Massenbilanzberechnungen bestimmen die Zusammensetzung des Batch-Destillats, indem sie verfolgen, was den Sumpf verlässt, was sich im Auffangbehälter ansammelt und wie sich die Zusammensetzung der verbleibenden Flüssigkeit im Laufe der Zeit verändert. Bei einer Batch-Destillationsanlage ohne Zulauf nimmt der Flüssigkeitsinhalt im Sumpf (B) ab, während der Flüssigkeitsinhalt des Destillat-Auffangbehälters (H_a) zunimmt. Die momentane Destillat-zusammensetzung (x_D) wird aus der dynamischen Komponentenbilanz und dem Dampf-Flüssigkeits-Gleichgewichtsverhalten der sich verändernden Sumpfflüssigkeit bestimmt.

Die entscheidende Beziehung ist die Erhaltung: Die aus dem Sumpf entfernte Menge der Leichtkomponente muss der im Destillat angesammelten Menge der Leichtkomponente entsprechen, während sich die momentane Dampfzusammensetzung verändert, sobald der Sumpf entleert wird.

Wie sich der gesamte Flüssigkeitsinhalt verändert

Der Flüssigkeitsinhalt im Sumpf nimmt ab

Sei (B(t)) der Flüssigkeitsinhalt im Sumpf und (L_D) oder (D) der Destillat-Entnahmestrom. Ohne Zulauf und bei vernachlässigbaren Verlusten gilt:

[ \frac{dB}{dt}=-D ]

Daher gilt:

[ B(t)=B_0-\int_0^t D,dt ]

Bei einem konstanten Destillat-Entnahmestrom gilt:

[ B(t)=B_0-Dt ]

Der Flüssigkeitsinhalt im Sumpf nimmt weiter ab, bis der geplante Endpunkt, der minimale Betriebsvorrat oder die angestrebte Sumpfzusammensetzung erreicht ist.

Der Flüssigkeitsinhalt des Destillat-Auffangbehälters nimmt zu

Der Flüssigkeitsinhalt des Auffangbehälters oder Destillat-Sammelbehälters (H_a) nimmt mit der Geschwindigkeit der Produktsammlung zu:

[ \frac{dH_a}{dt}=D ]

Bei konstanter Entnahme gilt:

[ H_a(t)=\int_0^t D,dt=Dt ]

Wenn der Dampf kondensiert und der Rücklauf intern in die Kolonne zurückgeführt wird, trägt nur die Netto-Destillatentnahme zu (H_a) bei. Der Rücklauf verändert das Trennverhalten, sammelt sich jedoch nicht im Produktempfänger an.

Die Gesamtmassenbilanz dient als Kontrolle

Für ein idealisiertes Batch-System, das nur aus Sumpf und Destillat-Auffangbehälter besteht, gilt:

[ B_0=B(t)+H_a(t) ]

Diese Gesamtbilanz ist auch eine praktische Betriebskontrolle. Eine erhebliche Abweichung weist auf Messfehler, nicht berücksichtigten Flüssigkeitsinhalt, Leckagen, Probenahmeverluste oder eine falsche Annahme zum Durchfluss hin.

Wie Komponentenbilanzen die Zusammensetzung bestimmen

Die Komponentenbilanz des Sumpfes

Für die flüchtigere Komponente seien (x_B) ihr Molenbruch in der Sumpfflüssigkeit und (x_D) der Molenbruch im entnommenen Destillat. Die Komponentenbilanz lautet:

[ \frac{d(Bx_B)}{dt}=-D x_D ]

Die linke Seite stellt die Änderungsrate des Inventars der flüchtigen Komponente im Sumpf dar. Die rechte Seite beschreibt ihre Entfernung mit dem Destillat.

Durch Anwendung der Produktregel und unter Verwendung von (dB/dt=-D) ergibt sich:

[ B\frac{dx_B}{dt}=D(x_B-x_D) ]

oder

[ \frac{dx_B}{dt}=\frac{D}{B}(x_B-x_D) ]

Da das Destillat normalerweise reicher an der flüchtigen Komponente ist als die Sumpfflüssigkeit, gilt (x_D>x_B), sodass (dx_B/dt) negativ ist. Die Konzentration der flüchtigen Komponente im Sumpf nimmt während des Betriebs daher ab.

Die Zusammensetzung des angesammelten Destillats

Die durchschnittliche Zusammensetzung des gesamten im Sammelbehälter aufgefangenen Materials (x_a) ergibt sich aus der integrierten Komponentenbilanz:

[ H_a x_a=B_0x_{B0}-B_1x_{B1} ]

Daraus folgt:

[ x_a=\frac{B_0x_{B0}-B_1x_{B1}}{H_a} ]

Hierbei sind (B_0) und (x_{B0}) der anfängliche Flüssigkeitsinhalt und die anfängliche Zusammensetzung des Sumpfes, während (B_1) und (x_{B1}) deren Werte zum ausgewählten Betriebszeitpunkt darstellen.

Dies ist eine Durchschnittszusammensetzung der gesammelten Charge, nicht die Zusammensetzung des zuletzt erhaltenen Destillats. Die beiden Werte unterscheiden sich immer dann, wenn sich (x_D) mit der Zeit verändert.

Die momentane Destillat-zusammensetzung

Die momentane Zusammensetzung (x_D) wird aus dem aktuellen Zustand des Sumpfes und den Betriebsbedingungen der Kolonne bestimmt. In jedem Zeitschritt führt das Prozessmodell typischerweise folgende Schritte aus:

Bestimmung des aktuellen Werts von (B) und (x_B).
Berechnung der Blasenpunkttemperatur beim Betriebsdruck.
Verwendung des Dampf-Flüssigkeits-Gleichgewichts zur Bestimmung der Dampfzusammensetzung, die den Sumpf oder den Kolonnenkopf verlässt.
Anwendung des Stoffübergangs- oder Gleichgewichtsstufenmodells der Kolonne beim ausgewählten Rücklaufverhältnis.
Bestimmung der resultierenden Kopfzusammensetzung als momentane Destillat-zusammensetzung (x_D(t)).

Für eine einfache Gleichgewichtsbeziehung gilt:

[ y_i=\frac{x_i P_i^{\text{sat}}(T)}{P} ]

wobei die Temperatur so gewählt wird, dass die Blasenpunktbedingung erfüllt ist. Antoine-Gleichungen oder eine andere Dampfdruckkorrelation können (P_i^{\text{sat}}(T)) liefern.

In einer realen Pilotkolonne muss die Zusammensetzung des Destillats am Kopf nicht direkt der Dampfzusammensetzung unmittelbar über dem Sumpf entsprechen. Böden, Packung, Rücklauf, Druck, Wirkungsgrad und Flüssigkeitsinhalt der Kolonne bestimmen, wie die sich verändernde Sumpfzusammensetzung in die Kopfzusammensetzung übertragen wird.

Warum sich die Destillat-zusammensetzung während des Betriebs verändert

Die flüchtige Komponente wird zunehmend entfernt

Zu Beginn einer Batch-Destillation enthält der Sumpf seine höchste Konzentration der flüchtigeren Komponente. Dampf und Kopfprodukt sind daher relativ reich an dieser Komponente.

Mit fortschreitendem Betrieb wird die flüchtige Komponente bevorzugt entfernt. Die Sumpfflüssigkeit wird reicher an der weniger flüchtigen Komponente, wodurch die Gleichgewichtsdampfzusammensetzung und gewöhnlich auch die Destillatreinheit abnehmen.

Der Rücklauf steuert den Anreicherungsgrad

Bei einem höheren Rücklaufverhältnis fließt mehr kondensierte Kopfflüssigkeit in die Kolonne zurück, anstatt als Produkt auszutreten. Dadurch kommt es zu einem intensiveren Dampf-Flüssigkeits-Kontakt, was im Allgemeinen die momentane Destillatreinheit erhöht.

Der Nachteil ist eine geringere Netto-Produktentnahmerate bei gleicher Verdampfungsleistung. Ein höheres Rücklaufverhältnis kann daher die Batch-Dauer und den Energieverbrauch erhöhen.

Der Flüssigkeitsinhalt der Kolonne verursacht eine dynamische Verzögerung

Flüssigkeit, die auf Böden, in Packungen, Rohrleitungen oder im Kondensator zurückgehalten wird, reagiert nicht unmittelbar auf eine Änderung der Sumpfzusammensetzung. Diese Flüssigkeitsmengen enthalten Material mit eigenen Zusammensetzungen und müssen berücksichtigt werden, wenn ein detailliertes instationäres Modell erforderlich ist.

Für einen Abschnitt mit Flüssigkeitsinhalt (H) hat die Gesamtbilanz allgemein die Form:

[ \frac{dH}{dt}=\text{Zuflüsse}-\text{Abflüsse} ]

Die Komponentenbilanz lautet:

[ \frac{d(Hx_i)}{dt}

\sum \text{Komponentenzuflüsse}

\sum \text{Komponentenabflüsse} ]

Diese Gleichungen erklären, warum eine Pilotanlage noch einige Zeit ein relativ konzentriertes Destillat erzeugen kann, nachdem sich die Sumpfzusammensetzung bereits zu verändern begonnen hat.

Wie die Berechnungen im Betrieb eingesetzt werden

Erstellung eines Zusammensetzungsprofils

Die dynamischen Bilanzen werden über aufeinanderfolgende Zeitintervalle gelöst. In jedem Intervall aktualisiert die Berechnung den Flüssigkeitsinhalt des Sumpfes, die Sumpfzusammensetzung, die Gleichgewichtstemperatur, die Dampfzusammensetzung, die Kopfzusammensetzung und die Zusammensetzung des angesammelten Produkts.

Das Ergebnis ist ein Profil wie:

[ B(t),\quad x_B(t),\quad x_D(t),\quad H_a(t),\quad x_a(t) ]

Dieses Profil zeigt sowohl die aktuelle Produktqualität als auch die insgesamt gesammelte Materialmenge.

Festlegung von Haupt- und Nebenfraktionszeiten

Eine Hauptfraktion wird gesammelt, solange die momentane Destillat-zusammensetzung innerhalb der erforderlichen Spezifikation liegt. Wenn (x_D(t)) unter diese Spezifikation fällt, kann der Bediener die Auffangbehälter umschalten oder das Produkt in einen Behälter für eine Nebenfraktion umleiten.

Der Umschaltzeitpunkt sollte auf der vorhergesagten oder gemessenen momentanen Zusammensetzung beruhen, nicht nur auf der durchschnittlichen Zusammensetzung im Auffangbehälter. Ein Auffangbehälter kann noch eine akzeptable durchschnittliche Reinheit aufweisen, obwohl das zuletzt erhaltene Destillat bereits unter die Spezifikation gefallen ist.

Schätzung der erforderlichen Batch-Dauer

Angenommen, der Molenbruch der flüchtigen Komponente im Sumpf muss von (x_{B0}) auf einen Zielwert (x_{B1}) reduziert werden. Die erforderliche Zeit wird durch Integration der Zusammensetzungsbilanz bestimmt:

[ \frac{dx_B}{dt}=\frac{D}{B}(x_B-x_D) ]

Da sowohl (B) als auch (x_D) zeitabhängig sein können, wird die Gleichung im Allgemeinen numerisch gelöst. Das Ergebnis liefert die Betriebszeit, den verbleibenden Sumpfinhalt, die gesammelte Destillatmenge und die durchschnittliche Produktzusammensetzung im Zielzustand.

Vergleich von Modellvorhersagen mit Messungen

Bediener können berechnete und gemessene Werte vergleichen für:

Flüssigkeitsinhalt des Sumpfes.
Flüssigkeitsinhalt des Destillat-Auffangbehälters.
Sumpfzusammensetzung.
Momentane Destillat-zusammensetzung.
Durchschnittliche Zusammensetzung im Auffangbehälter.
Batch-Dauer und Produktausbeute.

Dieser Vergleich kann fehlerhafte Durchflussmessungen, nicht modellierten Flüssigkeitsinhalt der Kolonne, unzureichende Gleichgewichtsannahmen, Wärmeverluste, Druckänderungen oder eine geringe Effizienz von Böden und Packungen aufdecken.

Verständnis der Zielkonflikte

Höhere Reinheit versus Produktionsrate

Eine Erhöhung des Rücklaufs verbessert im Allgemeinen die Trennung und steigert die Destillatreinheit. Sie reduziert jedoch den Anteil des kondensierten Kopfdampfes, der als Produkt entnommen wird, und erhöht dadurch die Zeit, die zum Sammeln einer bestimmten Menge erforderlich ist.

Vereinfachte Bilanzen versus detaillierte Modelle

Eine Bilanz von Sumpf und Auffangbehälter reicht häufig aus, um die Gesamtproduktmenge und die durchschnittliche Zusammensetzung zu schätzen. Für die Vorhersage des Zeitpunkts von Zusammensetzungsübergängen ist sie weniger zuverlässig, wenn Flüssigkeitsinhalte auf Böden, in Packungen, im Kondensator oder in Rohrleitungen erheblich sind.

Annahmen konstanter Raten versus tatsächlicher Betrieb

Die vereinfachte Beziehung (H_a=Dt) setzt eine konstante Netto-Destillat-Rate voraus. In realen Pilotanlagen können Verdampfungsleistung, Rücklauf, Druck, Kondensation oder das Verhalten des Regelventils variieren. In diesem Fall muss der gemessene oder modellierte Wert (D(t)) integriert werden.

Momentane Zusammensetzung versus kumulative Zusammensetzung

Die Verwechslung von (x_D) und (x_a) ist ein häufiger Betriebsfehler. (x_D) beschreibt das Produkt, das zu einem bestimmten Zeitpunkt austritt, während (x_a) alles bis zu diesem Zeitpunkt gesammelte Material beschreibt.

Numerische Genauigkeit und physikalische Daten

Die Zuverlässigkeit der dynamischen Berechnung hängt von den Daten zum Dampf-Flüssigkeits-Gleichgewicht, der Druckmessung, den Durchflussdaten und der Anfangszusammensetzung ab. Numerische Integrationsverfahren wie Runge-Kutta oder RK45 verbessern die Lösungsgenauigkeit, können jedoch ungenaue physikalische Annahmen oder Messungen nicht korrigieren.

Die richtige Auswahl für Ihr Ziel

Die Bilanzen sollten entsprechend der Entscheidung ausgewählt werden, die die Pilotanlage unterstützen soll.

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Vorhersage der Destillat-zusammensetzung liegt: Verwenden Sie eine dynamische Sumpfbilanz, gekoppelt mit dem Dampf-Flüssigkeits-Gleichgewicht und einem Kolonnenmodell, das das ausgewählte Rücklaufverhältnis berücksichtigt.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Verfolgung des Flüssigkeitsinhalts liegt: Integrieren Sie die Gesamtbilanzen für Sumpf und Sammelbehälter und berücksichtigen Sie Flüssigkeitsinhalte von Böden, Packungen, Kondensator und Rohrleitungen, wenn deren Inventare relevant sind.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Festlegung von Auffangbehälter-Umschaltzeiten liegt: Verfolgen Sie (x_D(t)), vergleichen Sie diesen Wert mit der Produktspezifikation und verlassen Sie sich nicht ausschließlich auf den Mittelwert (x_a) im Auffangbehälter.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Schätzung der Produktausbeute liegt: Verwenden Sie (H_a=B_0-B) zusammen mit (H_a x_a=B_0x_{B0}-Bx_B) und berücksichtigen Sie dabei den möglicherweise zurückgehaltenen Flüssigkeitsinhalt der Kolonne.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Optimierung des Rücklaufs liegt: Vergleichen Sie Reinheit, Ausbeute, Batch-Dauer und Energieverbrauch über das vorhergesagte dynamische Zusammensetzungsprofil.

Eine korrekt formulierte dynamische Massenbilanz wandelt sich verändernde Messwerte aus der Pilotanlage in eine belastbare Vorhersage von Zusammensetzung, Flüssigkeitsinhalt, Produktausbeute und Abschaltzeitpunkt um.

Zusammenfassungstabelle:

Parameter	Berechnung oder Beziehung	Verwendung im Betrieb
Flüssigkeitsinhalt des Sumpfes	`dB/dt = -D`	Verfolgt den verbleibenden Batch-Inhalt
Flüssigkeitsinhalt des Sammelbehälters	`dHₐ/dt = D`	Misst das gesammelte Destillat
Sumpfzusammensetzung	`dxB/dt = (D/B)(xB - xD)`	Sagt die Abreicherung der flüchtigen Komponente voraus
Momentanes Destillat	Bestimmt aus Dampf-Flüssigkeits-Gleichgewicht, Rücklauf, Druck und Kolonnenverhalten	Legt die aktuelle Produktqualität fest
Durchschnittliches Destillat	`xₐ = (B₀xB₀ - B₁xB₁)/Hₐ`	Bewertet die kumulative Batch-Reinheit
Flüssigkeitsinhalt der Kolonne	`d(Hxᵢ)/dt = Komponentenzuflüsse - Komponentenabflüsse`	Sagt Zusammensetzungsverzögerungen und Fraktionsübergänge voraus

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