In Experimenten zur Grenzschicht an einer ebenen Platte beschreiben diese drei Dicken unterschiedliche Auswirkungen desselben Geschwindigkeitsdefizits. Die Grenzschichtdicke bei 99 %, (\delta_{99}), ist ein geometrisches Maß, das darauf basiert, wo die lokale Geschwindigkeit 99 % des Freistromwertes erreicht. Die Verdrängungsdicke, (\delta_1), beschreibt den fehlenden Volumenstrom, während die Impulsdicke, (\delta_2), den fehlenden Impulsstrom beschreibt.

Die Dicken sind nicht austauschbar: (\delta_{99}) beschreibt die sichtbare Ausdehnung der Grenzschicht, (\delta_1) beschreibt deren Verdrängungswirkung auf den Massenstrom und (\delta_2) beschreibt deren Impulsverlustwirkung.

Was die drei Dicken messen

Grenzschichtdicke bei 99 %

Die Grenzschichtdicke bei 99 %, üblicherweise als (\delta_{99}) bezeichnet, ist der Abstand von der Wand, bei dem die lokale Strömungsgeschwindigkeit in Hauptströmungsrichtung 99 % der Freistromgeschwindigkeit erreicht:

[ u(x,\delta_{99}) = 0.99U_\infty ]

Hier ist (u(x,y)) die lokale Geschwindigkeit an der Position (x) in Hauptströmungsrichtung und an der wandnormalen Position (y), während (U_\infty) die Geschwindigkeit außerhalb der Grenzschicht bezeichnet.

Für eine laminare Blasius-Strömung über einer ebenen Platte gilt:

[ \delta_{99} \approx 5.0\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

wobei (\nu) die kinematische Viskosität ist.

Verdrängungsdicke

Die Verdrängungsdicke, (\delta_1), beschreibt die Verringerung des Volumenstroms, die durch die langsamere Flüssigkeit in Wandnähe verursacht wird. Sie ist die äquivalente Dicke eines idealen Fluids mit Freistromgeschwindigkeit, das dasselbe Volumenstromdefizit verursachen würde:

[ \delta_1

\int_0^\infty \left(1-\frac{u}{U_\infty}\right),dy ]

Obwohl sich die tatsächliche Geschwindigkeit in der Grenzschicht allmählich (U_\infty) annähert, wird das Integral üblicherweise bis unendlich geschrieben, da das Geschwindigkeitsdefizit außerhalb der Grenzschicht vernachlässigbar wird.

Für eine laminare Blasius-Strömung gilt:

[ \delta_1

1.7208\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

Diese Größe ist besonders nützlich bei der Bewertung der effektiven Strömungskanalfläche und der nach außen gerichteten Verdrängung der äußeren Stromlinien.

Impulsdicke

Die Impulsdicke, (\delta_2), misst das durch die Grenzschicht verursachte Defizit des Impulsstroms:

[ \delta_2

\int_0^\infty \frac{u}{U_\infty} \left(1-\frac{u}{U_\infty}\right),dy ]

Der Faktor (u/U_\infty) berücksichtigt, dass der Impulsstrom sowohl von der Geschwindigkeit als auch vom Massenstrom abhängt. Daher ist die Impulsdicke nicht einfach ein weiteres geometrisches Maß der Schicht.

Für eine laminare Blasius-Strömung gilt:

[ \delta_2

0.664\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

Die Impulsdicke wird häufig bei der Berechnung des Widerstands, bei integralen Grenzschichtverfahren und beim Vergleich theoretischer und gemessener Geschwindigkeitsprofile verwendet.

Mathematische Beziehungen für eine laminare Strömung über einer ebenen Platte

Gemeinsame Skalierung in Hauptströmungsrichtung

Alle drei Größen wachsen mit derselben charakteristischen Längenskala:

[ \sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

Für konstante Fluideigenschaften und konstante Freistromgeschwindigkeit nimmt daher jede Dicke stromabwärts von der Vorderkante ungefähr mit (\sqrt{x}) zu.

Die Grenzschicht wird mit zunehmendem Abstand von der Vorderkante dicker, da die viskosen Effekte über eine größere Strecke Zeit hatten, Impuls von der Wand weg zu diffundieren.

Verhältnisse zur 99-%-Dicke

Unter Verwendung der Blasius-Koeffizienten:

[ \frac{\delta_1}{\delta_{99}}

\frac{1.7208}{5.0} \approx 0.344 ]

Daher gilt:

[ \delta_1 \approx 0.34\delta_{99} ]

Ebenso:

[ \frac{\delta_2}{\delta_{99}}

\frac{0.664}{5.0} \approx 0.133 ]

Daher gilt:

[ \delta_2 \approx 0.13\delta_{99} ]

Diese Verhältnisse erklären, warum die Verdrängungs- und Impulsdicken numerisch kleiner sind als die gemessene oder berechnete 99-%-Dicke.

Beziehung zwischen Verdrängungs- und Impulsdicke

Für eine laminare Blasius-Strömung gilt:

[ \frac{\delta_1}{\delta_2}

\frac{1.7208}{0.664} \approx 2.59 ]

Dieses Verhältnis wird als Formfaktor bezeichnet:

[ H

\frac{\delta_1}{\delta_2} ]

Für eine laminare Blasius-Grenzschicht gilt:

[ H \approx 2.59 ]

Der Formfaktor fasst die Form des Geschwindigkeitsprofils zusammen. Ein größerer Wert weist im Allgemeinen auf ein ausgeprägteres Impulsdefizit im Verhältnis zur Verdrängungswirkung hin und kann bei der Beurteilung des Grenzschichtzustands und des Ablösungsrisikos hilfreich sein.

Warum die Definitionen bei Laborgeräten wichtig sind

Interpretation von Geschwindigkeitsprofilmessungen

In einem strömungsmechanischen Laboraufbau misst eine Geschwindigkeitsmesssonde (u(x,y)) an mehreren wandnormalen Positionen. Das gemessene Profil kann anschließend verwendet werden, um die Stelle zu bestimmen, an der (u/U_\infty=0.99) gilt, und damit eine experimentelle Schätzung von (\delta_{99}) zu erhalten.

Dasselbe Profil kann numerisch integriert werden, um (\delta_1) und (\delta_2) zu berechnen. Diese integralen Größen verwenden das gesamte Geschwindigkeitsprofil anstelle einer einzelnen Schwellenposition.

Bewertung der effektiven Strömungsfläche

Die Grenzschicht verringert den Volumenstrom, der in der wandnahen Region transportiert wird. Die Verdrängungsdicke beschreibt diese Verringerung als äquivalente Blockierung oder nach außen gerichtete Verschiebung der äußeren Stromlinien.

In einem Kanal, einer Leitung oder einem Strömungsapparat im Pilotmaßstab ist die effektive Strömungsfläche daher kleiner als die rein geometrische Fläche. Die Auswirkung wird wichtiger, wenn Grenzschichten an gegenüberliegenden Wänden wachsen.

Verknüpfung von Impulsverlust und Widerstand

Die Impulsdicke steht in direktem Zusammenhang mit dem durch die Wandreibung verursachten Impulsdefizit in Hauptströmungsrichtung. In einer Grenzschicht mit verschwindendem Druckgradienten ist ihr stromabwärtiges Wachstum mit dem aus der äußeren Strömung entfernten Impuls verbunden.

Dadurch ist (\delta_2) bei der Analyse von Wandreibung, Widerstand und integralen Impulsbilanzen relevanter als (\delta_{99}).

Verständnis der Abwägungen

(\delta_{99}) hängt von einem gewählten Schwellenwert ab

Die 99-%-Dicke ist praktisch, aber die Grenzschicht endet nicht an einer scharf definierten physikalischen Oberfläche. Die Wahl von 95 %, 99 % oder 99,9 % führt zu unterschiedlichen numerischen Dicken.

Folglich ist (\delta_{99}) nützlich, um die sichtbare Ausdehnung der Schicht anzugeben, aber weniger fundamental als die integralen Dicken.

Integrale Dicken hängen von der Profilqualität ab

Die Berechnung von (\delta_1) und (\delta_2) erfordert genaue Geschwindigkeitsmessungen über den gesamten Bereich, der das Geschwindigkeitsdefizit enthält. Spärliche Messungen, Fehler bei der Positionierung der Sonde, Wandeinflüsse und Unsicherheiten bei (U_\infty) können die Integrationen erheblich beeinflussen.

Experimentelle Daten werden vor der numerischen Integration häufig interpoliert. Die gewählte Interpolation und der Umgang mit der äußeren Messgrenze sollten jedoch dokumentiert werden.

Blasius-Beziehungen basieren auf bestimmten Annahmen

Die Formeln

[ \delta_{99}=5.0\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}, \qquad \delta_1=1.7208\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}, \qquad \delta_2=0.664\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

gelten für eine stationäre, inkompressible, zweidimensionale, laminare Grenzschicht über einer ebenen Platte mit annähernd verschwindendem Druckgradienten.

Sie sollten nicht ohne Anpassung auf turbulente Strömungen, starke Druckgradienten, gekrümmte Oberflächen, dreidimensionale Querströmungen, kompressible Strömungen oder abgelöste Strömungen angewendet werden. In diesen Fällen bleiben die Definitionen nützlich, aber die numerischen Beziehungen ändern sich.

So wenden Sie dies auf Ihr Projekt an

Verwenden Sie die drei Maße entsprechend der Fragestellung, die Ihr Laborexperiment beantworten soll:

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Wachstum der Grenzschicht liegt: Verwenden Sie (\delta_{99}), um die geometrische Dicke anzugeben, und vergleichen Sie deren gemessene Veränderung mit (5.0\sqrt{\nu x/U_\infty}).
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Strömungsblockierung oder der effektiven Kanalfläche liegt: Verwenden Sie (\delta_1), da diese das Volumenstromdefizit und die Verschiebung der Stromlinien quantifiziert.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Widerstand oder Impulsverlust liegt: Verwenden Sie (\delta_2) und bestimmen Sie den Formfaktor (H=\delta_1/\delta_2).
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Validierung eines laminaren Plattenexperiments liegt: Vergleichen Sie alle drei Größen und prüfen Sie, ob (\delta_1/\delta_{99}\approx0.34), (\delta_2/\delta_{99}\approx0.13) und (H\approx2.59) gelten.

Durch die Auswahl der Definition, die zur interessierenden physikalischen Größe passt, wird ein gemessenes Geschwindigkeitsprofil zu einem aussagekräftigen technischen Ergebnis.

Zusammenfassungstabelle:

Dicke	Was sie misst	Wichtige Formel	Blasius-Ergebnis
Grenzschichtdicke bei 99 %, δ₉₉	Abstand, bei dem die Geschwindigkeit 99 % der Freistromgeschwindigkeit erreicht	u(x, δ₉₉) = 0.99U∞	δ₉₉ ≈ 5.0√(νx/U∞)
Verdrängungsdicke, δ₁	Volumenstromdefizit und nach außen gerichtete Verschiebung der äußeren Stromlinien	δ₁ = ∫₀∞(1 − u/U∞)dy	δ₁ = 1.7208√(νx/U∞)
Impulsdicke, δ₂	Mit Widerstand und Impulsverlust verbundenes Impulsstromdefizit	δ₂ = ∫₀∞(u/U∞)(1 − u/U∞)dy	δ₂ = 0.664√(νx/U∞)
Formfaktor, H	Form des Geschwindigkeitsprofils und Indikator für die Ablösungstendenz	H = δ₁/δ₂	H ≈ 2.59

Beziehungen für die laminare Strömung über einer ebenen Platte: δ₁ ≈ 0.34δ₉₉, δ₂ ≈ 0.13δ₉₉, und alle drei Größen skalieren mit √(νx/U∞).

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