Das theoretische Drehmoment für eine Kugel, die in einer Kriechströmung rotiert, beträgt (G=-8\pi\mu\omega R^3), wobei (G) das hydrodynamische Widerstandsdrehmoment, (\mu) die dynamische Viskosität, (\omega) die Winkelgeschwindigkeit und (R) der Kugelradius ist. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass das Fluiddrehmoment der Rotation der Kugel entgegenwirkt; sein Betrag ist (8\pi\mu\omega R^3). In Lehrgeräten für die Viskosimetrie in der Verfahrenstechnik ermöglicht diese lineare Beziehung zwischen Drehmoment und Geschwindigkeit den Studierenden, die Viskosität direkt aus dem gemessenen Drehmoment und der Rotationsgeschwindigkeit zu berechnen.

Für eine Kugel, die in einem effektiv unbegrenzten Fluid bei einer sehr niedrigen Reynolds-Zahl rotiert, gilt (\lvert G\rvert=8\pi\mu\omega R^3). Daher ergibt eine Drehmomentmessung bei bekanntem (R) und (\omega) die Viskosität (\mu=\lvert G\rvert/(8\pi R^3\omega)), vorausgesetzt, die Annahmen der Kriechströmung und vernachlässigbarer Wandeffekte sind gültig.

Warum das Drehmoment linear von der Winkelgeschwindigkeit abhängt

Kriechströmungsbedingungen

Das Ergebnis gilt, wenn die Reynolds-Zahl viel kleiner als eins ist:

[ \mathrm{Re}\ll 1 ]

Unter dieser Bedingung sind Trägheitseffekte im Vergleich zu viskosen Effekten vernachlässigbar. Die Fluidbewegung wird daher durch die linearen Stokes-Gleichungen bestimmt, wodurch das Widerstandsdrehmoment direkt proportional zur Winkelgeschwindigkeit ist.

Geschwindigkeitsfeld um die Kugel

Für eine Kugel, die um eine Achse rotiert, ist die Fluidgeschwindigkeit rein azimutal. In Kugelkoordinaten lautet das Geschwindigkeitsfeld

[ v_\phi(r,\theta)=\frac{\omega R^3\sin\theta}{r^2} ]

wobei (r) der Abstand vom Kugelmittelpunkt und (\theta) der von der Rotationsachse gemessene Polarwinkel ist.

Dieses Feld erfüllt die Haftbedingung an der Kugeloberfläche und klingt mit zunehmendem Abstand von der Kugel ab.

Oberflächenschubspannung

Die azimutale Schubspannung an der Kugeloberfläche ergibt sich aus

[ \tau_{r\phi}

\mu r\frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{v_\phi}{r}\right) ]

Das Einsetzen des Geschwindigkeitsprofils und die Auswertung bei (r=R) ergibt

[ \tau_{r\phi}(R,\theta)

-3\mu\omega\sin\theta ]

Die Spannung ist in der Nähe des Äquators der Kugel, wo (\sin\theta) am größten ist, am höchsten und verschwindet an den Rotationspolen.

Herleitung des Widerstandsdrehmoments

Beitrag eines Oberflächenelements

Ein Oberflächenelement auf der Kugel ist

[ dA=R^2\sin\theta,d\theta,d\phi ]

Der lokale Hebelarm bezüglich der Rotationsachse ist

[ R\sin\theta ]

Daher ist das differentielle Drehmoment die Schubkraft auf das Oberflächenelement multipliziert mit diesem Hebelarm:

[ dG

\tau_{r\phi}(R,\theta) \left(R\sin\theta\right)dA ]

Integration über die Kugel

Die Integration über die gesamte Kugeloberfläche ergibt

[ G

\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \left(-3\mu\omega\sin\theta\right) \left(R\sin\theta\right) \left(R^2\sin\theta\right) ,d\theta,d\phi ]

Daher gilt:

[ G

-3\mu\omega R^3 \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sin^3\theta,d\theta,d\phi ]

Unter Verwendung von

[ \int_0^{2\pi}d\phi=2\pi \qquad\text{und}\qquad \int_0^\pi\sin^3\theta,d\theta=\frac{4}{3} ]

ergibt sich

[ \boxed{G=-8\pi\mu\omega R^3} ]

Der experimentell relevante Betrag des Widerstandsdrehmoments ist

[ \boxed{\lvert G\rvert=8\pi\mu\omega R^3} ]

Wie der Ausdruck in der Viskosimetrie-Lehrausrüstung verwendet wird

Umrechnung von Drehmoment in Viskosität

Ein Lehr-Viskosimeter verwendet einen Motor, um die Kugel mit einer bekannten Winkelgeschwindigkeit zu drehen, und misst das Drehmoment, das erforderlich ist, um diese Rotation aufrechtzuerhalten. Durch Umstellen des theoretischen Ausdrucks erhält man

[ \boxed{\mu=\frac{\lvert G\rvert}{8\pi R^3\omega}} ]

Studierende können daher die dynamische Viskosität aus drei Größen bestimmen:

gemessenes Widerstandsdrehmoment (G);
Kugelradius (R);
Winkelgeschwindigkeit (\omega).

Demonstration der Rotationsviskosimetrie

Die Ausrüstung macht die physikalische Bedeutung der Viskosität messbar. Ein viskoseres Fluid erzeugt bei gleicher Rotationsgeschwindigkeit einen größeren Widerstand, während eine Erhöhung der Rotationsgeschwindigkeit ein proportional größeres viskoses Drehmoment erzeugt.

Die erwartete Beziehung ist

[ \lvert G\rvert\propto\omega ]

Eine Auftragung des gemessenen Drehmoments gegen die Winkelgeschwindigkeit sollte daher innerhalb des Kriechströmungsbereichs linear sein. Die Steigung beträgt

[ \frac{\lvert G\rvert}{\omega}=8\pi\mu R^3 ]

was zur Berechnung der Viskosität verwendet werden kann.

Verbindung von Theorie und Verfahrenstechnik

In einem verfahrenstechnischen Labor veranschaulicht das Gerät, wie Stoffeigenschaften aus kontrollierten mechanischen Messungen gewonnen werden. Die Studierenden verknüpfen die strömungsmechanische Herleitung mit einem Betriebsablauf, der Geschwindigkeitsregelung, Drehmomentmessung, Datenerfassung und Viskositätsberechnung umfasst.

Das Experiment zeigt auch, warum die Geometrie der Ausrüstung wichtig ist: Das Drehmoment hängt über (R^3) vom Kugelradius ab, daher muss der Radius genau bekannt sein.

Reduzierung von Wandinterferenzkorrekturen

Der theoretische Ausdruck beschreibt eine Kugel, die in einem effektiv unbegrenzten Fluid rotiert. Wenn die Kugel ausreichend weit von den Gefäßwänden entfernt ist, kann die ideale Beziehung ohne komplexe Wandinterferenzkorrekturen angewendet werden.

Dies macht die Anordnung mit rotierender Kugel nützlich, um das grundlegende Prinzip der Viskositätsmessung in einer relativ direkten Form zu lehren.

Verständnis der Kompromisse

Die Annahme der Kriechströmung ist wesentlich

Der Ausdruck ist für (\mathrm{Re}\ll1) gültig. Bei höheren Reynolds-Zahlen werden Trägheitseffekte signifikant und das Drehmoment variiert möglicherweise nicht mehr linear mit der Winkelgeschwindigkeit.

Folglich behält eine unbegrenzte Erhöhung der Geschwindigkeit die theoretische Kalibrierung nicht bei.

Wandnähe kann das gemessene Drehmoment verändern

Die Herleitung setzt voraus, dass sich das umgebende Fluid ausreichend weit von der Kugel erstreckt. Nahegelegene Gefäßwände schränken die Strömung ein und können das gemessene Widerstandsdrehmoment erhöhen.

Wenn das Gerät keinen ausreichenden Abstand bietet, unterschätzt die ideale Gleichung möglicherweise die tatsächliche Viskosität, sofern keine Korrektur angewendet wird.

Das Drehmoment umfasst in der Praxis mehr als den idealen Fluidbeitrag

Ein reales Instrument misst möglicherweise zusätzlich zum hydrodynamischen Drehmoment der Kugel mechanische Reibung, Lagerwiderstand oder Sensor-Offsets. Diese Beiträge sollten durch geeignete Null- oder Basislinienmessungen identifiziert werden, sofern das Gerät dies zulässt.

Die theoretische Gleichung sollte auf das korrigierte hydrodynamische Drehmoment angewendet werden.

Geometrie und Betriebsbedingungen müssen kontrolliert bleiben

Die Beziehung setzt eine Kugel mit bekanntem Radius voraus, die stetig in einem gleichmäßigen, newtonschen Fluid rotiert. Änderungen der Kugelgröße, Geschwindigkeit, Temperatur oder des Fluidzustands können die Interpretation der Messung beeinflussen.

Für Lehrzwecke sollten diese Variablen aufgezeichnet und konstant gehalten oder bei der Datenanalyse explizit berücksichtigt werden.

Anwendung der Beziehung im Labor

Die praktische Berechnung folgt direkt aus dem theoretischen Ergebnis:

[ \mu=\frac{\lvert G\rvert}{8\pi R^3\omega} ]

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Bestimmung der Viskosität liegt: Messen Sie das stetige Widerstandsdrehmoment bei einer bekannten Winkelgeschwindigkeit und berechnen Sie (\mu) unter Verwendung von (\lvert G\rvert/(8\pi R^3\omega)).
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Validierung der Theorie liegt: Messen Sie das Drehmoment über mehrere Betriebspunkte mit niedriger Geschwindigkeit und prüfen Sie, ob die Beziehung zwischen Drehmoment und Geschwindigkeit linear ist.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Vermittlung experimenteller Einschränkungen liegt: Vergleichen Sie die ideale Vorhersage mit Messungen unter Berücksichtigung der Reynolds-Zahl, der Wandnähe, des mechanischen Widerstands und der Temperatur.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Kalibrierung der Ausrüstung liegt: Verwenden Sie ein Fluid mit bekannter Viskosität, um die Drehmomentantwort zu verifizieren und etwaige Basis-Drehmomente oder systematische Abweichungen zu identifizieren.

Das Experiment mit der rotierenden Kugel macht das Stokes-Strömungs-Drehmomentgesetz zu einer direkten, lehrbaren Methode zur Messung der Viskosität und zur Bewertung der Annahmen hinter der verfahrenstechnischen Instrumentierung.

Zusammenfassungstabelle:

Hauptaspekt	Zusammenfassung
Drehmomentausdruck	(G=-8\pi\mu\omega R^3)
Drehmomentbetrag	(\lvert G\rvert=8\pi\mu\omega R^3)
Viskositätsberechnung	(\mu=\lvert G\rvert/(8\pi R^3\omega))
Gültigkeit	Kriechströmung mit (\mathrm{Re}\ll1)
Erwarteter Trend	Widerstandsdrehmoment steigt linear mit der Winkelgeschwindigkeit
Hauptvariablen	Drehmoment, Kugelradius, Winkelgeschwindigkeit, Temperatur und Fluidzustand
Praktische Überlegungen	Berücksichtigung von Wandeffekten, mechanischer Reibung, Sensor-Offsets und Kalibrierung

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