Für eine glatte ebene Platte mit laminarer Grenzschicht wird der gesamte Hautreibungswiderstand durch Integration der lokalen Wandschubspannung entlang der Platte berechnet. Für eine Platte der Länge (l), Breite (b), Außenströmungsgeschwindigkeit (U_\infty), dynamischen Viskosität (\mu), Dichte (\rho) und kinematischen Viskosität (\nu=\mu/\rho) ergibt sich der Widerstandsbeiwert zu

[ c_D=\frac{1.328}{\sqrt{Re_l}}, \qquad Re_l=\frac{U_\infty l}{\nu}. ]

Das Blasius-Ergebnis gilt für eine vollständig laminare Grenzschicht über der Platte, im Allgemeinen bis zum Übergangsbereich ebener Platten von ungefähr (Re_l=5\times10^5) bis (10^6), abhängig vom Störungsniveau und dem Oberflächenzustand.

Kernaussage: Für eine laminare Strömung über einer Seite einer glatten ebenen Platte beträgt der gesamte Reibungswiderstand (D_f=\tfrac12\rho U_\infty^2 b l, [1.328/\sqrt{Re_l}]). Die Korrelation gilt unterhalb des Grenzschichtübergangs; sobald sich eine turbulente Strömung entwickelt, ist der tatsächliche Widerstand deutlich höher als die laminare Vorhersage.

Wie der Gesamtwiderstand ermittelt wird

Ausgangspunkt: lokale Wandschubspannung

Die Blasius-Lösung liefert die lokale Wandschubspannung im Abstand (x) von der Vorderkante als

[ \tau_w(x)

0.332,\mu U_\infty \sqrt{\frac{U_\infty}{\nu x}}. ]

Da (\tau_w(x)\propto x^{-1/2}), ist die Schubspannung nahe der Vorderkante am höchsten und nimmt stromabwärts ab.

Integration der Schubspannung über die Platte

Für eine Platte konstanter Breite (b) lautet der Reibungswiderstand

[ D_f=b\int_0^l \tau_w(x),dx. ]

Durch Einsetzen des Blasius-Ausdrucks ergibt sich

[ D_f

b\int_0^l 0.332,\mu U_\infty \sqrt{\frac{U_\infty}{\nu x}},dx. ]

Da (\int_0^l x^{-1/2}dx=2\sqrt{l}), gilt

[ D_f

0.664,b,\mu U_\infty \sqrt{\frac{U_\infty l}{\nu}}. ]

Dies ist der gesamte Hautreibungswiderstand für die angegebene Plattenoberfläche.

Ausdruck mithilfe der Reynolds-Zahl

Die Reynolds-Zahl der Platte ist

[ Re_l=\frac{U_\infty l}{\nu}. ]

Unter Verwendung von (\mu=\rho\nu) wird die Widerstandskraft zu

[ D_f

0.664,\rho U_\infty^2 b l,Re_l^{-1/2}. ]

Der Widerstandsbeiwert wird mit der Bezugsfläche (A=bl) definiert:

[ c_D=\frac{D_f}{\tfrac12\rho U_\infty^2 bl}. ]

Daher gilt

[ \boxed{c_D=\frac{1.328}{\sqrt{Re_l}}}. ]

Dieser Beiwert basiert auf der benetzten Fläche der untersuchten Plattenoberfläche. Bei einer Anströmung beider Seiten mit derselben Strömung muss die Kraft für jede Seite berechnet und addiert werden.

Verständnis der lokalen und mittleren Beiwerte

Lokale Reynolds-Zahl

An einer Position (x) entlang der Platte lautet die lokale Reynolds-Zahl

[ Re_x=\frac{U_\infty x}{\nu}. ]

Der lokale Hautreibungsbeiwert, unter Verwendung der konventionellen Definition mit dem dynamischen Druck, ist

[ c_{f,x}

\frac{\tau_w(x)}{\tfrac12\rho U_\infty^2}

\frac{0.664}{\sqrt{Re_x}}. ]

Der lokale Beiwert wird somit mit zunehmendem (x) kleiner.

Mittlerer Hautreibungsbeiwert

Die Mittelung der lokalen Schubspannung über die Plattenlänge ergibt

[ \overline{c_f}

\frac{1.328}{\sqrt{Re_l}}. ]

Für eine ebene Platte mit verschwindendem Druckgradienten ist dieser mittlere Hautreibungsbeiwert numerisch gleich dem Gesamtwiderstandsbeiwert, wenn die Bezugsfläche (bl) beträgt.

Warum die Vorderkante wichtiger ist

Die Grenzschicht beginnt an der Vorderkante mit sehr geringer Dicke. Der daraus resultierende Geschwindigkeitsgradient an der Wand ist steil, wodurch eine relativ hohe Wandschubspannung entsteht.

Wenn die Grenzschicht stromabwärts wächst, nimmt der Geschwindigkeitsgradient ab. Die hinteren Abschnitte tragen weiterhin zum Widerstand bei, jedoch mit einem geringeren Widerstand pro Flächeneinheit als die Bereiche nahe der Vorderkante.

Anwendung der Korrelation in Pilotanlagen

Erforderliche Strömungs- und Fluideigenschaften

Zur Berechnung des Widerstands sind folgende Größen zu bestimmen:

(U_\infty): Geschwindigkeit der Außen- oder Freiströmung
(l): Plattenlänge in Strömungsrichtung
(b): Plattenbreite
(\rho): Fluiddichte
(\mu): dynamische Viskosität
(\nu=\mu/\rho): kinematische Viskosität

Alle Größen müssen in einem einheitlichen Einheitensystem verwendet werden.

Berechnungsablauf

Verwenden Sie den folgenden Ablauf:

Berechnen Sie die Reynolds-Zahl der Platte:

[ Re_l=\frac{U_\infty l}{\nu}. ]
Prüfen Sie, ob die Grenzschicht über die gesamte Platte hinweg laminar bleibt.
Berechnen Sie den Widerstandsbeiwert:

[ c_D=\frac{1.328}{\sqrt{Re_l}}. ]
Berechnen Sie den Reibungswiderstand:

[ D_f=c_D\left(\frac12\rho U_\infty^2bl\right). ]

Mit diesem Verfahren können in Pilotanlagen gemessene Widerstandskräfte oder Druckverluste mit der idealen Vorhersage für eine laminare Grenzschicht verglichen werden.

Verständnis der Abwägungen

Die Reynolds-Grenze ist nicht absolut

Der häufig zitierte Übergangsbereich beträgt ungefähr

[ Re_{\text{crit}}\approx 5\times10^5\text{ bis }10^6. ]

Der genaue Übergangspunkt hängt von der Oberflächenrauheit, der Turbulenz der Außenströmung, Vibrationen, Druckstörungen und anderen Umgebungsbedingungen ab.

Turbulente Bereiche erfordern eine andere Korrelation

Wenn der Übergang vor der Hinterkante auftritt, wird die Platte nicht mehr vollständig durch die laminare Blasius-Lösung beschrieben. Der turbulente Bereich weist eine höhere Wandschubspannung auf, sodass die Verwendung von (1.328/\sqrt{Re_l}) für die gesamte Platte den Widerstand im Allgemeinen unterschätzt.

Bei einer gemischten laminaren und turbulenten Berechnung muss die Platte in laminare und turbulente Bereiche unterteilt und für den stromabwärtigen Abschnitt eine geeignete Korrelation für den turbulenten Hautreibungsbeiwert verwendet werden.

Druckwiderstand ist ausgeschlossen

Das Ergebnis beschreibt ausschließlich den Hautreibungswiderstand. Für eine ideale ebene Platte, die an einer gleichförmigen Strömung ausgerichtet ist, wird der Druck- oder Formwiderstand in dieser Grenzschichtberechnung nicht berücksichtigt.

Wenn die Platte geneigt ist, eine wesentliche Dicke besitzt, Ablösung auftritt oder das äußere Druckfeld beeinflusst wird, kann der Gesamtwiderstand zusätzlich einen Druckwiderstandsanteil enthalten.

Das Verhalten an der Vorderkante erfordert praktische Sorgfalt

Die ideale mathematische Lösung sagt eine sehr hohe lokale Schubspannung voraus, wenn sich (x) null nähert, da die Abhängigkeit (1/\sqrt{x}) besteht. Der integrierte Widerstand bleibt endlich, jedoch können Messungen nahe der tatsächlichen Vorderkante durch die Vorderkantengeometrie, die endliche Dicke, Rauheit und Einschränkungen der Messinstrumente beeinflusst werden.

Die richtige Wahl für Ihr Ziel

Verwenden Sie die Blasius-Korrelation, wenn Platte und Strömung die genannten Annahmen erfüllen.

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem gesamten laminaren Widerstand liegt: Berechnen Sie (Re_l), verwenden Sie (c_D=1.328/\sqrt{Re_l}) und bestimmen Sie (D_f=\tfrac12\rho U_\infty^2blc_D).
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der lokalen Wandschubspannung liegt: Verwenden Sie (Re_x=U_\infty x/\nu) und (\tau_w(x)=0.332\mu U_\infty\sqrt{U_\infty/(\nu x)}).
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Bewertung des Übergangs liegt: Vergleichen Sie (Re_l) mit dem ungefähren Übergangsbereich von (5\times10^5) bis (10^6) und berücksichtigen Sie Oberflächen- und Strömungsstörungen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Widerstand oder Energieverlust in einer Pilotanlage liegt: Stellen Sie vor der Anwendung der laminaren Gleichung fest, ob turbulente Strömung, Ablösung, Rauheit oder Druckwiderstand zum Ergebnis beitragen.

Mit der Überprüfung der Reynolds-Zahl und der korrekten Definition des Widerstands liefert die Blasius-Lösung eine zuverlässige Grundlage für die Interpretation von Reibungsmessungen an laminaren Strömungen über ebenen Platten.

Zusammenfassungstabelle:

Wichtiger Punkt	Formel oder Hinweis
Reynolds-Zahl der Platte	`Re_l = U_inf l / nu`
Lokale Wandschubspannung	`tau_w(x) = 0.332 mu U_inf sqrt[U_inf / (nu x)]`
Lokaler Hautreibungsbeiwert	`c_f,x = 0.664 / sqrt(Re_x)`
Mittlerer oder gesamter Widerstandsbeiwert	`c_D = 1.328 / sqrt(Re_l)`
Reibungswiderstand, eine Seite	`D_f = 0.5 rho U_inf^2 b l c_D`
Typischer Gültigkeitsbereich	Vollständig laminare Strömung, im Allgemeinen unterhalb von `Re_l = 5 x 10^5` bis `10^6`
Wesentliche Einschränkungen	Druckwiderstand wird nicht berücksichtigt; der Übergang hängt von Rauheit, Turbulenz, Vibrationen und Störungen ab

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