Newtonsche Fluide verwenden ein lineares Spannungsgesetz mit konstanter Viskosität, während nicht-newtonsche Fluide ein konstitutives Modell erfordern, bei dem die Spannung von der Verformungsgeschichte, der Deformationsrate oder beidem abhängt. Für ein inkompressibles newtonsches Fluid lautet der viskose Spannungstensor (\boldsymbol{\tau}=2\mu\boldsymbol{\Gamma}=\mu[\nabla\mathbf{v}+(\nabla\mathbf{v})^T]) mit konstanter dynamischer Viskosität (\mu). In Pilotanlagen verwenden nicht-newtonsche Fluide stattdessen eine ratenabhängige scheinbare Viskosität, eine Fließgrenzenbeziehung oder eine viskoelastische Spannungsgleichung, was die Vorhersagen für Druckverlust, Pumpenlast, Mischleistung und Skalierung verändert.

Der zentrale Unterschied liegt im Spannungsabschluss: Die newtonsche Viskosität ist konstant und führt zu einem linearen Impulstransportproblem, während nicht-newtonsche konstitutive Gleichungen die Spannung von der lokalen Scherung, der Materialstruktur oder der Verformungsgeschichte abhängig machen.

Warum die konstitutive Gleichung wichtig ist

Spannung und Druck beschreiben unterschiedliche Effekte

Die Gesamtspannung wird üblicherweise in isotropen Druck und deviatorische viskose Spannung unterteilt. Der Druck trägt zum statischen Druck und zu Drucknennwerten bei, während die viskose Spannung Reibung, Drehmoment, Energiedissipation und verformungsbedingte Kräfte bestimmt.

Diese Unterscheidung ist in Pilotanlagen wichtig, da eine Erhöhung des Systemdrucks nicht zwangsläufig den viskosen Widerstand erhöht. Der Widerstand hängt primär von den Geschwindigkeitsgradienten und dem konstitutiven Verhalten des Fluids ab.

Der Spannungstensor schließt die Impulsgleichung

Beide Fluidklassen verwenden die Impulsbilanz

[ \rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt}

-\nabla P+\nabla\cdot\boldsymbol{\tau}+\rho\mathbf{g}. ]

Die Impulsgleichung selbst wird für ein nicht-newtonsches Fluid nicht ersetzt. Die konstitutive Gleichung für (\boldsymbol{\tau}) ändert sich, und diese Änderung macht das gesamte Strömungsproblem nichtlinear oder von der Geschichte abhängig.

Newtonsche konstitutive Eigenschaften

Konstante Viskosität erzeugt eine lineare Beziehung

Für ein inkompressibles newtonsches Fluid gilt:

[ \boldsymbol{\tau}=2\mu\boldsymbol{\Gamma}, ]

wobei

[ \boldsymbol{\Gamma}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right]. ]

Die Viskosität (\mu) kann von Temperatur, Druck oder Zusammensetzung abhängen, hängt jedoch in einem spezifizierten Zustand nicht von der lokalen Scherrate ab.

Berechnungen für Pilotanlagen sind vergleichsweise direkt

Wasser, verdünnte wässrige Lösungen, leichte Öle und viele Gase können oft mit dieser Beziehung modelliert werden. Druckverluste in Rohrleitungen, Geschwindigkeitsprofile, Reynolds-Zahlen und Pumpenanforderungen können dann mithilfe etablierter newtonscher Korrelationen berechnet werden.

Für ein newtonsches Fluid wird die Reynolds-Zahl typischerweise wie folgt geschrieben:

[ Re=\frac{\rho U L}{\mu} ]

für Rohrströmungen oder

[ Re=\frac{\rho N D^2}{\mu} ]

für das Rühren in Behältern, wobei (U) und (L) für die charakteristische Strömungsgeschwindigkeit und Länge sowie (N) und (D) für die Rührerdrehzahl und den Durchmesser stehen.

Die wichtigsten technischen Variablen sind die Zustandsbedingungen

Obwohl das konstitutive Gesetz einfach ist, kann die Viskosität dennoch stark mit der Temperatur oder Konzentration variieren. Messungen in Pilotanlagen sollten daher die Viskosität verwenden, die dem tatsächlichen Betriebszustand entspricht, anstatt eines Katalogwerts, der bei einem anderen Zustand gemessen wurde.

Nicht-newtonsche konstitutive Eigenschaften

Die scheinbare Viskosität hängt von der Verformungsrate ab

Für viele zeitunabhängige nicht-newtonsche Fluide kann die Spannung in einer verallgemeinerten newtonschen Form geschrieben werden:

[ \boldsymbol{\tau}=2\mu_a(\dot{\gamma})\boldsymbol{\Gamma}, ]

wobei (\mu_a) die scheinbare Viskosität und (\dot{\gamma}) ein skalares Maß für die Verformungsrate ist.

Eine gängige Wahl ist

[ \dot{\gamma}=\sqrt{2\boldsymbol{\Gamma}:\boldsymbol{\Gamma}}. ]

Da sich (\mu_a) mit (\dot{\gamma}) ändert, ist die Spannung nicht mehr linear proportional zum Deformationsratentensor.

Potenzgesetz-Fluide modellieren Strukturviskosität und Dilatanz

Das Potenzgesetz-Modell wird oft ausgedrückt als

[ \boldsymbol{\tau}

2m\dot{\gamma}^{,n-1}\boldsymbol{\Gamma}, ]

oder äquivalent,

[ \mu_a=m\dot{\gamma}^{,n-1}. ]

Hierbei ist (m) der Konsistenzindex und (n) der Fließindex.

(n<1): Strukturviskoses Verhalten (Scherverdünnung), bei dem die scheinbare Viskosität mit zunehmender Scherrate abnimmt.
(n=1): Newton-ähnliches Verhalten innerhalb des Modells.
(n>1): Dilatantes Verhalten (Scherverdickung), bei dem die scheinbare Viskosität mit der Scherrate zunimmt.

Fermentationsbrühen, Polymerlösungen, Emulsionen und konzentrierte Suspensionen können diese Verhaltensweisen im Betriebsbereich einer Pilotanlage zeigen.

Fluide mit Fließgrenze erfordern ein Schwellenwertmodell

Einige Materialien verhalten sich so, als würden sie nicht fließen, bis die aufgebrachte Spannung eine Fließgrenze (\tau_0) überschreitet. Eine Bingham-Plastik-Beziehung lautet

[ \boldsymbol{\tau}

2\left(\mu_p+\frac{\tau_0}{\dot{\gamma}}\right)\boldsymbol{\Gamma}, ]

wenn (\tau>\tau_0), wobei (\mu_p) die plastische Viskosität ist.

Unterhalb der Fließgrenze sagt das idealisierte Modell einen nicht fließenden Bereich mit vernachlässigbarer Verformung voraus. Fortgeschrittenere Modelle, wie das von Herschel-Bulkley, kombinieren die Fließgrenze mit dem Potenzgesetz-Verhalten:

[ \tau=\tau_0+m\dot{\gamma}^{,n}. ]

Dieses Verhalten beeinflusst den Anlaufdruck, Totzonen, das Entleeren, die Suspensionsstabilität und die Fähigkeit einer Pumpe oder eines Rührwerks, eine Massenbewegung einzuleiten.

Viskoelastische Fluide erfordern Spannungsevolutionsgleichungen

Einige nicht-newtonsche Fluide können nicht allein durch eine momentane Viskosität ausreichend beschrieben werden. Polymerlösungen, Polymerschmelzen und bestimmte biologische Fluide können elastische Energie speichern und Spannungsrelaxation, Normalspannungsdifferenzen und Gedächtniseffekte aufweisen.

Diese Fluide erfordern eine separate Evolutionsgleichung für die Spannung, wie z. B. ein geeignetes viskoelastisches konstitutives Modell. Die Spannung hängt dann von der Verformungsgeschichte des Materials ab, nicht nur von seiner aktuellen Deformationsrate.

Konsequenzen für den Betrieb von Pilotanlagen

Pumpen- und Druckverlustvorhersage

Für newtonsche Fluide hängt der Druckverlust primär von Dichte, konstanter Viskosität, Durchflussrate, Geometrie und Strömungsregime ab. Standardkorrelationen für den Reibungsfaktor sind innerhalb ihres Gültigkeitsbereichs oft ausreichend.

Für nicht-newtonsche Fluide ändert sich die relevante Viskosität mit der lokalen Scherrate. Rohrwandbereiche, Formstücke, Ventile und Pumpenkanäle können daher unterschiedliche scheinbare Viskositäten erfahren, wodurch die Druckverlustvorhersage vom gesamten Geschwindigkeitsfeld abhängt.

Pumpenauswahl und Anlaufverhalten

Strukturviskose Fluide können bei hohen Scherraten leichter zu transportieren sein, obwohl die Pumpe dennoch die Viskosität bewältigen muss, die beim Anlaufen und in Bereichen mit geringer Scherung auftritt. Dilatante Fluide können schnell ansteigende Lasten verursachen und eine Pumpe destabilisieren oder überlasten.

Materialien mit Fließgrenze erfordern oft Ausrüstungen, die ein ausreichendes Anlaufdrehmoment oder Druck erzeugen können. Verdrängerpumpen können für die kontrollierte Förderung viskoser Materialien geeignet sein, während Kreiselpumpen effektiv sein können, solange Viskosität und Saugbedingungen innerhalb ihres Betriebsbereichs bleiben.

Mischleistung und Rührerauslegung

Für newtonsche Fluide wird die Rührerleistung üblicherweise unter Verwendung einer newtonschen Reynolds-Zahl und einer Leistungszahl korreliert. Die Beziehung zwischen Drehzahl, Durchmesser, Dichte, Viskosität und Leistung ist relativ standardisiert.

Für nicht-newtonsche Fluide variiert die lokale Scherung im gesamten Behälter. Ingenieure schätzen oft eine repräsentative Mischscherrate unter Verwendung einer Korrelation wie dem Metzner-Otto-Ansatz und bewerten dann die scheinbare Viskosität bei dieser Rate:

[ \dot{\gamma}_{\text{avg}}\approx K_sN. ]

Die resultierende scheinbare Viskosität kann in einer effektiven Reynolds-Zahl für das Mischen verwendet werden:

[ Re_{\text{mix}}

\frac{\rho N D^2}{\mu_a}. ]

Dies ist eine technische Näherung, kein universeller Ersatz für eine vollständige Strömungssimulation.

Skalierung erfordert rheologische Ähnlichkeit

Die bloße Anpassung von Rührerdrehzahl oder geometrischem Maßstab garantiert keine äquivalente Mischung. Die Pilot- und Produktionssysteme sollten unter Verwendung des relevanten rheologischen Modells, der Betriebstemperatur, der Konzentration, des Scherratenbereichs und der dimensionslosen Kennzahlen verglichen werden.

Für scherempfindliche biologische Materialien kann das Ziel auch darin bestehen, die lokale Spannung oder Energiedissipation zu begrenzen, anstatt die Mischintensität zu maximieren. Ein Design, das den durchschnittlichen Energieeintrag anpasst, kann dennoch schädliche Zonen mit hoher Scherung in der Nähe eines Rührers oder Ventils erzeugen.

Trennung und Wärmeübertragung sind ebenfalls betroffen

Die Viskosität beeinflusst Sedimentation, Filtration, Zentrifugation und die Strömungsverteilung durch Wärmetauscher. Nicht-newtonsches Verhalten kann stagnierende oder schwach gemischte Bereiche erzeugen, was die Verweilzeitverteilungen verändert und die effektive Wärmeübertragungsleistung verringert.

Diese Effekte werden besonders wichtig, wenn sich die Fluidstruktur während der Verarbeitung ändert, etwa durch Ausflockung, Zellwachstum, Polymerisation oder Feststoffbeladung.

Verständnis der Kompromisse

Modelle mit scheinbarer Viskosität sind nützlich, aber begrenzt

Ein verallgemeinertes newtonsches Modell ist rechnerisch einfacher als ein viskoelastisches Modell und oft ausreichend für stationäre Transport- und Mischberechnungen. Es kann jedoch keine elastische Rückstellung, Spannungsrelaxation oder Normalspannungsdifferenzen darstellen.

Die Verwendung eines einzigen Viskositätswerts für ein stark scherabhängiges Fluid kann zu irreführenden Vorhersagen für Pumpen, Druckverlust und Mischen führen.

Eine repräsentative Scherrate kann lokale Extreme verbergen

Die Metzner-Otto-Methode und ähnliche Korrelationen liefern eine durchschnittliche oder effektive Scherrate. Sie sind nützlich für Skalierungsberechnungen, lösen aber die breite Verteilung der Scherraten in einem Rührbehälter nicht auf.

Lokale Bereiche können eine viel höhere oder niedrigere Scherung erfahren als der gewählte Durchschnitt. Dies ist wichtig für Zellschäden, Aggregation, Reaktionskinetik und Bereiche, die schlecht durchmischt bleiben.

Rheologische Daten müssen den Betriebsbereich abdecken

Ein angepasstes Potenzgesetz- oder Fließgrenzenmodell ist nur über den Scherraten-, Temperatur- und Zusammensetzungsbereich zuverlässig, der zur Ermittlung seiner Parameter verwendet wurde. Eine Extrapolation über diesen Bereich hinaus kann besonders bei Anfahr-, Abschalt-, Reinigungs- und Störzuständen riskant sein.

Messungen in Pilotanlagen sollten die Zeitabhängigkeit berücksichtigen, wenn sich die Materialstruktur entwickelt. Thixotropie und Rheopexie erfordern Modelle, die eine strukturelle Erholung oder einen Abbau über die Zeit beinhalten, nicht nur eine momentane Scherratenabhängigkeit.

Nicht-newtonsche Simulation erhöht die Modell- und numerische Komplexität

Ratenabhängige Viskosität erzeugt nichtlineare Impulsgleichungen, während Fließflächen und viskoelastische Spannungen zusätzliche Konvergenz- und Auflösungsherausforderungen einführen können. Das konstitutive Modell muss mit geeigneten Randbedingungen implementiert und anhand gemessener Druckverlust-, Drehmoment- oder Geschwindigkeitsdaten validiert werden.

Eine komplexere Modellierung ist gerechtfertigt, wenn die Rheologie die Anlagendimensionierung, Produktqualität, biologische Lebensfähigkeit oder Prozesssicherheit wesentlich beeinflusst.

Die richtige Wahl für Ihr Ziel treffen

Die geeignete konstitutive Gleichung sollte sowohl die gemessene Rheologie des Fluids als auch die zu beantwortende Betriebsfrage widerspiegeln.

Wenn Ihr Hauptfokus auf newtonschem Rohrtransport liegt: Verwenden Sie das Spannungsgesetz mit konstanter Viskosität sowie Standardkorrelationen für Druckverlust, Reynolds-Zahl und Pumpen, wobei die Viskosität für Temperatur und Zusammensetzung korrigiert wird.
Wenn Ihr Hauptfokus auf strukturviskosem oder dilatantem Fluss liegt: Verwenden Sie ein verallgemeinertes newtonsches Modell wie das Potenzgesetz-Modell und bewerten Sie die scheinbare Viskosität über den relevanten lokalen oder repräsentativen Scherratenbereich.
Wenn Ihr Hauptfokus auf Anlauf, Suspensionsstabilität oder stagnierenden Bereichen liegt: Integrieren Sie ein Fließgrenzenmodell und bewerten Sie sowohl fließende als auch nicht fließende Zonen.
Wenn Ihr Hauptfokus auf polymerem oder stark elastischem Verhalten liegt: Verwenden Sie eine viskoelastische konstitutive Gleichung, die Spannungsgeschichte, Relaxation und Normalspannungseffekte erfasst.
Wenn Ihr Hauptfokus auf der Skalierung von der Pilot- zur Produktionsebene liegt: Stimmen Sie Geometrie, Betriebsbedingungen, rheologisches Verhalten und die den Impulstransport bestimmenden dimensionslosen Kennzahlen ab, anstatt nur die Rührerdrehzahl anzupassen.

Eine genaue konstitutive Modellierung verbindet gemessenes Fluidverhalten mit zuverlässigen Entscheidungen über Pumpen, Mischer, Rohrleitungen, Trennanlagen und die Skalierung von Pilotanlagen.

Zusammenfassungstabelle:

Fluidverhalten	Konstitutives Modell	Wichtiger Einfluss auf die Auslegung
Newtonsch	Lineares Spannungsgesetz mit konstanter Viskosität	Direkte Druckverlust-, Reynolds-Zahl- und Pumpenberechnungen
Strukturviskos	Potenzgesetz- oder verallgemeinertes newtonsches Modell mit abnehmender scheinbarer Viskosität	Geringerer Widerstand bei hoher Scherung, aber mögliche Zonen mit geringer Scherung
Dilatant	Potenzgesetz-Modell mit zunehmender scheinbarer Viskosität	Höhere Pumpenlasten und mögliche Strömungsinstabilität
Fließgrenze	Bingham- oder Herschel-Bulkley-Modell	Anlaufdrehmoment, nicht fließende Zonen, Totzonen und Suspensionsstabilität
Viskoelastisch	Spannungsevolutionsgleichung mit Gedächtniseffekten	Spannungsrelaxation, Normalspannungen, elastische Effekte und komplexe Skalierung
Zeitabhängig	Thixotropes oder rheopektisches Modell	Strukturelle Erholung oder Abbau während Anlauf, Betrieb und Abschaltung

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