Die Integralregelung beseitigt die stationäre Abweichung, indem sie die Stellgröße so lange weiter anpasst, bis der aufsummierte Fehler null ist. In einer Pilotanlage zur Flüssigkeitsstandsregelung benötigt ein reiner Proportionalregler nach einer Laststörung einen anhaltenden Fehler, um die erforderliche Ventilstellung beizubehalten. Die Integralwirkung summiert diesen Fehler auf und verändert das Ventilsignal so lange, bis der Flüssigkeitsstand exakt auf seinen Sollwert zurückkehrt.

Das wesentliche Prinzip besteht darin, dass die Proportionalwirkung auf den aktuellen Fehler reagiert, während die Integralwirkung auf die Fehlerhistorie reagiert. Da der Integralanteil den Reglerausgang weiter verändert, solange ein Fehler besteht, kann der Prozess bei null stationärer Abweichung ein neues Kräfte- oder Strömungsgleichgewicht erreichen.

Warum die Proportionalregelung eine Abweichung hinterlässt

Der Regler benötigt einen Fehler, um eine Korrektur aufrechtzuerhalten

Für eine Proportionalregelung gilt

[ u(t)=K_c e(t) ]

wobei (u(t)) der Reglerausgang, (K_c) die Proportionalverstärkung und (e(t)) der Sollwertfehler ist.

Nach einer Störung muss das Ventil möglicherweise in einer neuen Stellung verbleiben, um die Stoffbilanz wiederherzustellen. Ein Proportionalregler kann diesen veränderten Ausgang nur erzeugen, wenn ein von null verschiedener Fehler bestehen bleibt.

Der Flüssigkeitsstand stabilisiert sich auf dem falschen Wert

Angenommen, der Ausfluss steigt plötzlich an. Das Zulaufventil muss weiter geöffnet werden, um den neuen Ausfluss auszugleichen.

Wenn der Flüssigkeitsstand vollständig auf den Sollwert zurückkehrte, würde der Fehler null werden. Der Proportionalregler würde seinen Ausgang dann auf den ursprünglichen Wert zurückführen, der Zulauf würde zu klein werden und der Flüssigkeitsstand erneut absinken.

Das stabile Ergebnis ist daher ein von null verschiedener Füllstandsfehler, der als stationäre Abweichung bezeichnet wird. Bei einer Einheitslaststörung im Referenzmodell ist die Abweichung proportional zu (1/K_c).

Eine Erhöhung der Verstärkung verringert die Abweichung, beseitigt sie aber nicht

Ein größeres (K_c) erzeugt für denselben Fehler eine größere Korrekturwirkung und verringert dadurch die Abweichung.

Eine Proportionalregelung kann die Abweichung bei endlicher Verstärkung jedoch nicht exakt auf null bringen. Eine zu hohe Verstärkung kann außerdem Schwingungen, eine schlechte Dämpfung oder Instabilität verursachen.

Wie die Integralwirkung die Abweichung beseitigt

Die Integralregelung summiert den Fehler über die Zeit auf

Die Integralregelung wird üblicherweise dargestellt als

[ G_c(s)=\frac{K_c}{\tau_I s} ]

wobei (\tau_I) die Integral- oder Nachstellzeit ist.

Im Zeitbereich ist der Integralanteil proportional zu

[ u_I(t)=\frac{K_c}{\tau_I}\int_0^t e(\lambda),d\lambda ]

Der Regler reagiert daher nicht nur auf den aktuellen Fehler, sondern auch darauf, wie lange der Fehler bereits besteht.

Ein kleiner Fehler verändert das Ventilsignal weiterhin

Selbst wenn der Füllstandsfehler klein wird, summiert der Integralanteil ihn weiter auf.

Diese fortlaufende Anpassung bewegt das Ventil allmählich, bis der manipulierte Zulauf den gestörten Ausfluss exakt kompensiert. Zu diesem Zeitpunkt ist kein Fehler erforderlich, um die neue Ventilstellung aufrechtzuerhalten.

Nullfehler ist der einzige stationäre Zustand

Damit ein endlicher, nicht gesättigter Integralanteil im stationären Zustand konstant bleibt, muss sein Eingang null sein:

[ e_{\text{ss}}=0 ]

Wenn der Regelkreis stabil ist und der Aktor über ausreichende Stellreserve verfügt, führt die PI-Regelung die Prozessgröße daher zum Sollwert:

[ y(t\rightarrow\infty)=r ]

Für einen auf eins normierten Einheitssprung des Sollwerts ergibt sich

[ y(t\rightarrow\infty)=1 ]

Die stationäre Abweichung wird somit beseitigt.

Was ist bei Flüssigkeitsstandsprozessen besonders?

Der Tank selbst kann ein integrierender Prozess sein

Für einen Tank mit konstantem Ausfluss und dem Zulauf als Stellgröße kann die Stoffbilanz geschrieben werden als

[ A\frac{dh}{dt}=q_{\text{in}}-q_{\text{out}} ]

wobei (A) die Querschnittsfläche des Tanks und (h) der Flüssigkeitsstand ist.

In Übertragungsfunktionsform lautet der idealisierte Prozess

[ G_p(s)=\frac{1}{As} ]

Der Term (1/s) bedeutet, dass ein anhaltendes Strömungsungleichgewicht dazu führt, dass sich der Flüssigkeitsstand weiter verändert, anstatt sich von selbst zu stabilisieren.

Eine Proportionalregelung kann einen Füllstandssollwert ohne Abweichung verfolgen

Bei einem ideal integrierenden Flüssigkeitsstandsprozess kann eine Proportionalregelung nach einem Sollwertsprung eine stationäre Abweichung von null erzeugen. Der Flüssigkeitsstand ändert sich erst dann nicht mehr, wenn das Strömungsungleichgewicht beseitigt wurde, was beim Zielsollwert der Fall ist.

Dies ist eine wichtige Einschränkung: Die Aussage, dass eine Proportionalregelung immer eine Sollwertabweichung hinterlässt, trifft auf reine integrierende Prozesse nicht zu.

Laststörungen erzeugen weiterhin eine proportionale Abweichung

Eine Sprungänderung des Zu- oder Ausflusses ist etwas anderes. Bei einer reinen Proportionalregelung muss der Regler ein verändertes Ventilsignal aufrechterhalten, wofür ein anhaltender Fehler erforderlich ist.

Bei einer Einheitslaststörung beträgt die verbleibende Abweichung im Referenzmodell

[ e_{\text{ss}}=-\frac{1}{K_c} ]

Das Vorzeichen hängt von der Störung und der Rückführungskonvention ab; das entscheidende Ergebnis ist jedoch, dass der Betrag umgekehrt proportional zur Proportionalverstärkung ist.

Die Integralwirkung beseitigt diese Störungsabweichung, indem sie den erforderlichen stationären Reglerausgang unabhängig von einem anhaltenden Fehler erzeugt.

Die Betrachtung des geschlossenen Regelkreises

Die Integralwirkung fügt einen Pol im Ursprung hinzu

Der Integralregler enthält den Faktor (1/s), der dem Regelkreis aus Regler und Prozess eine integrierende Betriebsart hinzufügt.

Dadurch erhöht sich der Systemtyp, und der Regelkreis kann konstante Störungen mit einem stationären Fehler von null unterdrücken, sofern der gesamte geschlossene Regelkreis stabil bleibt.

Der Endwertsatz bestätigt dieses Ergebnis

Für ein stabiles System mit geschlossenem Regelkreis gilt nach dem Endwertsatz

[ \lim_{t\to\infty}y(t)

\lim_{s\to 0}sY(s) ]

Da die Integralwirkung im idealen Modell die Schleifenverstärkung bei niedrigen Frequenzen unbegrenzt erhöht, kann der stationäre Fehler bei einem Sollwertsprung oder einer konstanten Last gegen null gehen.

Der Satz gilt nur, wenn der geschlossene Regelkreis stabil ist und der entsprechende Endwert existiert. Er garantiert kein akzeptables Übergangsverhalten.

Die Kompromisse verstehen

Die Integralwirkung kann die Reaktion träge machen

Eine lange Nachstellzeit führt zu einer schwachen Integralwirkung. Die Abweichung wird langsamer beseitigt, und der Prozess benötigt möglicherweise mehr Zeit, um sich von einer Störung zu erholen.

Eine kurze Nachstellzeit führt zu einer aggressiven Korrektur, die die Erholungsgeschwindigkeit verbessern, aber die Dämpfung verringern kann.

Eine schlechte Abstimmung kann Überschwingen und Schwingungen verursachen

Die Integralwirkung erhöht die dynamische Ordnung des geschlossenen Regelkreises. Wenn (K_c) zu hoch oder (\tau_I) zu klein ist, kann der Flüssigkeitsstand den Sollwert überschwingen oder um ihn herum schwingen.

Das richtige Ziel ist nicht lediglich eine Abweichung von null. Der Regelkreis muss außerdem eine akzeptable Einschwingzeit, Dämpfung und Aktorbewegung aufweisen.

Integral-Windup begrenzt die praktische Leistungsfähigkeit

Wenn das Zulaufventil seine physikalische Grenze erreicht, während ein großer Fehler bestehen bleibt, kann sich der Integralanteil weiter aufbauen. Dieser Zustand wird als Integral-Windup bezeichnet.

Wenn der Prozess wieder steuerbar wird, kann der gespeicherte Integralwert das Ventil übermäßig weit ansteuern, was zu Überschwingen und einer verzögerten Erholung führt. Praktische Regler begegnen diesem Problem mit Ausgangsbegrenzern, Anti-Windup-Rückführung, Integraltrennung oder einer vorübergehenden Deaktivierung der Integration bei großen Abweichungen.

Reale Pilotanlagen sind nicht vollkommen ideal

Tankreibung, Nichtlinearitäten des Ventils, Messumformergrenzen, veränderliche Ausflussbedingungen und die Sättigung des Aktors können dazu führen, dass sich der reale Prozess vom idealen Modell (1/(As)) unterscheidet.

Die Schlussfolgerung einer Abweichung von null hängt daher von einer angemessenen Abstimmung, der korrekten Reglerwirkung, einer ausreichenden Aktorkapazität und einem funktionierenden Messkreis ab.

So wird dies auf eine Pilotanlage angewendet

Die wichtigste Unterscheidung besteht darin, ob es um Sollwertverfolgung oder Störungsunterdrückung geht.

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Sollwertverfolgung liegt: Beachten Sie, dass ein idealer, rein integrierender Flüssigkeitsstandsprozess mit einer Proportionalregelung eine Sollwertabweichung von null erreichen kann, obwohl eine PI-Regelung für ein robustes Verhalten unter realistischen Störungen weiterhin ausgewählt werden kann.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Unterdrückung von Laststörungen liegt: Verwenden Sie eine Integralwirkung, damit der Regler die erforderliche neue Ventilstellung einrichten kann, ohne einen von null verschiedenen Flüssigkeitsstandsfehler aufrechterhalten zu müssen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf einer schnellen Erholung liegt: Stimmen Sie (K_c) und (\tau_I) gemeinsam ab, da eine aggressive Integralwirkung Überschwingen und Schwingungen verursachen kann.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf einem zuverlässigen Betrieb liegt: Berücksichtigen Sie Aktorgrenzen und einen Anti-Windup-Schutz, damit sich der aufsummierte Integralfehler nicht so stark aufbauen kann, dass die Erholung instabil wird.

Die Integralregelung beseitigt die stationäre Abweichung, weil sie die anhaltende Reglerkorrektur durch den aufsummierten Fehler bereitstellt, anstatt zu verlangen, dass der Prozess von seinem Sollwert entfernt bleibt.

Zusammenfassungstabelle:

Wichtiger Punkt	Erklärung
Proportionalregelung	Benötigt nach einer Laststörung einen anhaltenden Fehler, um eine veränderte Ventilstellung aufrechtzuerhalten.
Integralregelung	Summiert den Fehler auf und passt die Stellgröße weiter an, bis der stationäre Fehler null erreicht.
Flüssigkeitsstandsprozess	Ein idealer Tank ist ein integrierender Prozess, sodass eine Proportionalregelung Sollwertsprünge möglicherweise ohne Abweichung verfolgen kann.
Störungsunterdrückung	Die PI-Regelung beseitigt die verbleibende Flüssigkeitsstandsabweichung, die durch Änderungen des Zu- oder Ausflusses verursacht wird.
Abstimmungsgesichtspunkte	Eine aggressive Integralwirkung kann Überschwingen, Schwingungen oder eine träge Erholung verursachen.
Praktischer Schutz	Aktorgrenzen und Anti-Windup-Funktionen helfen, einen übermäßigen Aufbau des Integralanteils zu verhindern.

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