Ein Fehler wegen einer singulären Matrix bedeutet, dass der Solver anhand der bereitgestellten Gleichungen keine eindeutige stationäre Lösung bestimmen kann. In einem Stoffbilanzmodell für eine Pilotanlage tritt dies üblicherweise auf, weil die Bilanzgleichungen linear abhängig sind, eine wesentliche Prozessspezifikation fehlt oder die Anzahl der unabhängigen Gleichungen nicht mit der Anzahl der unbekannten Stromvariablen übereinstimmt. Die praktische Lösung besteht darin, die Freiheitsgrade des Modells zu bestimmen, den Rang der Koeffizientenmatrix zu überprüfen, redundante Gleichungen zu entfernen und nur tatsächlich unabhängige Nebenbedingungen hinzuzufügen.

Ein Solver benötigt genügend unabhängige Informationen, um jede unbekannte Größe zu bestimmen. Eine singuläre Matrix weist darauf hin, dass mindestens eine Gleichung Informationen dupliziert, die bereits vorhanden sind, oder dass dem Modell eine erforderliche Spezifikation fehlt, beispielsweise ein Stromteiler, eine Zusammensetzung, ein Umsatz oder eine stöchiometrische Beziehung.

Warum die Matrix singulär wird

Redundante Gesamtbilanzen

Eine Gesamtmassenbilanz kann die direkte Summe der einzelnen Komponentenbilanzen sein. Wenn beispielsweise bereits separate Bilanzen für Wasser, Stickstoff und Sauerstoff aufgestellt wurden, liefert das Hinzufügen einer Gesamtmassenbilanz möglicherweise keine neue unabhängige Gleichung.

Die resultierende Matrix enthält dann Gleichungen, die dieselbe Nebenbedingung in unterschiedlichen Formen beschreiben. Ihr Rang ist daher niedriger als die Anzahl der Unbekannten.

Vollständige Komponentenbilanzen und Zusammensetzungsbedingungen

Stromzusammensetzungen stellen eine weitere häufige Ursache für Abhängigkeiten dar. Stoffmengenanteile erfüllen:

[ \sum_i x_i = 1 ]

Wenn alle Komponentenanteile als unbekannt behandelt werden, wird normalerweise ein Anteil durch die übrigen Anteile und die Summenbedingung bestimmt. Die Einbeziehung jeder Komponentenbilanz, jedes Anteils als unabhängige Variable und mehrerer Gesamtbilanzen kann zu einem überbestimmten oder abhängigen Gleichungssystem führen.

Fehlende Prozessspezifikationen

Ein Modell kann auch deshalb singulär werden, weil es unzureichend spezifiziert ist. Stoffbilanzen allein bestimmen möglicherweise nicht, wie sich ein Strom auf mehrere Auslässe verteilt oder welche Zusammensetzung eine Einheit verlässt.

Typische fehlende Spezifikationen sind:

Ein Strom- oder Zulaufvolumenstrom
Ein Aufteilungsverhältnis
Eine Auslasszusammensetzung
Eine Rückgewinnungs- oder Feuchtespezifikation
Ein Reaktionsumsatz
Eine stöchiometrische Beziehung
Eine Phasengleichgewichts- oder Sättigungsbedingung

Ohne solche Informationen können mehrere stationäre Lösungen die Bilanzen erfüllen.

Wiederholte Einheiten- oder Gesamtbilanzen

Wenn mehrere Einheiten gemeinsam modelliert werden, kann eine Gesamtbilanz der Anlage lediglich die Summe der bereits für einzelne Einheiten aufgestellten Bilanzen sein. Sie kann als Überprüfung nützlich sein, gehört aber möglicherweise nicht in die eigentliche Berechnung, wenn sie keine unabhängigen Informationen hinzufügt.

So diagnostizieren Sie das Modell

Unbekannte und Gleichungen zählen

Listen Sie jede unbekannte Größe ausdrücklich auf, einschließlich:

Gesamtstrommengen
Komponentenstrommengen
Stoffmengen- oder Massenanteile
Reaktionsfortschritte
Aufteilungsanteile
Unbekannte Betriebsparameter

Zählen Sie anschließend die unabhängigen Gleichungen, die zu ihrer Bestimmung verfügbar sind. Ein korrekt spezifiziertes quadratisches Gleichungssystem besitzt dieselbe Anzahl unabhängiger Gleichungen und Unbekannter, sodass null Freiheitsgrade vorliegen.

Die grundlegende Beziehung lautet:

[ \text{Freiheitsgrade}

\text{Anzahl der Unbekannten}

\text{Anzahl der unabhängigen Gleichungen} ]

Ein positiver Wert weist auf ein unzureichend spezifiziertes Modell hin. Ein negativer Wert deutet darauf hin, dass das Modell redundante Gleichungen oder widersprüchliche Spezifikationen enthalten kann.

Rang der Matrix überprüfen

Für ein System in der Form:

[ A\mathbf{x}=\mathbf{b} ]

muss die Koeffizientenmatrix (A) genügend unabhängige Spalten enthalten, um den unbekannten Vektor (\mathbf{x}) zu bestimmen. Für ein quadratisches System gilt für eine eindeutige Lösung:

[ \operatorname{rank}(A)=\text{Anzahl der Unbekannten} ]

Überprüfen Sie die Matrix in MATLAB mit:

rank(A)
size(A)

Verwenden Sie in Python:

import numpy as np

np.linalg.matrix_rank(A)
A.shape

Ein Rang, der niedriger als die Anzahl der Unbekannten ist, bestätigt, dass das Modell nicht genügend unabhängige Informationen für eine eindeutige Lösung enthält.

Reduzierte Gleichungen untersuchen

Der Rang allein identifiziert das Problem, erklärt jedoch nicht dessen Ursache. Überprüfen Sie die Gleichungen nach der Elimination oder Zeilenreduktion, um Beziehungen zu finden wie:

[ \text{Gesamtbilanz}

\text{Wasserbilanz} + \text{Stickstoffbilanz} + \text{Sauerstoffbilanz} ]

Prüfen Sie außerdem, ob eine Zusammensetzungsgleichung lediglich die Summe der Definitionen der Komponentenströme ist oder ob zwei Prozessspezifikationen dieselbe Aufteilungs- oder Umsatzbeziehung festlegen.

Ein praktischer Ansatz zur Lösung von Bilanzen

Gemessene Raten konsistent umrechnen

Daten aus Pilotanlagen kombinieren häufig volumetrische, Massen- und Stoffmengenströme. Rechnen Sie diese vor der Aufstellung der Matrix auf eine einheitliche Basis um.

Bei einem Flüssigkeitsstrom kann ein Volumenstrom mithilfe von Dichte und Molekulargewicht in einen Stoffmengenstrom umgerechnet werden:

[ \dot n

\frac{\dot V \rho}{M} ]

Inkonsistente Einheiten verursachen nicht zwangsläufig eine mathematische Singularität, können jedoch zu falschen Koeffizienten führen und die tatsächliche Struktur des Modells verschleiern.

Zuerst direkt bestimmbare Komponenten lösen

Wenn eine Komponente ohne Reaktion oder Akkumulation über einen Strom eintritt und über einen Strom austritt, kann ihre Bilanz möglicherweise direkt eine unbekannte Strommenge bestimmen. Wasser in einem nichtreaktiven Verdampfungs- oder Befeuchtungsvorgang ist ein häufiges Beispiel.

Dieser analytische Schritt kann offenlegen, welche Variablen tatsächlich bestimmt sind, und die Größe des numerischen Systems reduzieren.

Die Gesamtbilanz sorgfältig anwenden

Sobald die Komponentenströme bekannt sind, verwenden Sie die Gesamtmassen- oder Gesamtstoffmengenbilanz, um verbleibende Stromgrößen zu bestimmen. Behandeln Sie die Gesamtbilanz nur dann als unabhängige Gleichung, wenn sie nicht bereits aus den Komponentenbilanzen folgt.

Für eine stationäre, nichtreaktive Einheit gilt:

[ \text{Gesamtzufuhr}=\text{Gesamtabfuhr} ]

Die Bilanz muss jeden eintretenden und austretenden Strom auf derselben Massen- oder Stoffmengenbasis enthalten.

Zusammensetzungsbeziehungen verwenden, ohne Variablen übermäßig festzulegen

Wenn die Stoffmengenanteile am Auslass unbekannt sind, verwenden Sie Komponentenbilanzen und die Summenbeziehung der Anteile gezielt. Für (N) Komponenten ist es oft vorzuziehen, (N-1) Anteile zu lösen und den letzten Anteil zu berechnen aus:

[ x_N=1-\sum_{i=1}^{N-1}x_i ]

Dadurch wird vermieden, einen abhängigen Anteil als zusätzliche unabhängige Variable zu behandeln.

Die Zielkonflikte verstehen

Das Entfernen von Gleichungen kann fehlende Physik verbergen

Das Löschen einer redundanten Gleichung ist angemessen, wenn sie bereits vorhandene Informationen dupliziert. Es ist nicht angemessen, wenn die Gleichung eine fehlende physikalische Nebenbedingung darstellt, die versehentlich in abhängiger Form formuliert wurde.

Beispielsweise kann das Ersetzen einer Gesamtbilanz durch eine Aufteilungsverhältnisspezifikation den Rangmangel beheben und gleichzeitig die Information liefern, die das Modell tatsächlich benötigt.

Das Hinzufügen von Gleichungen kann das Modell überbestimmen

Das Hinzufügen jeder verfügbaren Messbeziehung kann zu einem überbestimmten System führen. Wenn Messungen aufgrund von Sensorfehlern inkonsistent sind, besitzen die Gleichungen möglicherweise keine exakte Lösung, selbst wenn sie unabhängig sind.

Verwenden Sie zur Datenabstimmung ein geeignetes Verfahren der kleinsten Quadrate oder der beschränkten Optimierung, anstatt einen gewöhnlichen Solver für quadratische Systeme dazu zu zwingen, widersprüchliche Messungen zu erfüllen.

Rangmangel unterscheidet sich von schlechter Konditionierung

Eine tatsächlich singuläre Matrix verfügt über unzureichende unabhängige Informationen. Eine nahezu singuläre oder schlecht konditionierte Matrix kann technisch vollen Rang besitzen, aber dennoch äußerst empfindliche oder unzuverlässige Ergebnisse liefern, weil Gleichungen nahezu identisch sind oder sich die Variablen stark in ihrer Größenordnung unterscheiden.

Verwenden Sie eine geeignete Skalierung und untersuchen Sie die Konditionszahl der Matrix, wenn der Solver Instabilität statt einer exakten Singularität meldet.

Negative Ergebnisse weisen häufig auf einen separaten Modellierungsfehler hin

Negative Strommengen oder Zusammensetzungen werden normalerweise nicht durch eine Änderung des linearen Solvers behoben. Sie weisen häufig auf vertauschte Ein-/Ausgangsvorzeichen, fehlende Ströme, falsche Einheiten oder eine ungültige Prozessspezifikation hin.

Überprüfen Sie nach der Behebung von Rangproblemen erneut die Erhaltung, Vorzeichen und physikalischen Grenzen, beispielsweise nichtnegative Strommengen und Zusammensetzungen zwischen null und eins.

Die richtige Entscheidung für Ihr Ziel treffen

Führen Sie die folgenden Prüfungen durch, bevor Sie den stationären Solver erneut ausführen:

Wenn Ihr Hauptziel darin besteht, eine eindeutige mathematische Lösung zu finden: Zählen Sie die Unbekannten, berechnen Sie den Rang der Koeffizientenmatrix und stellen Sie sicher, dass das Modell null Freiheitsgrade und vollen Spaltenrang besitzt.
Wenn Ihr Hauptziel darin besteht, redundante Bilanzen zu entfernen: Behalten Sie unabhängige Komponentenbilanzen und Prozessspezifikationen bei und verwenden Sie Gesamtbilanzen als Überprüfungsgleichungen, wenn sie Linearkombinationen darstellen.
Wenn Ihr Hauptziel darin besteht, eine Stromaufteilung oder Auslasszusammensetzung zu modellieren: Fügen Sie eine explizite, unabhängige Spezifikation für Aufteilungsverhältnis, Rückgewinnung, Zusammensetzung oder Phasengleichgewicht hinzu.
Wenn Ihr Hauptziel darin besteht, gemessene Daten einer Pilotanlage abzugleichen: Trennen Sie exakte physikalische Bilanzen von verrauschten Messungen und verwenden Sie einen Ansatz der beschränkten kleinsten Quadrate, wenn das System überbestimmt oder inkonsistent ist.
Wenn Ihr Hauptziel darin besteht, nichtphysikalische Ergebnisse zu korrigieren: Prüfen Sie nach der Rangüberprüfung die Stromvorzeichen, fehlende Prozessterme, Einheiten, Stöchiometrie und Zusammensetzungsbedingungen.

Eine singuläre Matrix ist ein diagnostisches Signal dafür, dass die Informationsstruktur des Modells korrigiert werden muss, bevor seiner numerischen Lösung vertraut werden kann.

Zusammenfassungstabelle:

Ursache	Diagnoseprüfung	Empfohlene Lösung
Redundante Bilanzen	Beziehungen zwischen Gesamt- und Komponentenbilanzen vergleichen	Doppelte Gleichungen entfernen oder Gesamtbilanzen zur Überprüfung beibehalten
Fehlende Spezifikation	Freiheitsgrade und unbekannte Stromvariablen überprüfen	Eine unabhängige Bedingung für Stromaufteilung, Rückgewinnung, Zusammensetzung, Umsatz oder Gleichgewicht hinzufügen
Abhängige Zusammensetzungsvariablen	Summenbedingungen der Anteile überprüfen	Für N-1 Anteile lösen und den letzten Anteil anhand der Summenbeziehung berechnen
Inkonsistente Einheiten	Massen-, Stoffmengen- und Volumenstrombasen überprüfen	Alle Daten vor dem Aufbau der Matrix auf eine einheitliche Basis umrechnen
Schlechte Konditionierung	Skalierung und Konditionszahl untersuchen	Variablen und Koeffizienten neu skalieren; Beinahe-Singularität von echtem Rangmangel unterscheiden
Widersprüchliche Messungen	Prüfen, ob die Messgleichungen eine exakte Lösung besitzen	Eine Datenabstimmung mittels beschränkter kleinster Quadrate anstelle eines einfachen Solvers für quadratische Systeme verwenden
Nichtphysikalische Ergebnisse	Vorzeichen, fehlende Ströme, Stöchiometrie und Grenzen überprüfen	Das Prozessmodell korrigieren und nichtnegative Strommengen sowie gültige Zusammensetzungen überprüfen

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