Für eine verdünnte Partikelsuspension berechnen Sie die effektive Diffusivität des gelösten Stoffes, indem Sie die Diffusivität der kontinuierlichen Phase um den Partikelvolumenanteil und den Stofftransport durch die Partikel korrigieren. Das Modell der verdünnten Suspension nach Maxwell ergibt

[ \frac{K_{\mathrm{eff}}D_{\mathrm{eff}}}{D}

1+3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi+O(\phi^2), \qquad \gamma=\frac{K D_s}{D} ]

wobei (D) die Diffusivität im kontinuierlichen Fluid, (D_s) die Diffusivität in der Partikelphase, (K) der Verteilungskoeffizient des gelösten Stoffes, (K_{\mathrm{eff}}) der effektive Verteilungskoeffizient und (\phi) der Partikelvolumenanteil ist. Für vollständig undurchlässige kugelförmige Partikel ergibt sich das Resultat (D_{\mathrm{eff}}/D=1-\tfrac{3}{2}\phi) auf Basis der Konzentration in der Fluidphase oder (D_{\mathrm{eff}}/D=1-\tfrac{1}{2}\phi) auf Basis der volumengemittelten Konzentration.

Die Berechnung ist nur dann zuverlässig, wenn die Konzentrationsbasis, die Partikelpermeabilität und die relevante Diffusivität konsistent definiert sind. In einer verdünnten Suspension aus undurchlässigen Kugeln behindern Partikel den Transport; durchlässige oder den gelösten Stoff absorbierende Partikel können die effektive Diffusivität je nach (K D_s/D) entweder verringern oder erhöhen.

Festlegen, was „effektive Diffusivität“ bedeutet

Definition des Transportskalenbereichs

Die effektive Diffusivität ist ein makroskopischer Koeffizient, der in einem Kontinuumsmodell für den Stofftransport verwendet wird. Sie repräsentiert den kombinierten Einfluss der molekularen Diffusion in der kontinuierlichen Phase, des Transports innerhalb der Partikel, des Partikelausschlusses und der Verteilung des gelösten Stoffes.

Sie entspricht nicht notwendigerweise der intrinsischen Diffusivität innerhalb der Flüssig- oder Festphase. In einer Pilotanlage ist es der Wert, der den beobachteten Stoffstrom oder die Konzentrationsentwicklung unter dem gewählten Modell reproduzieren sollte.

Identifizierung der Konzentrationsbasis

Dieselbe physikalische Suspension kann je nach Definition der Konzentration unterschiedliche berichtete Werte für (D_{\mathrm{eff}}) erzeugen.

Bei einer Konzentrationsbasis der Fluidphase bezieht sich die Konzentration auf das Flüssigkeitsvolumen außerhalb der Partikel. Bei einer volumengemittelten Basis wird die Konzentration über das gesamte Suspensionsvolumen gemittelt.

Diese Unterscheidung erklärt, warum undurchlässige Kugeln unterschiedliche Korrekturen erster Ordnung liefern:

[ \left(\frac{D_{\mathrm{eff}}}{D}\right)_{\text{Fluid-Basis}}

1-\frac{3}{2}\phi ]

und

[ \left(\frac{D_{\mathrm{eff}}}{D}\right)_{\text{volumengemittelte Basis}}

1-\frac{1}{2}\phi. ]

Die bei der Diffusivitätsberechnung verwendete Basis muss mit der in der Massenbilanz der Pilotanlage verwendeten Basis übereinstimmen.

Berechnung der Maxwell-Korrektur

Messung oder Schätzung der Diffusivität der kontinuierlichen Phase

Bestimmen Sie zuerst (D), die Diffusivität des gelösten Stoffes im partikelfreien kontinuierlichen Fluid unter den Betriebsbedingungen der Pilotanlage.

Der Wert sollte der tatsächlichen Temperatur, der Lösungsmittelzusammensetzung, dem Druck und dem Konzentrationsbereich des gelösten Stoffes entsprechen. Für verdünnte flüssige Systeme kann (D) aus einer geeigneten Korrelation oder einer unabhängigen Diffusionsmessung erhalten werden.

Bestimmung des Partikelvolumenanteils

Berechnen Sie den Volumenanteil der dispergierten Partikel als

[ \phi=\frac{V_{\mathrm{Partikel}}}{V_{\mathrm{Gesamtsuspension}}}. ]

Für eine verdünnte Suspension sollte (\phi) ausreichend klein sein, sodass Partikel-Partikel-Wechselwirkungen und Terme höherer Ordnung vernachlässigbar sind.

Der Maxwell-Ausdruck ist eine Näherung erster Ordnung:

[ \frac{K_{\mathrm{eff}}D_{\mathrm{eff}}}{D} \approx 1+3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi. ]

Die vernachlässigten (O(\phi^2))-Terme werden zunehmend wichtiger, je konzentrierter die Suspension wird.

Charakterisierung des Partikeltransports

Berechnen Sie

[ \gamma=\frac{K D_s}{D}. ]

Hierbei ist:

(D_s) die Diffusivität des gelösten Stoffes innerhalb der dispergierten Partikel.
(K) beschreibt die Verteilung der Konzentration des gelösten Stoffes zwischen der Partikelphase und der kontinuierlichen Phase.
(D) die Diffusivität der kontinuierlichen Phase.

Der Parameter (\gamma) vergleicht die Transportkapazität der Partikelphase mit derjenigen der kontinuierlichen Phase und berücksichtigt gleichzeitig die Verteilung.

Lösung nach der effektiven Diffusivität

Durch Umstellen der Maxwell-Beziehung ergibt sich

[ D_{\mathrm{eff}} \approx \frac{D}{K_{\mathrm{eff}}} \left[ 1+3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi \right]. ]

Dies ist die allgemeine Berechnung für verdünnte Suspensionen. Der Wert von (K_{\mathrm{eff}}) muss unter Verwendung derselben Konzentrations- und Mittelungskonvention bewertet werden, die im Modell der Pilotanlage verwendet wird.

Anwendung des Grenzwerts für undurchlässige Partikel

Verwendung der geeigneten Grenzannahme

Bei vollständig undurchlässigen Partikeln kann der gelöste Stoff nicht durch die dispergierte Phase diffundieren. Der entsprechende Grenzwert ist

[ \gamma=0. ]

Das Einsetzen in die Maxwell-Korrektur ergibt

[ 1+3\left(\frac{0-1}{0+2}\right)\phi

1-\frac{3}{2}\phi. ]

Daher gilt auf Basis der Konzentration in der Fluidphase,

[ D_{\mathrm{eff}} \approx D\left(1-\frac{3}{2}\phi\right). ]

Dieses Ergebnis erfasst die Verringerung des Stofftransports, die durch die Störung des Diffusionsfeldes um nichtleitende kugelförmige Partikel verursacht wird.

Verwendung des volumengemittelten Ergebnisses bei Bedarf

Wenn die Bilanz der Pilotanlage die über das gesamte Suspensionsvolumen gemittelte Konzentration verwendet, ist das entsprechende Ergebnis erster Ordnung

[ D_{\mathrm{eff}} \approx D\left(1-\frac{1}{2}\phi\right). ]

Der Unterschied ist ein buchhalterischer Effekt, der mit dem Bezugsvolumen der Konzentration zusammenhängt. Dies bedeutet nicht, dass zwei unterschiedliche physikalische Suspensionsdiffusivitäten gemessen wurden.

Verwendung des Ergebnisses in einer Pilotanlage

Einfügen von (D_{\mathrm{eff}}) in das Stofftransportmodell

Nach der Berechnung kann (D_{\mathrm{eff}}) in die maßgebliche Transportgleichung oder in eine Stofftransportkorrelation eingesetzt werden.

Für ein instationäres Diffusionsexperiment erscheint es in der charakteristischen Diffusionslänge,

[ \delta(t)\sim \left(D_{\mathrm{eff}}t\right)^{1/2}. ]

Es steuert auch den instationären Fluss, der unter dem entsprechenden Fickschen Eindringmodell mit (D_{\mathrm{eff}}^{1/2}) skaliert.

Trennung von Diffusion und hydrodynamischen Effekten

Eine Pilotanlage kann aufgrund von Rühren, Zirkulation, Grenzflächen, Partikelabsetzung oder Suspensionsviskosität eine Änderung der gesamten Stofftransportrate zeigen. Diese Effekte sollten nicht automatisch als Änderung der molekularen Diffusivität interpretiert werden.

Ein gemessener Gesamtwiderstandskoeffizient kann schematisch dargestellt werden als

[ \frac{1}{K_L}

\frac{1}{k_L} + \frac{1}{m k_G} ]

oder durch das entsprechende Widerstandsmodell für die Verfahrenseinheit. (D_{\mathrm{eff}}) gehört in das relevante phasenbezogene Transportmodell; es ist nicht mit dem gesamten Stofftransportkoeffizienten austauschbar.

Ableitung der Diffusivität aus dem gemessenen Fluss bei Bedarf

Wenn das Suspensions-Experiment ein zuverlässiges Konzentrationsprofil oder einen Fluss liefert, können Forscher (D_{\mathrm{eff}}) an das Transportmodell anpassen.

Das angepasste Ergebnis sollte dann mit der Maxwell-Vorhersage verglichen werden. Eine große Diskrepanz kann auf eine hohe Partikelbeladung, Partikelpermeabilität, Agglomeration, Absetzung, nicht-newtonsches Fließen oder eine falsche hydrodynamische Randbedingung hinweisen.

Erweiterung der Analyse auf andere Verfahrenseinheiten

Unterscheidung zwischen Suspensionstransport und Transport in porösen Partikeln

Das Maxwell-Suspensionsmodell beschreibt den Transport gelöster Stoffe durch ein kontinuierliches Fluid, das dispergierte Partikel enthält. Es sollte nicht mit der Diffusion innerhalb eines porösen Katalysators oder eines porösen Festkörpers verwechselt werden.

Für gas-fest poröse Partikel können molekulare Diffusion und Knudsen-Diffusion parallel als Transportmechanismen wirken. Eine häufig verwendete kombinierte Beziehung ist

[ \frac{1}{D_e}

\frac{1}{D_{Ae}} + \frac{1}{D_{Ake}}, ]

wobei (D_{Ae}) die effektive molekulare Diffusivität und (D_{Ake}) die effektive Knudsen-Diffusivität ist.

Diese Beziehung ist für den Porentransport innerhalb der Partikel relevant, während die Maxwell-Korrektur für den effektiven Transport einer Suspension als Ganzes relevant ist.

Getrennte Behandlung der Mehrkomponenten-Gasdiffusion

Für ein Gasgemisch, in dem Komponente (A) durch stationäre Komponenten diffundiert, kann eine effektive Diffusivität der Gasphase geschätzt werden aus

[ \frac{1}{D'}

\frac{y'B}{D{AB}} + \frac{y'C}{D{AC}} +\cdots. ]

Dies berücksichtigt mehrere binäre Gasdiffusionswiderstände. Es ersetzt nicht die Korrektur des Partikelvolumenanteils für eine Flüssig-Fest-Suspension.

Verständnis der Kompromisse

Das Modell ist auf verdünnte Systeme beschränkt

Der Maxwell-Ausdruck erster Ordnung vernachlässigt Terme der Ordnung (\phi^2) und höher. Bei höherer Feststoffbeladung können Partikelwechselwirkungen, Tortuosität, Gedrängtheit und Änderungen der Suspensionsrheologie den Transport wesentlich verändern.

Die Verwendung der Formel für verdünnte Systeme außerhalb ihres gültigen Konzentrationsbereichs kann den Transportwiderstand unterschätzen.

Die Partikelform ist wichtig

Die angegebenen Ausdrücke gelten für kugelförmige Partikel unter den Annahmen des Maxwell-Modells. Fasern, Flocken, unregelmäßige Partikel, poröse Agglomerate und verformbare biologische Partikel können andere Transportfelder erzeugen.

Partikelausrichtung und Aggregation können die effektive Diffusivität zudem anisotrop machen oder von der Historie der Suspension abhängig machen.

Permeabilitätsannahmen müssen getestet werden

Das Setzen von (\gamma=0) ist nur angemessen, wenn die Partikel effektiv undurchlässig für den gelösten Stoff sind. Wenn der gelöste Stoff in die Partikel eindringt, beeinflussen sowohl (K) als auch (D_s) das Ergebnis.

Ein Partikel mit hoher Verteilung, aber sehr langsamer interner Diffusion verhält sich nicht identisch zu einem mit schneller interner Diffusion, selbst wenn beide im Gleichgewicht denselben gelösten Stoff enthalten.

Messungen im Pilotmaßstab beinhalten Modellunsicherheit

Eine angepasste Diffusivität kann Fehler bei der Grenzfläche, der Verweilzeitverteilung, der Durchmischung, der Probenahme und dem Phasenrückhalt absorbieren. Aus diesem Grund sollte (D_{\mathrm{eff}}) mit der verwendeten Konzentrationsbasis, Partikelbeladung, Temperatur und dem verwendeten Transportmodell gemeldet werden.

Anwendung auf Ihre Pilotanlage

Verwenden Sie den folgenden Arbeitsablauf, um die Berechnung physikalisch konsistent zu halten:

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf verdünnten, undurchlässigen Schlämmen liegt: Messen Sie (D), berechnen Sie (\phi) und verwenden Sie (D_{\mathrm{eff}}/D=1-\tfrac{3}{2}\phi) für die Konzentration in der Fluidphase oder (1-\tfrac{1}{2}\phi) für die volumengemittelte Konzentration.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf durchlässigen oder absorbierenden Partikeln liegt: Bestimmen Sie (K) und (D_s), berechnen Sie (\gamma=K D_s/D) und wenden Sie den allgemeinen Maxwell-Ausdruck an.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Scale-up der Pilotanlage liegt: Verwenden Sie (D_{\mathrm{eff}}) innerhalb des phasenspezifischen Stofftransportmodells und berücksichtigen Sie unabhängig davon Durchmischung, Grenzfläche, Verweilzeit und hydrodynamischen Widerstand.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Design von porösen Katalysatoren oder Gas-Fest-Reaktoren liegt: Verwenden Sie ein Poren-Diffusionsmodell (Molekular plus Knudsen) anstelle der Korrektur für dispergierte kugelförmige Suspensionen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der experimentellen Validierung liegt: Vergleichen Sie die vorhergesagte Diffusivität mit einem Wert, der aus instationären Konzentrationsprofilen oder gemessenen Stoffströmen angepasst wurde, und dokumentieren Sie dabei die Konzentrationsbasis und die Suspensionsbedingungen.

Eine vertretbare effektive Diffusivität wird erhalten, indem die Maxwell-Korrektur, die Annahmen zum Partikeltransport, die Konzentrationsbasis und das Stofftransportmodell der Pilotanlage an das tatsächliche physikalische System angepasst werden.

Zusammenfassungstabelle:

System oder Annahme	Hauptberechnung	Wichtiger Hinweis
Allgemeine verdünnte Suspension	`D_eff ≈ (D/K_eff)[1 + 3((γ−1)/(γ+2))φ]`	Verwenden Sie konsistente Konzentrations- und Verteilungskonventionen
Partikeltransportparameter	`γ = K D_s / D`	Beinhaltet Partikeldiffusivität und Stoffverteilung
Undurchlässige Kugeln, Fluidphasen-Basis	`D_eff/D ≈ 1 − 3φ/2`	Partikel behindern den Stofftransport
Undurchlässige Kugeln, volumengemittelte Basis	`D_eff/D ≈ 1 − φ/2`	Korrektur für die Mittelung über das gesamte Suspensionsvolumen
Anwendung in der Pilotanlage	Setzen Sie `D_eff` in das phasenspezifische Transportmodell ein	Berücksichtigen Sie Durchmischung, Grenzfläche, Absetzung und Verweilzeit separat
Poröser Katalysator oder Gas-Fest-System	`1/D_e = 1/D_Ae + 1/D_Ake`	Verwenden Sie Poren-Diffusionsmodelle statt der Maxwell-Suspensionskorrektur

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