Das quasistationäre Modell ist gültig, wenn sich die Strömung im Auslassrohr wesentlich schneller einstellt, als sich der Flüssigkeitsstand verändert. In der Praxis muss die viskose Relaxationszeit für das Geschwindigkeitsprofil im Rohr gegenüber der gesamten Entleerungszeit vernachlässigbar sein. Die Näherung wird außerdem unterstützt, wenn das Auslassrohr eng ist, die Strömung laminar und voll entwickelt bleibt und die viskose Reibung im Rohr gegenüber Eintritts-, Austritts- und Trägheitseffekten des Tanks dominiert.
Der entscheidende Test ist eine Trennung der Zeitskalen: Das Rohr muss sein momentanes laminare Geschwindigkeitsprofil wesentlich schneller erreichen, als sich die Druckhöhe im Tank verändert. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, kann der Auslassstrom als stationärer Poiseuille-Volumenstrom modelliert werden, der der momentanen Flüssigkeitshöhe (h(t)) entspricht.
Was die quasistationäre Annahme bedeutet
Momentane stationäre Strömung bei jeder Flüssigkeitshöhe
Das Modell beschreibt den Entleerungsvorgang als eine Folge stationärer Strömungszustände. Zu jedem Zeitpunkt wird der Auslassvolumenstrom durch den stationären laminaren Volumenstrom angenähert, der der aktuellen hydrostatischen Druckhöhe entspricht.
Bei einem Tank, der sich durch ein enges Rohr entleert, bedeutet dies, dass die sich verändernde Flüssigkeitshöhe die antreibende Druckkraft beeinflusst, während die Beziehung für die Rohrströmung stationär bleibt.
Eine sich langsam verändernde Druckhöhe
Der Tankfüllstand muss sich im Verhältnis zur Zeit, die das Geschwindigkeitsprofil im Rohr für seine Anpassung benötigt, langsam verändern. Das Rohr erfährt daher während seiner eigenen viskosen Anpassung nahezu eine konstante Druckhöhe.
Verglichen werden die viskose Relaxationszeit des Rohrs und die charakteristische Entleerungszeit:
[ t_{\text{relax}} \ll t_{\text{drain}} ]
Für ein Rohr mit dem Radius (R_P) skaliert die viskose Relaxationszeit mit
[ t_{\text{relax}} \sim \frac{\rho R_P^2}{\mu} ]
wobei (\rho) die Dichte der Flüssigkeit und (\mu) ihre dynamische Viskosität ist.
Der genaue numerische Koeffizient hängt davon ab, wie das instationäre Rohrströmungsproblem definiert wird; die Skalierung liefert jedoch den wesentlichen Gültigkeitstest.
Fluiddynamische Bedingungen, die das Modell unterstützen
Das Auslassrohr muss im Verhältnis zum Tank eng sein
Die Querschnittsfläche des Tanks sollte wesentlich größer sein als die Querschnittsfläche des Auslassrohrs:
[ A_T \gg A_P ]
Für zylindrische Geometrien entspricht dies
[ R_T^2 \gg R_P^2 ]
wobei (R_T) der Tankradius und (R_P) der Rohrradius ist.
Dieses Flächenverhältnis hält die Abwärtsgeschwindigkeit der freien Oberfläche im Vergleich zur Geschwindigkeit im Auslassrohr klein. Dadurch bleiben Änderungen des Gesamtimpulses im Tank gering, und der größte Teil der verfügbaren Druckhöhe wird im Rohr dissipiert.
Die Strömung muss laminar bleiben
Das Auslassrohr muss bei einer ausreichend kleinen Reynolds-Zahl betrieben werden, damit ein Modell für den laminaren Strömungswiderstand angewendet werden kann:
[ \mathrm{Re}=\frac{\rho U D}{\mu} ]
wobei (U) die mittlere Rohrgeschwindigkeit und (D) der Rohrdurchmesser ist.
Die Reynolds-Zahl muss während des gesamten Entleerungsvorgangs unterhalb des Übergangsbereichs von laminarer zu turbulenter Strömung bleiben. Da sich Druckhöhe und Volumenstrom mit der Zeit verändern, sollte diese Bedingung bei der größten erwarteten Durchflussrate geprüft werden, normalerweise zu Beginn der Entleerung.
Unter laminaren Bedingungen ist die Beziehung zwischen Druck und Volumenstrom annähernd linear, sodass ein Ausdruck vom Poiseuille-Typ die momentane Druckhöhe mit dem momentanen Volumenstrom verknüpfen kann.
Die Rohrströmung muss voll entwickelt sein
Das Geschwindigkeitsprofil sollte eine ausreichende axiale Strecke zur Ausbildung haben, bevor der Bereich erreicht wird, der für die Berechnung des Druckverlusts verwendet wird. Eine voll entwickelte Strömung macht die Beziehung zwischen Wandschubspannung und Strömung vorhersehbar und ermöglicht die Verwendung des standardmäßigen Ausdrucks für den viskosen Druckverlust.
Diese Bedingung ist am ehesten erfüllt, wenn das Auslassrohr im Verhältnis zur Eintrittsentwicklungslänge ausreichend lang ist. Ein sehr kurzer Auslass, eine abrupte Kontraktion oder ein stark gestörter Einlass können dazu führen, dass Eintrittseffekte vergleichbar mit oder größer als der Reibungsverlust bei voll entwickelter Strömung sind.
Die Rohrreibung muss gegenüber anderen Verlusten dominieren
Der primäre hydraulische Widerstand sollte im Auslassrohr liegen. Eintrittsverluste, Austrittsverluste, Armaturen, Ventile, Kontraktionen und Erweiterungen sollten gegenüber der viskosen Reibung im Rohr vernachlässigbar sein.
Wenn diese zusätzlichen Verluste nicht vernachlässigbar sind, kann der Tank in manchen Fällen weiterhin quasistationär modelliert werden, aber das einfache Modell, das ausschließlich auf der Poiseuille-Gleichung beruht, ist unvollständig. Die gesamte momentane Beziehung zwischen Druckverlust und Strömung muss dann die relevanten Einzelverlustbeiträge enthalten.
Änderungen des Tankimpulses müssen gering sein
Die Flüssigkeit im Tank sollte keine wesentliche Beschleunigung erfahren, während der Füllstand sinkt. Eine große Tankfläche im Verhältnis zur Rohrfläche unterstützt die Erfüllung dieser Bedingung, da die Geschwindigkeit der freien Oberfläche klein ist.
Das Modell eignet sich daher am besten, wenn sich der Tank hauptsächlich wie ein Vorratsbehälter verhält, der das Rohr speist, und nicht wie ein Strömungskanal, in dem das gesamte Flüssigkeitsvolumen merklich beschleunigt wird.
Warum der Vergleich der Zeitskalen wichtig ist
Die Anpassung im Rohr ist ein lokaler viskoser Prozess
Wenn das Auslassventil geöffnet wird, reagiert das Geschwindigkeitsprofil im Rohr nicht augenblicklich. Viskose Diffusion transportiert Impuls über den Rohrradius, bis sich das Profil seiner stationären Form annähert.
Diese Anpassung erfolgt über eine Zeitskala, die durch (\rho R_P^2/\mu) bestimmt wird. Ein kleinerer Rohrradius oder eine viskosere Flüssigkeit verkürzt im Allgemeinen diese Anpassungszeit.
Die Tankentleerung ist ein globaler Speicherprozess
Die Entleerungszeit wird durch das Tankvolumen und den zeitabhängigen Auslassvolumenstrom bestimmt. Wenn der Tank im Verhältnis zum Auslass groß ist, ist sie typischerweise wesentlich länger als die lokale Anpassungszeit des Geschwindigkeitsprofils im Rohr.
Das Modell ist zuverlässig, wenn diese beiden Prozesse deutlich voneinander getrennt sind:
[ \frac{t_{\text{relax}}}{t_{\text{drain}}} \ll 1 ]
Dieses Verhältnis ist ein direkteres Gültigkeitskriterium, als einfach zu sagen, dass die Strömung „langsam“ ist.
Das Kriterium muss während der gesamten Entleerung gelten
Flüssigkeitshöhe, Volumenstrom und Reynolds-Zahl verändern sich, während sich der Tank leert. Die quasistationäre Näherung sollte daher über den gesamten Betriebsbereich und nicht nur unter einer repräsentativen Bedingung bewertet werden.
Der anspruchsvollste Punkt liegt üblicherweise am Beginn der Entleerung, wenn die Flüssigkeitsdruckhöhe und der Auslassvolumenstrom am größten sind. Änderungen der Geometrie oder der Stoffeigenschaften sowie ein nahezu leerer Tank können jedoch zusätzliche Bereiche schaffen, die berücksichtigt werden müssen.
Verständnis der Wechselwirkungen
Ein enges Rohr verbessert die Trennung der Zeitskalen
Die Verringerung des Rohrradius verkürzt die viskose Relaxationszeit, da die Zeitskala mit (R_P^2) skaliert. Gleichzeitig erhöht sie den viskosen Widerstand, wodurch sich der Entleerungsvorgang normalerweise verlängert.
Beide Effekte begünstigen tendenziell die quasistationäre Näherung, sofern die Strömung laminar bleibt und der Auslass nicht so stark einschränkt, dass andere Phänomene wichtig werden.
Ein sehr kurzer oder abrupt ausgeführter Auslass schwächt das einfache Modell
Ein kurzes Rohr bietet möglicherweise nicht genügend Länge für die Ausbildung eines voll entwickelten Profils. In diesem Fall können Eintritts- und Entwicklungseffekte erheblich zum gesamten Druckverlust beitragen.
Das System kann weiterhin quasistationär reagieren, aber das geeignete Modell muss diese zusätzlichen Verluste berücksichtigen, anstatt sich ausschließlich auf eine voll entwickelte Poiseuille-Strömung zu stützen.
Turbulenz verändert das Widerstandsmodell
Wenn die Reynolds-Zahl zu hoch wird, beschreibt die Beziehung für laminare Rohrströmung den Druckverlust nicht mehr genau. Das quasistationäre Konzept und die laminare Poiseuille-Gleichung sind voneinander unabhängige Annahmen: Eine Strömung kann sich schnell anpassen und dennoch ein turbulentes Widerstandsmodell erfordern.
Die Behandlung eines turbulenten Ausflusses als laminare Strömung kann zu falschen Volumenströmen und Entleerungszeiten führen, selbst wenn sich der Flüssigkeitsstand langsam verändert.
Ein kleiner Tank kann die Reservoirnäherung ungültig machen
Wenn die Tankfläche nicht wesentlich größer als die Rohrfläche ist, können Geschwindigkeit und Beschleunigung der Flüssigkeit im Tank erheblich sein. Bewegungen der freien Oberfläche, der Gesamtimpuls und kinetische Energieeffekte werden dann wichtiger.
Der sich verändernde Tankfüllstand kann zwar weiterhin modelliert werden, aber die vereinfachte Annahme, dass die Rohrreibung nahezu die gesamte verfügbare Druckhöhe verbraucht, ist weniger überzeugend.
Übliche Validierungsprüfungen im Labor
Vergleich der charakteristischen Zeiten
Schätzen Sie die viskose Relaxationszeit des Rohrs ab und vergleichen Sie sie mit der gemessenen oder vorhergesagten Entleerungszeit:
[ t_{\text{relax}} \sim \frac{\rho R_P^2}{\mu} \qquad \text{und} \qquad t_{\text{relax}} \ll t_{\text{drain}} ]
Eine deutliche Trennung unterstützt die quasistationäre Näherung. Wenn die beiden Zeiten vergleichbar sind, sollten instationäre Rohrströmungseffekte berücksichtigt werden.
Prüfung des Flächenverhältnisses
Berechnen Sie
[ \frac{A_P}{A_T} ]
und bestätigen Sie, dass dieses Verhältnis klein ist. Für kreisförmige Tank- und Rohrquerschnitte kann dies anhand des Verhältnisses der quadrierten Radien beurteilt werden:
[ \frac{A_P}{A_T} \sim \frac{R_P^2}{R_T^2} ]
Ein kleines Verhältnis zeigt an, dass die Geschwindigkeit der freien Oberfläche wesentlich geringer ist als die Rohrgeschwindigkeit.
Prüfung der Reynolds-Zahl beim höchsten Volumenstrom
Verwenden Sie die größte erwartete mittlere Rohrgeschwindigkeit zur Bewertung der Reynolds-Zahl. Die Strömung sollte während des gesamten Versuchs laminar bleiben, nicht nur in der späteren Phase, wenn die Druckhöhe im Tank niedrig ist.
Vergleich von Haupt- und Einzelverlusten
Schätzen Sie ab, ob der Druckverlust durch die Reibung an der Rohrwand deutlich größer ist als die Verluste am Einlass, Auslass, an Armaturen und Ventilen. Falls nicht, müssen diese Beiträge in das momentane Strömungsmodell aufgenommen werden.
Vergleich vorhergesagter und gemessener Füllstandverläufe
Eine praktische Validierung im Labor besteht darin, die vorhergesagte Kurve (h(t)) mit den gemessenen Füllstandsdaten des Tanks zu vergleichen. Systematische Abweichungen beim Anfahren können auf eine instationäre Entwicklung oder Eintrittsverluste hindeuten, während Abweichungen über die gesamte Entleerung auf falsche Stoffeigenschaften, eine falsche Geometrie oder nicht berücksichtigte Einzelverluste hinweisen können.
Die richtige Wahl für Ihr Ziel treffen
Verwenden Sie die folgenden Kriterien, um zu entscheiden, ob das quasistationäre Modell für das Gerät und das Experiment geeignet ist:
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Vorhersage der gesamten Entleerungszeit liegt: Verwenden Sie das quasistationäre Modell, wenn (t_{\text{relax}} \ll t_{\text{drain}}) gilt, die Strömung im Rohr laminar und voll entwickelt ist und die Rohrreibung alle anderen Verluste dominiert.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Messung der Rohrreibung oder Viskosität liegt: Halten Sie die Tankfläche deutlich größer als die Rohrfläche und quantifizieren Sie Eintritts-, Austritts- und Armaturenverluste, damit diese die Reibungsbestimmung nicht verfälschen.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Modellierung des Anfahrverhaltens liegt: Nehmen Sie kein augenblicklich vorhandenes Poiseuille-Profil an, sondern berücksichtigen Sie die instationäre Entwicklung der Rohrströmung, wenn die Relaxationszeit nicht vernachlässigbar ist.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Untersuchung eines größeren Betriebsbereichs liegt: Überprüfen Sie Reynolds-Zahl, Stoffeigenschaften, Flächenverhältnis und Trennung der Zeitskalen erneut bei den Bedingungen mit der höchsten und niedrigsten Druckhöhe.
Wenn sich das Rohr schnell anpasst, die Strömung laminar und voll entwickelt bleibt und die Rohrreibung das hydraulische Verhalten dominiert, liefert das quasistationäre Modell eine belastbare Beschreibung der Entleerung eines Flüssigkeitstanks.
Zusammenfassungstabelle:
| Validierungsbedingung | Prüfung im Labor | Warum sie wichtig ist |
|---|---|---|
| Trennung der Zeitskalen | Bestätigen Sie t_relax << t_drain |
Die Rohrströmung passt sich schneller an, als sich der Flüssigkeitsstand verändert |
| Großes Tank-zu-Rohr-Flächenverhältnis | Überprüfen Sie A_T >> A_P |
Minimiert die Geschwindigkeit der freien Oberfläche und Impulseffekte im Tank |
| Laminarer Strömungszustand | Prüfen Sie die Reynolds-Zahl beim maximalen Volumenstrom | Unterstützt das Widerstandsmodell nach Poiseuille |
| Voll entwickelte Strömung | Stellen Sie eine ausreichende Rohrlänge sicher | Macht Berechnungen des viskosen Druckverlusts zuverlässig |
| Dominierende Rohrreibung | Vergleichen Sie Reibungs- und Einzelverluste | Bestätigt, dass der Rohrwiderstand den Ausfluss bestimmt |
| Validierung über den gesamten Bereich | Vergleichen Sie vorhergesagte und gemessene Werte von h(t) |
Zeigt Anfahrtransienten, Fehler bei Stoffeigenschaften oder nicht berücksichtigte Verluste auf |
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