Für eine voll ausgebildete laminare Strömung in einem kreisförmigen Rohr werden Druckverlust und Geschwindigkeitsverteilung nach der Hagen-Poiseuille-Gleichung berechnet. Wenn die Reynolds-Zahl unter etwa 2.300 liegt, stehen die mittlere Geschwindigkeit und der reibungsbedingte Druckverlust in einem linearen Verhältnis: (\Delta P = 32\mu L\bar{u}/D^2). Das Geschwindigkeitsprofil ist parabolisch, wobei die Geschwindigkeit in der Mittellinie das Zweifache der mittleren Querschnittsgeschwindigkeit beträgt.

Wichtige Erkenntnis: Bei laminarer Rohrströmung in Pilotanlagen bestimmt die Viskosität den Druckverlust, und die Rohrwandrauheit hat keinen direkten Einfluss auf den voll ausgebildeten Reibungsbeiwert. Sobald Druckverlust, Rohrabmessungen und Fluideigenschaften bekannt sind, kann die Strömungsgeschwindigkeit direkt berechnet werden, ohne dass eine iterative Berechnung für turbulente Reibungsbeiwerte erforderlich ist.

Grundlagen der laminaren Strömung etablieren

Berechnung der Reynolds-Zahl

Das Strömungsregime wird anhand der Rohr-Reynolds-Zahl bestimmt:

[ Re=\frac{\rho \bar{u}D}{\mu} ]

wobei:

(\rho) die Fluiddichte ist,
(\bar{u}) die mittlere Rohrgeschwindigkeit ist,
(D) der innere Rohrdurchmesser ist,
(\mu) die dynamische Viskosität ist.

Bei kreisförmigen Rohrleitungen wird die Strömung im Allgemeinen als laminar betrachtet, wenn (Re<2{,}300) gilt. Der Übergangsbereich ist nicht scharf definiert, daher sollten Pilotanlagen bei wichtigen stabilen Betriebsabläufen nicht auf einen Grenzwert vertrauen.

Annahme der voll ausgebildeten Strömung bestätigen

Die Hagen-Poiseuille-Gleichungen gelten, nachdem sich das Geschwindigkeitsprofil stromabwärts eines Einlasses, einer Armatur, eines Ventils, einer Pumpe oder einer anderen Störung ausgebildet hat.

In der Nähe des Einlasses und stromabwärts von Formstücken kann die Strömung noch in der Entwicklung oder lokal gestört sein. Diese Bereiche erfordern separate Schätzungen für Einlauf- oder Formstückverluste und sollten nicht allein durch die Gleichung für voll ausgebildete Rohrströmung dargestellt werden.

Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung

Verwendung des parabolischen Profils

Für ein Rohr mit dem Radius (R=D/2) ist die axiale Geschwindigkeit an der radialen Position (r):

[ u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right) ]

An der Mittellinie (r=0) gilt:

[ u_{\max}=u(0) ]

An der Wand (r=R) ergibt die Haftbedingung:

[ u(R)=0 ]

Dieses Profil ist die charakteristische Geschwindigkeitsverteilung für eine voll ausgebildete laminare Strömung in einem kreisförmigen Rohr.

Beziehung zwischen Mittellinien- und mittlerer Geschwindigkeit

Die mittlere Querschnittsgeschwindigkeit ist:

[ \bar{u}=\frac{1}{A}\int_A u,dA ]

Für das parabolische Profil ergibt die Integration:

[ u_{\max}=2\bar{u} ]

Daher kann die Geschwindigkeitsverteilung auch wie folgt geschrieben werden:

[ u(r)=2\bar{u}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right) ]

Das Profil ist in der Mitte am schnellsten und nimmt kontinuierlich bis auf Null an der Wand ab.

Umrechnung der Geschwindigkeit in den volumetrischen Durchfluss

Sobald die mittlere Geschwindigkeit bekannt ist, ergibt sich der volumetrische Durchfluss zu:

[ Q=\bar{u}A ]

Für ein kreisförmiges Rohr:

[ Q=\bar{u}\frac{\pi D^2}{4} ]

Die Geschwindigkeit der Mittellinie sollte nicht als durchschnittliche Strömungsgeschwindigkeit bei Pumpen-, Rohrdimensionierungs- oder Durchflussberechnungen verwendet werden. Die direkte Verwendung von (u_{\max}) würde den Durchfluss um den Faktor zwei überschätzen.

Berechnung des Druckverlusts

Verwendung der Hagen-Poiseuille-Gleichung

Für ein gerades, kreisförmiges Rohr, das ein newtonsches Fluid unter voll ausgebildeten laminaren Bedingungen führt:

[ \Delta P_f=\frac{32\mu L\bar{u}}{D^2} ]

Äquivalent dazu, ausgedrückt durch den volumetrischen Durchfluss:

[ \Delta P_f=\frac{128\mu LQ}{\pi D^4} ]

wobei (\Delta P_f) der reibungsbedingte Druckverlust und (L) die Rohrlänge ist.

Diese Gleichungen zeigen das wesentliche Verhalten der laminaren Strömung:

[ \Delta P_f\propto \bar{u} ]

Der Druckverlust ist direkt proportional zur mittleren Geschwindigkeit, im Gegensatz zur näherungsweise quadratischen Beziehung, die üblicherweise für voll turbulente Strömungen verwendet wird.

Berechnung des Druckgradienten

Der Druckverlust pro Rohrlängeneinheit beträgt:

[ -\frac{dP}{dz}=\frac{32\mu\bar{u}}{D^2} ]

Bei einem gleichmäßigen Rohr ist der Druckgradient entlang des voll ausgebildeten Abschnitts konstant.

Das negative Vorzeichen zeigt an, dass der Druck in Strömungsrichtung abnimmt. In technischen Berechnungen wird (\Delta P_f) üblicherweise als positiver Verlustwert angegeben.

Verwendung der Form mit Reibungsbeiwert

Unter Verwendung des Darcy-Reibungsbeiwerts, üblicherweise als (\lambda) bezeichnet:

[ \lambda=\frac{64}{Re} ]

Die Darcy-Weisbach-Druckverlustgleichung lautet:

[ \Delta P_f=\lambda\frac{L}{D}\frac{\rho\bar{u}^2}{2} ]

Das Einsetzen von (\lambda=64/Re) und (Re=\rho\bar{u}D/\mu) ergibt:

[ \Delta P_f

\frac{32\mu L\bar{u}}{D^2} ]

Somit sind die Formen mit Reibungsbeiwert und Hagen-Poiseuille äquivalent, wenn dieselbe Konvention für den Reibungsbeiwert verwendet wird.

Unterscheidung zwischen Darcy- und Fanning-Beiwerten

Das Ergebnis (\lambda=64/Re) gilt für den Darcy-Reibungsbeiwert.

Der entsprechende Fanning-Reibungsbeiwert ist:

[ f_F=\frac{16}{Re} ]

Die Verwechslung dieser beiden Definitionen führt zu einem Fehler um den Faktor vier beim berechneten Druckverlust. Die Dokumentation der Pilotanlage sollte angeben, welche Konvention verwendet wird.

Berechnung der Geschwindigkeit bei vorgegebenem Druckverlust

Direkte Berechnung der Geschwindigkeit im laminaren Bereich

Das Umstellen der Hagen-Poiseuille-Gleichung ergibt:

[ \bar{u}=\frac{\Delta P_fD^2}{32\mu L} ]

Der entsprechende volumetrische Durchfluss ist:

[ Q=\frac{\pi D^2}{4}\bar{u} ]

oder:

[ Q=\frac{\pi D^4\Delta P_f}{128\mu L} ]

Diese direkte Lösung ist ein wichtiges Merkmal der laminaren Strömung. Der Druckverlust erfordert keine iterative Berechnung des Reibungsbeiwerts, da der Reibungsbeiwert bereits auf die explizite Beziehung (64/Re) reduziert wurde.

Überprüfung der resultierenden Reynolds-Zahl

Nach der Berechnung von (\bar{u}) bewerten Sie:

[ Re=\frac{\rho\bar{u}D}{\mu} ]

Das Ergebnis muss innerhalb des beabsichtigten laminaren Bereichs bleiben. Wenn der berechnete Wert den Übergangsbereich erreicht oder überschreitet, ist das Hagen-Poiseuille-Ergebnis für eine zuverlässige Auslegung nicht mehr ausreichend.

Verwendung der Druckverlustgruppe bei unsicherem Strömungsregime

Für allgemeinere Rohrströmungsberechnungen kann eine geschwindigkeitsunabhängige Gruppe wie folgt gebildet werden:

[ \phi Re^2= \frac{\Delta P_fD^3\rho}{4L\mu^2} ]

Die genaue Interpretation von (\phi) hängt von der Reibungsbeiwert-Notation ab, die von der Quelle oder dem Diagramm verwendet wird. Daher muss deren Definition überprüft werden, bevor ein Reibungsdiagramm angewendet wird.

Für einen bestätigten laminaren Fall in einem kreisförmigen Rohr ist die direkte Verwendung von:

[ \bar{u}=\frac{\Delta P_fD^2}{32\mu L} ]

klarer und weniger fehleranfällig als das Ablesen von (Re) aus einem allgemeinen Diagramm.

Verknüpfung der Berechnung mit dem Betrieb der Pilotanlage

Bestimmung der Pumpenförderhöhe

Der reibungsbedingte Druckverlust kann in einen reibungsbedingten Höhenverlust umgerechnet werden:

[ h_f=\frac{\Delta P_f}{\rho g} ]

wobei (g) die Erdbeschleunigung ist.

Die Pumpe muss zudem Höhenunterschiede, Druckunterschiede zwischen Anlagenkomponenten, Formstücken, Ventilen, Wärmetauschern und anderen Systemverlusten überwinden. Der Hagen-Poiseuille-Verlust des geraden Rohrs ist nur ein Bestandteil des gesamten Pumpenbedarfs.

Berücksichtigung der Fluideigenschaften

Der laminare Druckverlust hängt stark von der dynamischen Viskosität ab:

[ \Delta P_f\propto\mu ]

Temperaturänderungen können daher den Druckverlust erheblich verändern, insbesondere bei viskosen Flüssigkeiten. Berechnungen für Pilotanlagen sollten die Viskosität bei der tatsächlichen Betriebstemperatur verwenden und nicht einen Standardwert oder einen Wert bei Raumtemperatur.

Verwendung des inneren Rohrdurchmessers

Da der Druckverlust bei einer vorgegebenen mittleren Geschwindigkeit mit (D^{-2}) skaliert und die Durchflussrate mit (D^{-4}), können kleine Durchmesserfehler das Ergebnis wesentlich beeinflussen.

Der Innendurchmesser sollte die tatsächliche Rohr- oder Schlauchspezifikation, Auskleidungen, Korrosionszuschläge, wo relevant, und jegliche durch Formstücke oder Instrumentierung verursachten Verengungen berücksichtigen.

Vergleich von gemessenen und vorhergesagten Werten

Eine Pilotanlage bietet eine nützliche Gelegenheit, das Modell mithilfe von Druckmessstellen und einem Durchflussmesser zu validieren.

Ein Vergleich sollte den Abstand der Druckmessstellen, die Höhe, die Instrumentenkalibrierung, Formstücke innerhalb des gemessenen Abschnitts, Effekte der einlaufenden Strömung und Änderungen der Fluidtemperatur berücksichtigen. Eine gemessene Druckdifferenz über ein komplettes Modul kann weit mehr als nur die Reibung im geraden Rohr umfassen.

Verständnis der Kompromisse

Das Modell nimmt newtonsches Verhalten an

Die Hagen-Poiseuille-Gleichung verwendet eine konstante dynamische Viskosität. Sie ist für newtonsche Flüssigkeiten geeignet, wenn die Viskosität ausreichend gut charakterisiert ist.

Polymerlösungen, Schlämme, Emulsionen und andere nicht-newtonsche Fluide erfordern möglicherweise ein rheologisches Modell und eine andere Beziehung zwischen Druckverlust und Durchflussrate.

Voll ausgebildete Strömung schließt lokale Verluste aus

Ventile, Krümmer, T-Stücke, Reduzierstücke, Einlässe, Auslässe und Durchflussmesser erzeugen lokale Druckverluste. Diese werden üblicherweise mit Verlustbeiwerten dargestellt:

[ \Delta P_{\text{minor}}=K\frac{\rho\bar{u}^2}{2} ]

Der gesamte Systemdruckverlust ist daher:

[ \Delta P_{\text{total}}

\Delta P_f+\sum\Delta P_{\text{minor}}+\Delta P_{\text{elevation}}+\Delta P_{\text{equipment}} ]

Die Gleichung für voll ausgebildete Rohrströmung sollte nicht ohne Einschränkung verwendet werden, um all diese Effekte zu absorbieren.

Rauheit ist keine Korrektur erster Ordnung für laminare Strömung

Für eine voll ausgebildete laminare Strömung ist der Reibungsbeiwert:

[ \lambda=\frac{64}{Re} ]

und ist im üblichen technischen Modell unabhängig von der relativen Rauheit. Rauheit kann dennoch durch Herstellungsfehler, Verschmutzung, Ablagerungen oder Störungen, die die idealisierte Annahme einer glatten, voll ausgebildeten Strömung ungültig machen, eine Rolle spielen.

Übergang führt zu Unsicherheit

Das Intervall nahe dem Übergang von laminar zu turbulent ist empfindlich gegenüber Störungen und Betriebsbedingungen. Eine Pilotanlage kann aufgrund von Pumpenpulsationen, vorgeschalteten Formstücken, Rezirkulation oder sich ändernden Fluideigenschaften ein anderes Verhalten als eine ideale Korrelation aufweisen.

Konstruktionen sollten vermeiden, eine Übergangs-Reynolds-Zahl als definitiv laminar oder turbulent zu behandeln.

Anwendung auf Ihre Pilotanlage

Verwenden Sie die folgende Sequenz bei der Bewertung eines kreisförmigen Rohrabschnitts:

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Vorhersage des Druckverlusts liegt: Berechnen Sie (Re), bestätigen Sie die voll ausgebildete laminare Strömung und verwenden Sie (\Delta P_f=32\mu L\bar{u}/D^2).
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Geschwindigkeit bei bekanntem Druckverlust liegt: Verwenden Sie (\bar{u}=\Delta P_fD^2/(32\mu L)) und überprüfen Sie dann die resultierende Reynolds-Zahl.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem volumetrischen Durchfluss liegt: Rechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit mit (Q=\bar{u}\pi D^2/4) um, unter Verwendung des tatsächlichen Innendurchmessers.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Pumpenauswahl liegt: Addieren Sie die Reibung des geraden Rohrs, Formstückverluste, Anlagenverluste, Höhenunterschiede und den erforderlichen nachgeschalteten Druck.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der experimentellen Validierung liegt: Messen Sie den Druck über eine bekannte gerade Rohrlänge und vergleichen Sie den Druckgradienten mit (32\mu\bar{u}/D^2).
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf nicht-newtonschem oder Übergangsbetrieb liegt: Behandeln Sie das Hagen-Poiseuille-Ergebnis als begrenzte Referenz und verwenden Sie ein für das Fluid und das Strömungsregime geeignetes Modell.

Mit den korrekten Fluideigenschaften, Rohrabmessungen, dem Strömungsregime und den Systemgrenzen kann die laminare Strömung in Pilotanlagen direkt berechnet und mit Zuversicht interpretiert werden.

Zusammenfassungstabelle:

Berechnung	Formel	Wichtiger technischer Hinweis
Reynolds-Zahl	`Re = rho u-bar D / mu`	Laminare Strömung liegt im Allgemeinen bei `Re < 2.300`.
Geschwindigkeitsprofil	`u(r) = 2u-bar[1 - (r/R)^2]`	Das Profil ist parabolisch; die Wandgeschwindigkeit ist Null.
Mittellinengeschwindigkeit	`u-max = 2u-bar`	Verwenden Sie nicht die Mittellinengeschwindigkeit als durchschnittliche Strömungsgeschwindigkeit.
Druckverlust	`Delta P-f = 32muL u-bar / D^2`	Gültig für newtonsche Fluide und voll ausgebildete laminare Strömung.
Durchflussratenform	`Delta P-f = 128muLQ / (piD^4)`	Kleine Änderungen des Innendurchmessers können den Verlust erheblich beeinflussen.
Darcy-Reibungsbeiwert	`lambda = 64/Re`	Nicht mit dem Fanning-Beiwert `16/Re` verwechseln.
Pumpenförderhöhe	`h-f = Delta P-f / (rho g)`	Addieren Sie Formstück-, Anlagen-, Höhen- und erforderliche Druckverluste.
Betriebsbeschränkungen	Temperatur, Rheologie und Übergangseffekte validieren	Nicht-newtonsche, sich entwickelnde oder Übergangsströmungen erfordern weitere Analysen.

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