Eine Freiheitsgradanalyse (DOF-Analyse) wird durchgeführt, indem jede unbekannte Stromvariable aufgelistet, die unabhängigen Gleichungen und Randbedingungen gezählt und letztere von ersterer Anzahl subtrahiert werden. Für eine Pilotanlage zur Zellabtrennung umfasst dies normalerweise Durchflussraten und Massenanteile lebender Zellen, toter Zellen und wässrigen Mediums in den Zu-, Produkt- und Abfallströmen. Das Modell ist vollständig spezifiziert, wenn der resultierende DOF gleich null ist.

DOF = Anzahl unbekannter Variablen − Anzahl unabhängiger Gleichungen. Ein positives Ergebnis bedeutet, dass zusätzliche Messungen oder Prozessspezifikationen erforderlich sind; ein negatives Ergebnis weist auf redundante oder potenziell widersprüchliche Informationen hin.

Das Zellabtrennungssystem definieren

Die Grenze der Unit-Operation festlegen

Zeichnen Sie zunächst eine Prozessgrenze um die Trennvorrichtung, beispielsweise eine Zentrifuge oder eine Dielektrophorese-Einheit.

Identifizieren Sie alle Ströme, die die Grenze überschreiten:

Suspensionszulauf
Produktstrom mit lebenden Zellen
Strom mit toten Zellen oder Abfallstrom
Zusätzliche Flüssigkeits-, Wasch-, Rückführ- oder Spülströme

Die Analyse sollte für das kleinste sinnvolle Teilsystem durchgeführt werden. Eine komplexe Pilotanlage kann daher zunächst Einheit für Einheit analysiert werden, bevor das vollständige Fließbild betrachtet wird.

Die modellierten Spezies definieren

Für das beschriebene Zellabtrennungsproblem können die Spezies sein:

Lebende Zellen
Tote Zellen
Wasser oder wässriges Medium

Zusätzliche Spezies wie Salze, Metaboliten, Puffer oder Trägerpartikel müssen ebenfalls berücksichtigt werden, wenn sie die Stoffbilanzen oder Trennspezifikationen beeinflussen.

Alle unbekannten Variablen auflisten

Durchflussvariablen zählen

Definieren Sie für jeden Strom eine Gesamtmassenstromrate, zum Beispiel:

[ \dot{m}_F,\quad \dot{m}_P,\quad \dot{m}_W ]

wobei (F), (P) und (W) für Zulauf, Produkt und Abfall stehen.

Wenn eine Stromrate gemessen oder vorgegeben ist, gilt sie bei der DOF-Zählung nicht als unbekannt.

Zusammensetzungsvariablen zählen

Definieren Sie für jeden Strom die Massenanteile der modellierten Spezies:

[ w_{v,i},\quad w_{d,i},\quad w_{a,i} ]

wobei (v), (d) und (a) für lebende Zellen, tote Zellen beziehungsweise wässriges Medium stehen.

Bei drei Spezies scheint jeder Strom zunächst vier Variablen zu besitzen:

Eine Gesamtmassenstromrate
Drei Spezies-Massenanteile

Die drei Massenanteile sind jedoch nicht unabhängig, da gilt:

[ w_{v,i}+w_{d,i}+w_{a,i}=1 ]

Daher besitzt jeder Strom nur zwei unabhängige Zusammensetzungsvariablen.

Bekannte Messungen von Unbekannten unterscheiden

Eine gemessene Zulaufstromrate oder eine Laborbestimmung der Konzentration lebender Zellen ist eine bekannte Spezifikation. Sie muss aus der Anzahl der unbekannten Variablen entfernt werden.

Diese Unterscheidung ist bei der Modellierung von Pilotanlagen entscheidend, da Sensorwerte, Analysen von Proben und vorgegebene Betriebsbedingungen den DOF verändern können, ohne die physische Anlage zu verändern.

Die unabhängigen Gleichungen zählen

Stoffbilanzen der Spezies anwenden

Für eine nichtreaktive Zellabtrennungseinheit wird für jede erhaltene Spezies eine Bilanz aufgestellt:

[ \dot{m}F w{v,F}

\dot{m}P w{v,P} + \dot{m}W w{v,W} ]

[ \dot{m}F w{d,F}

\dot{m}P w{d,P} + \dot{m}W w{d,W} ]

[ \dot{m}F w{a,F}

\dot{m}P w{a,P} + \dot{m}W w{a,W} ]

Dies sind die unabhängigen Komponentenbilanzen für lebende Zellen, tote Zellen und wässriges Medium.

Zusätzlich kann eine Gesamtmassenbilanz aufgestellt werden:

[ \dot{m}_F=\dot{m}_P+\dot{m}_W ]

Sie ist jedoch im Allgemeinen von den drei Komponentenbilanzen abhängig. Wenn alle Komponentenbilanzen bereits enthalten sind, sollte sie nicht als zusätzliche unabhängige Gleichung gezählt werden.

Normierungsbedingungen einbeziehen

Für jeden Strom gilt:

[ w_{v,i}+w_{d,i}+w_{a,i}=1 ]

Diese impliziten Beziehungen reduzieren die Anzahl der unabhängigen Zusammensetzungsvariablen.

Ein häufiger Zählfehler besteht darin, alle Speziesanteile als unabhängig zu zählen und anschließend zusätzlich die Summengleichung zu berücksichtigen. Beide Vorgehensweisen können funktionieren, wenn sie konsequent angewandt werden; dieselbe Randbedingung darf jedoch nicht doppelt gezählt werden.

Beziehungen der Unit-Operation hinzufügen

Die Stoffbilanzen allein beschreiben die Erhaltung, nicht die Trennleistung. Ein Zentrifugen- oder Dielektrophoresemodell kann daher zusätzliche unabhängige Beziehungen erfordern, beispielsweise:

Rückgewinnung lebender Zellen
Entfernung oder Durchtritt toter Zellen
Produktreinheit
Aufteilungsanteile der Zellen
Abscheideeffizienz
Gemessener Austrittsstrom
Beziehungen auf Grundlage der Betriebsbedingungen

Beispielsweise kann die Rückgewinnung lebender Zellen folgendermaßen spezifiziert werden:

[ R_v= \frac{\dot{m}P w{v,P}} {\dot{m}F w{v,F}} ]

Eine Spezifikation zur Entfernung toter Zellen kann in ähnlicher Weise den Strom toter Zellen im Abfallstrom mit dem entsprechenden Strom im Zulauf verknüpfen.

Der Gleichungsanzahl dürfen nur unabhängige Beziehungen hinzugefügt werden.

Den DOF berechnen

Den maßgeblichen Ausdruck verwenden

Die Standardberechnung lautet:

[ N_{\mathrm{DOF}}=N_U-N_E ]

wobei:

(N_U) die Anzahl der unbekannten Variablen ist
(N_E) die Anzahl der unabhängigen Gleichungen, Randbedingungen und Spezifikationen ist

Das Ergebnis sollte berechnet werden, nachdem Prozessgrenze, Variablen, bekannte Messungen und unabhängige Gleichungen eindeutig definiert wurden.

Das Ergebnis interpretieren

Null DOF

[ N_{\mathrm{DOF}}=0 ]

Das Modell ist aus Sicht der Zählung vollständig spezifiziert. Die verfügbaren Gleichungen und Spezifikationen reichen aus, um die unbekannten Variablen zu bestimmen, vorausgesetzt, die Gleichungen sind physikalisch gültig und mathematisch lösbar.

Positiver DOF

[ N_{\mathrm{DOF}}>0 ]

Das Modell ist unvollständig spezifiziert. Die Stoffbilanzen können nicht alle Stromraten und Zusammensetzungen eindeutig bestimmen.

Die fehlenden Informationen können durch zusätzliche Durchflussmessungen, Zusammensetzungsanalysen, Rückgewinnungsspezifikationen oder experimentell bestimmte Trennparameter bereitgestellt werden.

Negativer DOF

[ N_{\mathrm{DOF}}<0 ]

Das Modell enthält mehr gezählte Gleichungen als Unbekannte. Dies kann auf redundante Gleichungen, doppelte Messungen oder widersprüchliche Spezifikationen hinweisen.

Ein negativer DOF beweist nicht automatisch, dass keine Lösung existiert. Er signalisiert, dass das Gleichungssystem auf Unabhängigkeit und Konsistenz geprüft werden muss.

Durchgerechnetes Beispiel zur Zellabtrennung

Die anfängliche Variablenmenge definieren

Betrachten Sie eine Einheit mit drei Strömen – Zulauf, Produktstrom mit lebenden Zellen und Abfallstrom – sowie drei modellierten Spezies.

Wenn jeder Strom eine unbekannte Gesamtstromrate und drei unbekannte Massenanteile besitzt, ergibt sich zunächst:

[ N_U=3(1+3)=12 ]

Es gibt drei Normierungsbedingungen für die Massenanteile:

[ N_{\text{normalization}}=3 ]

Außerdem gibt es drei unabhängige Komponentenbilanzen:

[ N_{\text{balances}}=3 ]

Bevor Messungen oder Leistungsspezifikationen vorgegeben werden:

[ N_{\mathrm{DOF}}=12-(3+3)=6 ]

Die Einheit ist daher deutlich unvollständig spezifiziert.

Bekannte Zulaufinformationen hinzufügen

Angenommen, die Zulaufstromrate und alle drei Zulauf-Massenanteile werden gemessen. Dann sind vier Variablen bekannt, sodass verbleibt:

[ N_U=12-4=8 ]

Die drei Normierungsbedingungen und drei Komponentenbilanzen liefern weiterhin sechs unabhängige Gleichungen:

[ N_{\mathrm{DOF}}=8-6=2 ]

Es werden zwei zusätzliche unabhängige Trennspezifikationen benötigt.

Trennspezifikationen hinzufügen

Der verbleibende DOF könnte beispielsweise durch folgende Spezifikationen geschlossen werden:

Rückgewinnung lebender Zellen im Produktstrom
Entfernung toter Zellen in den Abfallstrom

Dann gilt:

[ N_{\mathrm{DOF}}=8-(3+3+2)=0 ]

Dies ergibt ein vollständig spezifiziertes stationäres Stoffbilanzmodell, sofern die Spezifikationen unabhängig und physikalisch erreichbar sind.

DOF-Analyse zur Auslegung der Pilotanlage verwenden

Ermitteln, welche Messungen das Modell tatsächlich benötigt

Eine DOF-Prüfung hilft festzustellen, ob die Pilotanlage über eine ausreichende Instrumentierung und analytische Probenahme verfügt.

Mögliche Messungen umfassen:

Massenstromraten von Zulauf und Austrittsströmen
Konzentration lebender Zellen
Konzentration toter Zellen
Gesamtfeststoff- oder Zellkonzentration
Produktreinheit
Zellrückgewinnung
Betriebsbedingungen, die für das Trennmodell relevant sind

Das Ziel besteht nicht darin, alles zu messen. Es soll eine ausreichende Anzahl unabhängiger Größen gemessen werden, um das Modell zu schließen und seine Vorhersagen zu validieren.

Modellabschluss und Modellvalidierung trennen

Eine Messung, die zum Schließen des DOF verwendet wird, ist zur Lösung des Modells erforderlich. Eine zweite unabhängige Messung kann stattdessen für die Validierung reserviert werden.

Wenn beispielsweise die Rückgewinnung lebender Zellen als Modellspezifikation verwendet wird, kann eine unabhängig gemessene Produktreinheit dazu dienen zu prüfen, ob das Modell den Abscheider korrekt abbildet.

Verbundene Einheiten systematisch analysieren

Führen Sie die Analyse bei einer größeren Pilotanlage schrittweise durch:

Definieren Sie die Ströme und Variablen für jede Einheit.
Berechnen Sie den DOF jedes Teilsystems.
Lösen Sie vollständig spezifizierte Einheiten.
Übertragen Sie deren berechnete Austrittsinformationen an die verbundenen Einheiten.
Berechnen Sie den verbleibenden DOF erneut.

Dieser Ansatz ist oft transparenter, als das gesamte Fließbild auf einmal zu zählen.

Design-DOF und Regelungs-DOF in Beziehung setzen

Freiheitsgrade bei der Auslegung

Der Design-DOF beschreibt, wie viele unabhängige Spezifikationen erforderlich sind, um das mathematische Prozessmodell zu definieren.

Diese Spezifikationen können Zulaufbedingungen, Austrittsstromraten, Rückgewinnungsziele oder Trenneffizienzen umfassen.

Freiheitsgrade der Regelung

Der Regelungs-DOF betrifft die physisch verfügbaren Stellgrößen, beispielsweise:

Zentrifugendrehzahl
Förderrate der Zulaufpumpe
Position des Austrittsventils
Elektrische Feldstärke in einem Dielektrophoresesystem
Anpassung der Stromaufteilung oder Rückführung

Die Regelungsstruktur muss genügend unabhängige Stellgrößen bereitstellen, um die ausgewählten Prozessziele zu regeln.

Sie nicht automatisch gleichsetzen

Design-DOF und Regelungs-DOF stehen miteinander in Beziehung, sind aber nicht identisch. Ein mathematisch geschlossenes Modell kann dennoch physisch schwer regelbar sein, wenn die verfügbaren Stellglieder die gewünschten Ausgänge nicht unabhängig beeinflussen können.

Umgekehrt ersetzt das Hinzufügen von Regelventilen nicht die Notwendigkeit unabhängiger Prozessmessungen oder gültiger Modellgleichungen.

Die Zielkonflikte verstehen

Abhängige Gleichungen nicht zählen

Eine Gesamtmassenbilanz ist nicht unabhängig von allen Komponentenbilanzen, wenn die Speziesmenge vollständig und der Prozess nichtreaktiv ist.

Das Zählen beider Bilanzarten ohne Prüfung ihrer Unabhängigkeit führt zu einem fälschlich niedrigen DOF.

Nicht jede Messung als unabhängig behandeln

Zwei Messgeräte können dieselbe zugrunde liegende Größe messen, beispielsweise einen Gesamtstrom, der aus Komponentenströmen abgeleitet wird. Solche Daten können das Vertrauen erhöhen oder Fehler erkennen lassen, liefern aber nicht zwangsläufig eine zusätzliche unabhängige Gleichung.

Biologische und betriebliche Schwankungen berücksichtigen

Lebende und tote Zellen können sich während der Handhabung durch Lyse, Schädigung, Aggregation oder einen zeitabhängigen Verlust der Lebensfähigkeit verändern. Wenn diese Effekte erheblich sind, kann ein einfaches nichtreaktives Trennmodell unzureichend sein.

Die DOF-Zählung muss dann zusätzliche Reaktions-, Umwandlungs- oder Populationsbilanzterme enthalten, anstatt eine perfekte Erhaltung der Zellkategorien anzunehmen.

Nach Erreichen eines DOF von null die physikalische Machbarkeit prüfen

Ein DOF von null zeigt den mathematischen Abschluss, nicht automatisch die physikalische Realitätsnähe. Berechnete Massenanteile müssen nichtnegativ bleiben, Rückgewinnungen müssen physikalisch erreichbar sein und Austrittsströme müssen die Betriebsgrenzen der Anlage einhalten.

So wenden Sie dies auf Ihre Pilotanlage an

Ein praktisches DOF-Arbeitsblatt sollte jede Variable, ihren Status als bekannt oder unbekannt sowie die unabhängige Gleichung oder Messung auflisten, durch die sie bestimmt wird.

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Lösbarkeit des Modells liegt: Zählen Sie alle Stromraten und Speziesanteile, ziehen Sie nur unabhängige Bilanzen und Randbedingungen ab und streben Sie einen DOF von null an.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Auslegung der Instrumentierung liegt: Verwenden Sie den positiven DOF, um die zusätzlich erforderlichen Durchflussmesser, Zusammensetzungsanalysen oder Rückgewinnungsmessungen zur Schließung des Modells zu ermitteln.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Trennleistung liegt: Beziehen Sie unabhängige Beziehungen für Rückgewinnung, Reinheit oder Zellabtrennung ein und prüfen Sie, dass diese keine Informationen aus den Stoffbilanzen duplizieren.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Prozessregelung liegt: Vergleichen Sie die Modellspezifikationen mit den tatsächlich verfügbaren Stellgrößen und bestätigen Sie, dass die vorgeschlagene Regelungsstruktur die ausgewählten Betriebsziele regeln kann.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Modellvalidierung liegt: Schließen Sie das Modell mit den minimal erforderlichen Messungen und reservieren Sie unabhängige Messungen für den Vergleich der Vorhersagen mit den Daten der Pilotanlage.

Eine systematische DOF-Analyse macht die Modellierung der Zellabtrennung von einer reinen Gleichungslösungsaufgabe zu einem belastbaren Plan für Messung, Spezifikation und Regelung.

Zusammenfassungstabelle:

| Element der DOF-Analyse | Wichtige Überlegung |\n|---|---|\n| Systemgrenze | Definieren Sie den Abscheider sowie alle Zulauf-, Produkt-, Abfall-, Wasch-, Rückführ- oder Spülströme. |\n| Unbekannte | Zählen Sie die Stromraten und unabhängigen Speziesanteile für lebende Zellen, tote Zellen und wässriges Medium. |\n| Gleichungen | Beziehen Sie unabhängige Komponentenbilanzen, Normierungsbedingungen und Beziehungen zur Trennleistung ein. |\n| Spezifikationen | Verwenden Sie gemessene Ströme, Zusammensetzungen, Rückgewinnung, Reinheit, Entfernung oder Abscheideeffizienz, um das Modell zu schließen. |\n| Interpretation des DOF | Null = vollständig spezifiziert; positiv = weitere Informationen erforderlich; negativ = mögliche Redundanz oder Inkonsistenz. |\n| Anwendung in der Pilotanlage | Verwenden Sie die DOF-Analyse zur Planung der Instrumentierung, zur Modellvalidierung und zur Bewertung der Anforderungen an die Stellgrößen. |

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