigbar. Die Strömung wird hauptsächlich durch das Gleichgewicht zwischen Druckgradienten und viskosen Spannungen bestimmt.

Die Bedeutung der Relativgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit (U) im Stokes’schen Gesetz ist die Relativgeschwindigkeit zwischen dem Partikel und dem umgebenden Fluid. Bei einem ruhenden Partikel in einem bewegten Fluid ist (U) die lokale Fluidgeschwindigkeit relativ zum Partikel.

Bei einem sinkenden Partikel ist (U) die Geschwindigkeit des Partikels relativ zum Fluid, die häufig bei der Endgeschwindigkeit ausgewertet wird, wenn die resultierende Kraft null ist.

Berechnung des gesamten hydrodynamischen Widerstands

Das Stokes’sche Gesetz

Der Betrag des Gesamtwiderstands auf eine Kugel ist

[ F_D=6\pi\mu R U ]

Die äquivalente Form unter Verwendung des Durchmessers anstelle des Radius lautet

[ F_D=3\pi\mu d U ]

Der Widerstand wirkt der Relativbewegung des Partikels durch das Fluid entgegen.

Integration der Oberflächenkräfte

Die Kraft auf das Partikel entsteht durch die über seine Oberfläche wirkende Fluidtraktion. Diese Traktion besteht aus zwei Komponenten:

[ \text{Oberflächentraktion}= \text{normale Drucktraktion} + \text{tangentiale viskose Traktion} ]

Die Integration beider Komponenten über die Kugeloberfläche ergibt

[ F_D=F_{D,p}+F_{D,\tau} ]

Für eine Kugel in einer Kriechströmung gilt

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

und

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

Daher gilt

[ F_D

2\pi\mu R U+4\pi\mu R U

6\pi\mu R U ]

Relative Beiträge von Druck und Scherung

Beitrag des Drucks

Die Druckverteilung um die Kugel erzeugt

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

Relativ zum Gesamtwiderstand gilt

[ \frac{F_{D,p}}{F_D}

\frac{2\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{1}{3} ]

Somit macht der Druck etwa 33,3 % des Gesamtwiderstands aus.

Dieses Druckfeld ist kein Trägheits-Formwiderstand im üblichen Sinne bei hohen Reynolds-Zahlen. Obwohl die Trägheit vernachlässigbar ist, erfordert die viskose Strömung um die Kugel einen Druckgradienten, und diese Druckverteilung besitzt eine resultierende Kraftkomponente, die der Bewegung entgegenwirkt.

Beitrag der Scherspannung

Die tangentialen viskosen Spannungen an der Partikeloberfläche erzeugen

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

Ihr Anteil am Gesamtwiderstand beträgt

[ \frac{F_{D,\tau}}{F_D}

\frac{4\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{2}{3} ]

Daher macht die viskose Scherung etwa 66,7 % des Gesamtwiderstands aus.

Dieser größere Beitrag ist auf die Haftbedingung an der Partikeloberfläche zurückzuführen. Die Fluidgeschwindigkeit ändert sich schnell von der Geschwindigkeit der Partikeloberfläche zur Geschwindigkeit der umgebenden Strömung, wodurch Geschwindigkeitsgradienten und tangentiale Wandschubspannungen entstehen.

Die Aufteilung von einem Drittel zu zwei Dritteln

Die Aufteilung der Kräfte lässt sich wie folgt zusammenfassen:

[ F_D

\underbrace{2\pi\mu R U}{\text{Druck: }1/3} + \underbrace{4\pi\mu R U}{\text{Scherung: }2/3} ]

Das Verhältnis von Druckwiderstand zu Scherwiderstand beträgt daher

[ F_{D,p}:F_{D,\tau}=1:2 ]

Diese Unterscheidung ist für die Ausbildung an verfahrenstechnischen Anlagen nützlich, da Drucksensoren und Kraftmessungen unterschiedliche Anteile derselben hydrodynamischen Wechselwirkung erfassen können.

Übertragung des Ergebnisses auf verfahrenstechnische Anlagen

Sedimentation und Klärung

Bei Absetzexperimenten wird das Stokes’sche Gesetz verwendet, um Partikelgröße, Fluidviskosität und Sinkgeschwindigkeit miteinander zu verknüpfen. Bei der Sink-Endgeschwindigkeit gleicht der Widerstand das effektive Gewicht des Partikels aus:

[ F_D=F_g-F_b ]

wobei (F_g) das Partikelgewicht und (F_b) der Auftrieb ist.

Die Widerstandsberechnung hilft Studierenden, die Sedimentationseffizienz, die Verweilzeit sowie die Leistung von Klärern oder Trennkolonnen zu analysieren.

Differenzdruckmessungen

In Pilotanlagen können Druckunterschiede über Strömungskanäle, Packungsabschnitte oder Trennvorrichtungen gemessen werden. Diese Messungen repräsentieren Druckkräfte, die mit dem Fluidimpuls und dem viskosen Widerstand innerhalb der Anlage verbunden sind, und nicht unbedingt den Druckanteil des Widerstands einer einzelnen isolierten Kugel.

Folglich sollte ein gemessener Druckabfall nicht automatisch als der Druckbeitrag von einem Drittel im Stokes’schen Gesetz interpretiert werden. Die Messgeometrie und das Kontrollvolumen bestimmen, welche Kräfte erfasst werden.

Messungen der Scherspannung

Die Wandschubspannung steht über den lokalen Geschwindigkeitsgradienten in Beziehung zu

[ \tau_w

-\mu \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)_{y=0} ]

Diese Beziehung veranschaulicht dasselbe physikalische Prinzip, das für den Scherbeitrag der Kugel verantwortlich ist: Viskose Kräfte entstehen durch Geschwindigkeitsgradienten an einer Oberfläche.

Korrelationen für ebene Platten, wie beispielsweise Reibungsbeziehungen für laminare Grenzschichten, sind für Experimente mit Kanal- und Wandströmungen nützlich. Sie sollten jedoch nicht direkt anstelle des Ergebnisses für kugelförmige Partikel verwendet werden, da sich Geometrie und Geschwindigkeitsfeld unterscheiden.

Verständnis der Abwägungen

Das Stokes’sche Gesetz gilt nur in einem begrenzten Reynolds-Zahl-Bereich

Die Beziehung (6\pi\mu R U) gilt, wenn (Re_p\ll 1). Mit zunehmender Reynolds-Zahl werden Trägheitseffekte wichtig, und der Widerstand ist nicht mehr streng proportional zur Geschwindigkeit.

Bei höheren Reynolds-Zahlen können Wirbelbildung, Strömungsablösung und trägheitsbedingter Druckwiderstand sowohl den Gesamtwiderstand als auch die Verteilung zwischen Druck- und Scherbeitrag erheblich verändern.

Die Partikelform ist entscheidend

Die Aufteilung in ein Drittel Druck- und zwei Drittel Scherbeitrag gilt für eine ideale, glatte, starre Kugel in einem ansonsten unbegrenzten Newton’schen Fluid. Unregelmäßige Partikel, Fasern, Tropfen und biologische Partikel können andere Widerstandsbeiwerte und Spannungsverteilungen aufweisen.

In der Nähe einer Wand, in einem engen Kanal oder zwischen benachbarten Partikeln verändern die umgebenden Grenzen die Strömung und erhöhen den Widerstand oder verändern ihn auf andere Weise.

Fluideigenschaften müssen konsistent angewendet werden

Die Viskosität (\mu) muss unter den relevanten Temperatur- und Zusammensetzungsbedingungen bestimmt werden. Bei nicht-Newton’schen Fluiden kann eine Berechnung nach dem Stokes’schen Gesetz mit einer einzigen konstanten Viskosität das Spannungsfeld auf Partikelebene möglicherweise nicht genau darstellen.

Das Fluid muss auf der Partikelskala außerdem hinreichend kontinuierlich sein, damit die Kontinuumsmechanik angewendet werden kann. Sehr kleine Partikel in verdünnten oder mikroskaligen Regimen können Korrekturen über das klassische Ergebnis hinaus erfordern.

Druck und Scherung sind keine unabhängigen Strömungssysteme

Druck und Scherung werden mathematisch getrennt, um ihre Beiträge zur integrierten Kraft zu bestimmen. Physikalisch sind sie gekoppelte Bestandteile derselben Strömungslösung um die Kugel.

Die Druckverteilung und die Geschwindigkeitsgradienten an der Oberfläche müssen daher aus dem vollständigen Kriechströmungsfeld abgeleitet werden, anstatt unabhängig aus nicht zusammenhängenden Anlagenkorrelationen geschätzt zu werden.

Anwendung auf Ihr Projekt

Verwenden Sie bei der Analyse eines Experiments mit kugelförmigen Partikeln den folgenden Ansatz:

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Gesamtwiderstand des Partikels liegt: Berechnen Sie (F_D=6\pi\mu R U) anhand der Fluidviskosität, des Partikelradius und der Relativgeschwindigkeit zwischen Partikel und Fluid.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Druckkraftbeitrag liegt: Verwenden Sie (F_{D,p}=2\pi\mu R U=F_D/3) und berücksichtigen Sie, dass es sich um einen Druckbeitrag der viskosen Strömung und nicht um einen trägheitsbedingten Formwiderstand bei hohen Reynolds-Zahlen handelt.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Oberflächenreibungsbeitrag liegt: Verwenden Sie (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U=2F_D/3), der die integrierte tangentiale Scherspannung über die Partikeloberfläche darstellt.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Validierung eines Pilotanlagenexperiments liegt: Bestätigen Sie (Re_p\ll1), unterscheiden Sie zwischen dem Widerstand auf Partikelebene und dem Druckabfall auf Anlagenebene und berücksichtigen Sie Wände, benachbarte Partikel sowie nicht-Newton’sches Verhalten.

Für eine ideale Kugel in einer Kriechströmung ist das maßgebliche Ergebnis eindeutig: Ein Drittel des hydrodynamischen Widerstands entsteht durch Druckkräfte und zwei Drittel durch viskose Scherspannungen.

Zusammenfassungstabelle:

Wichtiger Aspekt	Ergebnis
Strömungsregime	Kriechströmung, bei der die Partikel-Reynolds-Zahl (Re_p \ll 1) ist
Gesamtwiderstand	(F_D = 6\pi\mu R U)
Druckbeitrag	(F_{D,p} = 2\pi\mu R U), bzw. 1/3 (33,3 %)
Scherbeitrag	(F_{D,\tau} = 4\pi\mu R U), bzw. 2/3 (66,7 %)
Verhältnis der Beiträge	Druck : Scherung = 1 : 2
Hauptanwendungen	Sedimentation, Klärung, Partikelabscheidung und hydrodynamische Lehrversuche

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