Die Prandtl-, Schmidt- und Lewis-Zahl helfen Ingenieurinnen und Ingenieuren, die Raten des Impuls-, Wärme- und Stofftransports zu vergleichen. In Pilotanlagen zeigen diese Verhältnisse, welche Grenzschicht den gleichzeitigen Wärme- und Stofftransport bestimmt, unterstützen Korrelationen für Wärme- und Stoffübergangskoeffizienten und bieten eine Grundlage für den Vergleich der Leistungsfähigkeit über verschiedene Betriebsmaßstäbe hinweg. Sie sind insbesondere in Wärmetauschern, Trocknungsanlagen, Absorptionstürmen, Befeuchtungssystemen, Destillationskolonnen und Reaktoren mit Mantelkühlung bzw. -heizung nützlich.
Der zentrale Nutzen dieser dimensionslosen Parameter besteht darin, dass sie Stoffeigenschaften in Transportbeziehungen überführen. Durch den Vergleich von Impuls-, Wärme- und Molekular-Diffusivitäten können Ingenieurinnen und Ingenieure bestimmen, ob sich Wärme- und Stofftransport ähnlich verhalten, die bestimmenden Widerstände identifizieren und geeignete Korrelationen für die Maßstabsübertragung auswählen.
Warum Transportverhältnisse in Pilotanlagen wichtig sind
Drei Transportprozesse basieren auf einem gemeinsamen Rahmen
Impuls, Wärme und Stoffe werden durch Mechanismen durch Fluide transportiert, die durch Diffusivitäten mit der Einheit Quadratmeter pro Sekunde beschrieben werden.
- Impulsdiffusivität: (\nu = \mu/\rho)
- Temperaturleitfähigkeit: (\alpha = k/(\rho C_p))
- Stoffdiffusivität: (D_{AB})
Da diese Größen dieselben Einheiten besitzen, ermöglichen ihre Verhältnisse einen direkten Vergleich der Transportmechanismen.
Pilotanlagen machen konkurrierende Transportmechanismen sichtbar
Eine Pilotanlage verbindet Fluidbewegung mit Temperatur- und Konzentrationsgradienten. Das Fluid kann sich schnell bewegen, während Wärme und Stoffe durch dünne Grenzschichten in der Nähe von Wänden, Partikeln, Tropfen oder Gas-Flüssigkeits-Grenzflächen diffundieren.
Dimensionslose Zahlen helfen zu bestimmen, ob der dominierende Widerstand mit dem Fluidimpuls, der Wärmeleitung oder der molekularen Diffusion verbunden ist. Dies ist aussagekräftiger als der separate Vergleich von Rohwerten für Viskosität, Wärmeleitfähigkeit oder Diffusivität.
Was die Prandtl-Zahl zeigt
Die Prandtl-Zahl vergleicht Impuls- und Wärmediffusion
Die Prandtl-Zahl lautet
[ Pr = \frac{\nu}{\alpha} ]
Sie vergleicht die Geschwindigkeit, mit der Impuls durch ein Fluid diffundiert, mit der Geschwindigkeit, mit der sich thermische Energie ausbreitet.
Ein niedriger oder mittlerer Wert zeigt an, dass sich Wärme im Vergleich zum Impuls relativ schnell ausbreitet. Ein hoher Wert bedeutet, dass Impuls leichter als Wärme diffundiert, wodurch eine thermische Grenzschicht entsteht, die typischerweise dünner als die Geschwindigkeitsgrenzschicht ist.
Fluidstoffeigenschaften beeinflussen das thermische Verhalten stark
Für viele Gase liegt (Pr) nahe bei eins, sodass Impuls- und Wärmetransport mit vergleichbaren Raten erfolgen. Für Wasser und viele gewöhnliche Lösungsmittel liegt sie üblicherweise zwischen etwa 1 und 10.
Hochviskose Öle und polymere Fluide können Prandtl-Zahlen im Bereich von etwa (10^4) bis (10^7) aufweisen. In diesen Fluiden ist die thermische Diffusion vergleichsweise langsam, was in Wärmetauschern, Reaktoren und verfahrenstechnischen Anlagen zu erheblichen Temperaturgradienten führen kann.
Die Prandtl-Zahl unterstützt Wärmeübergangskorrelationen
Daten zum Wärmeübergang aus Pilotanlagen werden häufig mithilfe von Beziehungen korreliert, die die Nusselt-, Reynolds- und Prandtl-Zahl enthalten, beispielsweise
[ Nu = f(Re, Pr) ]
Die Prandtl-Zahl ermöglicht es einer für eine bestimmte Betriebsbedingung oder ein bestimmtes Fluid entwickelten Korrelation, Änderungen von Viskosität, Wärmeleitfähigkeit und Wärmekapazität zu berücksichtigen. Sie trägt daher direkt zur Abschätzung konvektiver Wärmeübergangskoeffizienten bei der Auslegung und Maßstabsübertragung von Anlagen bei.
Was die Schmidt-Zahl zeigt
Die Schmidt-Zahl vergleicht Impuls- und Stoffdiffusion
Die Schmidt-Zahl lautet
[ Sc = \frac{\nu}{D_{AB}} ]
Sie vergleicht die Impulsdiffusivität mit der molekularen Diffusivität der Spezies (A) durch die Spezies (B).
Eine hohe Schmidt-Zahl bedeutet, dass die Stoffdiffusion im Vergleich zur Impulsdiffusion langsam ist. Dies führt im Allgemeinen zu einer Konzentrationsgrenzschicht, die dünner als die Geschwindigkeitsgrenzschicht ist.
Die Schmidt-Zahl identifiziert Stofftransportwiderstände
Bei Absorption, Trocknung, Extraktion, Befeuchtung und Destillation hilft die Schmidt-Zahl, zu charakterisieren, wie schnell sich eine Spezies durch einen Fluidfilm bewegen kann.
Beispielsweise kann ein viskoses Fluid einen großen Wert von (Sc) aufweisen, was darauf hindeutet, dass die molekulare Diffusion relativ schwach ist. Eine verstärkte Durchmischung oder Turbulenz kann dann wichtig sein, da sie den effektiven Filmwiderstand verringert und den Stoffübergangskoeffizienten erhöht.
Die Schmidt-Zahl unterstützt Sherwood-Korrelationen
Stofftransportdaten werden häufig mithilfe der Sherwood-, Reynolds- und Schmidt-Zahl dargestellt:
[ Sh = f(Re, Sc) ]
Die Sherwood-Zahl vergleicht den konvektiven Stofftransport mit der molekularen Diffusion. In einer Pilotanlage hilft (Sc) dabei, gemessene Strömungsbedingungen und Stoffeigenschaften in eine nützliche Abschätzung des Stoffübergangskoeffizienten zu überführen.
Was die Lewis-Zahl zeigt
Die Lewis-Zahl vergleicht Wärme- und Stoffdiffusion direkt
Nach der hier verwendeten Konvention lautet die Lewis-Zahl
[ Le = \frac{\alpha}{D_{AB}} = \frac{Sc}{Pr} ]
Sie vergleicht die Temperaturleitfähigkeit direkt mit der Stoffdiffusivität.
Einige Quellen definieren den Kehrwert, (D_{AB}/\alpha), weshalb die verwendete Konvention stets angegeben werden muss. Die physikalische Interpretation bleibt unverändert, solange die Definition konsistent verwendet wird.
Die Lewis-Zahl zeigt, ob Wärme- und Stofftransport analog behandelt werden können
Wenn (Le) nahe bei 1 liegt, erfolgen Wärme- und Stoffdiffusion mit vergleichbaren Raten. Unter Bedingungen konstanter Stoffeigenschaften und bei Vernachlässigung von Thermodiffusions- und Dufour-Effekten werden die Grenzschichtgleichungen für Energie und Stoffe strukturell ähnlich.
Dadurch kann das Wärmeübergangsverhalten zur Interpretation des Stofftransportverhaltens herangezogen werden. Beispielsweise kann eine gemessene thermische Korrelation als Ausgangspunkt für die Abschätzung der Stofftransportleistung dienen, sofern die betreffende Strömungsgeometrie und die Annahmen zu den Stoffeigenschaften gültig sind.
Die Lewis-Zahl ist bei gekoppelten Prozessen wichtig
Trocknung, Befeuchtung, Gasabsorption und Verdunstungskühlung umfassen den gleichzeitigen Transport von Energie und Stoffen. Die Lewis-Zahl hilft zu bestimmen, ob Wärme- und Stoffgrenzschichten ähnliche Dicken besitzen oder ob sich einer der beiden Prozesse deutlich schneller ausbreitet als der andere.
Wenn die Analogie geeignet ist, können Wärmeübergangsmessungen die experimentelle Datenauswertung für den Stofftransport vereinfachen. Ingenieurinnen und Ingenieure können Nusselt- und Sherwood-Korrelationen vergleichen und dabei die Unterschiede zwischen (Pr) und (Sc) berücksichtigen.
Anwendung der Zahlen bei der Analyse von Pilotanlagen
Grenzschichtdicken in Beziehung setzen
Die drei Parameter helfen beim Vergleich der Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsgrenzschichten.
- (Pr) vergleicht das Verhalten der Geschwindigkeits- und Temperaturgrenzschicht.
- (Sc) vergleicht das Verhalten der Geschwindigkeits- und Konzentrationsgrenzschicht.
- (Le) vergleicht das Verhalten der Temperatur- und Konzentrationsgrenzschicht.
Dieser Vergleich hilft Ingenieurinnen und Ingenieuren, den Ort des hauptsächlichen Widerstands zu identifizieren und zu beurteilen, ob eine Verbesserung der Durchmischung, eine Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit, eine Temperaturänderung oder eine Änderung der Fluideigenschaften wahrscheinlich die Leistung steigert.
Messungen in Transportkoeffizienten umwandeln
Pilotanlagen messen typischerweise Temperaturen, Konzentrationen, Durchflussraten, Drücke und Abmessungen der Ausrüstung. Diese Messwerte können in dimensionslose Gruppen umgewandelt und mit Korrelationen für (Nu), (Sh) und verwandte Transportparameter verglichen werden.
Die daraus resultierenden Wärme- und Stoffübergangskoeffizienten können anschließend in Anlagenbilanzen, Stufenberechnungen, Filmmodellen und vorläufigen Berechnungen zur Maßstabsübertragung verwendet werden.
Transportverhältnisse mit Strömungsparametern kombinieren
Prandtl-, Schmidt- und Lewis-Zahlen beschreiben nicht den gesamten Prozess. Sie werden normalerweise zusammen mit der Reynolds-Zahl verwendet, die das Strömungsregime charakterisiert, sowie mit Nusselt- oder Sherwood-Zahlen, die die resultierende Transportleistung quantifizieren.
Beispielsweise kann eine Ingenieurin oder ein Ingenieur
[ Nu = f(Re, Pr) ]
für den Wärmetransport und
[ Sh = f(Re, Sc) ]
für den Stofftransport verwenden. In Reaktor- und Festbettanlagen können zusätzliche Parameter wie die Péclet-, Biot- oder Hatta-Zahl erforderlich sein, um Dispersion, den inneren Partikelwiderstand oder die durch Reaktionen verstärkte Absorption zu beschreiben.
Entscheidungen zur Maßstabsübertragung unterstützen
Dimensionslose Korrelationen helfen zu bestimmen, ob eine Pilotanlage und eine größere Einheit ein vergleichbares Transportverhalten aufweisen. Die Anpassung allein an geometrische Abmessungen oder den Volumenstrom ist unzureichend, wenn das größere System eine andere Reynolds-, Prandtl-, Schmidt- oder Lewis-Zahl besitzt.
Eine belastbare Maßstabsübertragung berücksichtigt daher die relevanten dimensionslosen Gruppen sowie die Annahmen, die der zu übertragenden Korrelation zugrunde liegen.
Die Zielkonflikte verstehen
Eine Lewis-Zahl-Analogie ist bedingt gültig
Die Analogie zwischen Wärme- und Stofftransport ist am zuverlässigsten, wenn die Stoffeigenschaften annähernd konstant sind und Thermodiffusion oder Dufour-Kopplung vernachlässigt werden können. Eine starke Temperaturabhängigkeit, Änderungen der Zusammensetzung, ein Phasenwechsel, Strahlung oder chemische Reaktionen können die Analogie ungenau machen.
Eine Wärmeübergangsmessung sollte daher als Modellierungshilfe und nicht als automatischer Ersatz für Stofftransportdaten betrachtet werden.
Stoffeigenschaften können sich innerhalb der Anlage ändern
Viskosität, Dichte, Wärmeleitfähigkeit, Wärmekapazität und molekulare Diffusivität können sich mit der Temperatur und Zusammensetzung erheblich ändern. Die Verwendung von Stoffeigenschaften, die bei einer ungeeigneten Referenzbedingung bestimmt wurden, kann (Pr), (Sc) und (Le) verfälschen und folglich zu einer Verzerrung der vorhergesagten Transportkoeffizienten führen.
Für die Analyse von Pilotanlagen sollten die Stoffeigenschaften bei einer begründeten Film-, Bulk- oder mittleren Temperatur und Zusammensetzung bestimmt werden.
Korrelationen besitzen begrenzte Betriebsbereiche
Eine für turbulente Strömung in einem glatten Rohr abgeleitete Korrelation ist möglicherweise nicht auf eine gepackte Absorptionskolonne, einen Sprühtrockner, einen Mehrphasenreaktor oder ein nicht-newtonsches Fluid anwendbar. Ähnliche Werte von (Pr), (Sc) oder (Le) garantieren keine ähnliche Hydrodynamik.
Geometrie, Strömungsregime, Oberflächenbeschaffenheit, Phasenverteilung und charakteristische Länge müssen der vorgesehenen Anwendung der Korrelation entsprechen.
Die Maßstabsübertragung kann sich nicht auf einen einzigen Parameter stützen
Die alleinige Anpassung von (Le) gewährleistet keine gleichwertige Leistung von Pilot- und Industrieanlage. Auch Strömungsregime, Verweilzeitverteilung, Grenzflächenfläche, axiale Dispersion, Reaktionskinetik und Anlagengeometrie können das Ergebnis bestimmen.
Dimensionslose Transportverhältnisse sind Bestandteil eines Rahmens für die Maßstabsübertragung, aber kein vollständiger Ersatz für eine prozessspezifische Validierung.
Die richtige Wahl für Ihr Ziel treffen
Verwenden Sie die Parameter zusammen mit gemessenen Betriebsdaten und Korrelationen, die für die spezifische Geometrie der Pilotanlage geeignet sind.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Auslegung des Wärmeübergangs liegt: Verwenden Sie (Pr) zusammen mit (Re) und (Nu), um konvektive Wärmeübergangskoeffizienten abzuschätzen und das Verhalten der thermischen Grenzschicht zu bewerten.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Absorption, Trocknung oder Trennung liegt: Verwenden Sie (Sc) zusammen mit (Re) und (Sh), um Konzentrationsgrenzschichten und den Stofftransportwiderstand zu beurteilen.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem gleichzeitigen Wärme- und Stofftransport liegt: Verwenden Sie (Le = \alpha/D_{AB}), um zu bestimmen, ob Wärme- und Stofftransport durch eine näherungsweise Analogie behandelt werden können.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Maßstabsübertragung liegt: Vergleichen Sie die relevanten dimensionslosen Gruppen zwischen der Pilotanlage und der größeren Ausrüstung und prüfen Sie zugleich Geometrie, Strömungsregime, Phasenverhalten und Änderungen der Stoffeigenschaften.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Interpretation von Experimenten liegt: Verwenden Sie (Pr), (Sc) und (Le), um Daten zu strukturieren und zu diagnostizieren, ob Impuls-, Wärme- oder Stoffdiffusion die Leistung bestimmt.
Bei Verwendung mit geeigneten Korrelationen und klar formulierten Annahmen verwandeln diese dimensionslosen Zahlen Messungen aus Pilotanlagen in übertragbare Erkenntnisse über das gekoppelte Transportverhalten.
Zusammenfassungstabelle:
| Parameter | Vergleicht | Hauptanwendung | Wichtige Erkenntnis |
|---|---|---|---|
| Prandtl (Pr) | Impuls- und Temperaturleitfähigkeit | Wärmetauscher, Reaktoren und thermische Auslegung | Zeigt das Verhalten der thermischen Grenzschicht und unterstützt Korrelationen der Form Nu = f(Re, Pr) |
| Schmidt (Sc) | Impuls- und Stoffdiffusivität | Absorption, Trocknung, Extraktion, Befeuchtung und Destillation | Identifiziert den Widerstand des Konzentrationsfilms und unterstützt Korrelationen der Form Sh = f(Re, Sc) |
| Lewis (Le) | Thermische und Stoffdiffusivität | Gleichzeitiger Wärme- und Stofftransport | Zeigt, ob Wärme- und Stofftransport durch eine näherungsweise Analogie behandelt werden können |
| Reynolds (Re) | Trägheits- und viskose Kräfte | Bewertung des Strömungsregimes und Auswahl von Korrelationen | Muss bei der Auslegung und Maßstabsübertragung zusammen mit Pr, Sc oder Le berücksichtigt werden |
| Überprüfung der Maßstabsübertragung | Einflüsse von Transport, Strömung, Geometrie und Stoffeigenschaften | Vergleich von Pilot- und Industrieanlagen | Die Anpassung an nur eine dimensionslose Zahl gewährleistet keine gleichwertige Leistung |
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