Das Rayleigh-Modell wendet eine einstufige Batch-Destillation als einen Gleichgewichtsverdampfungsprozess ohne Rückfluss an. Ein Flüssigkeitsgemisch wird in einen Sumpfbehälter (Reboiler) gefüllt, erhitzt und kontinuierlich als Dampf abgezogen, wobei angenommen wird, dass dieser im Dampf-Flüssigkeits-Gleichgewicht mit der im Sumpf verbleibenden Flüssigkeit steht. Das Modell verfolgt, wie sich der Flüssigkeitsbestand und die Zusammensetzung ändern, während die leichter flüchtige Komponente bevorzugt verdampft wird.

Wichtigste Erkenntnis: Die Rayleigh-Gleichung verknüpft die Abnahme des Flüssigkeitsbestands mit den sich ändernden Flüssigkeits- und Dampfzusammensetzungen. Für ein binäres Gemisch sagt die Gleichgewichtsbeziehung zwischen Flüssigkeitszusammensetzung (x_B) und Dampfzusammensetzung (y), zusammen mit der Rayleigh-Bilanz, die Rückstandszusammensetzung, die Destillatansammlung und die Batch-Trennleistung voraus.

Wie das Rayleigh-Modell die Pilotanlage abbildet

Einstufiger Batch-Betrieb

Die Pilotanlage wird als Rayleigh-Destille modelliert: ein Sumpfbehälter mit einer gut durchmischten Flüssigkeitsfüllung, einer Wärmequelle und einem Kondensator, der das verdampfte Material auffängt, ohne flüssigen Rückfluss zurückzuführen.

Es gibt keinen Verstärkungsteil und keine interne Flüssigkeits-Dampf-Kontaktsequenz. Die verbleibende Sumpfflüssigkeit wird daher als die einzige flüssige Phase behandelt, die die momentane Dampfzusammensetzung bestimmt.

Differentieller Dampfabzug

Während des Erhitzens wird kontinuierlich Dampf erzeugt und abgezogen. Der Flüssigkeitsbestand nimmt von seinem Anfangswert (B_0) auf einen Endwert (B_1) ab.

Die leichter flüchtige Komponente wird bevorzugt entfernt, sodass ihr Molenbruch in der verbleibenden Flüssigkeit (x_B) während des Batches im Allgemeinen abnimmt. Die momentane Dampfzusammensetzung (y) ist reicher an der flüchtigen Komponente als die Flüssigkeitszusammensetzung, sofern eine Trennung möglich ist.

Annahme des Dampf-Flüssigkeits-Gleichgewichts

Es wird angenommen, dass der erzeugte Dampf zu jedem Zeitpunkt im Gleichgewicht mit der Flüssigkeit in der Destille steht:

[ y = y^*(x_B) ]

Dies ist die definierende Gleichgewichtsannahme des idealen Rayleigh-Modells. Die Gleichgewichtsbeziehung kann aus experimentellen VLE-Daten, einem Aktivitätskoeffizientenmodell oder einer Näherung mit konstanter relativer Flüchtigkeit stammen.

Grundlegende maßgebliche Gleichungen

Gesamtflüssigkeitsbilanz

Sei (B) die Gesamtzahl der Mol der im Sumpf verbleibenden Flüssigkeit. Das angesammelte Destillat beträgt

[ H_a = B_0 - B_1 ]

wobei:

(B_0) die anfängliche Flüssigkeitsmenge ist,
(B_1) die verbleibende Flüssigkeitsmenge ist,
(H_a) das gesamte kondensierte Destillat ist.

Diese Bilanz setzt voraus, dass der Dampfbestand und Materialverluste vernachlässigbar sind.

Differentielle Rayleigh-Gleichung

Für ein binäres Gemisch sei (x_B) der Molenbruch der ausgewählten flüchtigen Komponente in der Flüssigkeit und (y) ihr Dampf-Molenbruch im Gleichgewicht. Eine differentielle Komponentenbilanz ergibt

[ B,dx_B = (y-x_B),dB ]

oder äquivalent dazu,

[ \frac{dB}{B} = \frac{dx_B}{y-x_B} ]

Da sowohl (B) als auch (x_B) während des normalen Betriebs abnehmen, sind die differentiellen Änderungen negativ. Die Gleichung bleibt daher konsistent mit einem positiven Trennfaktor (y-x_B).

Integrierte Rayleigh-Gleichung

Die Integration zwischen dem Anfangszustand ((B_0,x_{B0})) und dem Endzustand ((B_1,x_{B1})) ergibt

[ \ln\left(\frac{B_0}{B_1}\right)

\int_{x_{B1}}^{x_{B0}} \frac{dx_B}{y-x_B} ]

Dies ist die grundlegende maßgebliche Gleichung zur Berechnung der endgültigen Flüssigkeitszusammensetzung oder der verbleibenden Flüssigkeitsmenge.

Eine äquivalente Form ist

[ \ln\left(\frac{B_1}{B_0}\right)

\int_{x_{B0}}^{x_{B1}} \frac{dx_B}{y-x_B} ]

Die beiden Formen sind identisch; nur die Integrationsgrenzen und die Richtung des Logarithmus unterscheiden sich.

Modell mit konstanter relativer Flüchtigkeit

Gleichgewichtsbeziehung

Für ein binäres Gemisch mit konstanter relativer Flüchtigkeit (\alpha) wird die Dampfzusammensetzung angenähert durch

[ y = \frac{\alpha x_B} {1+(\alpha-1)x_B} ]

wobei

[ \alpha = \frac{K_{\text{flüchtig}}}{K_{\text{weniger flüchtig}}} ]

Für (\alpha>1) ist die ausgewählte Komponente flüchtiger und (y>x_B) über den Zusammensetzungsbereich (0<x_B<1).

Einsetzen in die Rayleigh-Gleichung

Unter Verwendung der Gleichgewichtsbeziehung mit konstantem (\alpha),

[ y-x_B = \frac{(\alpha-1)x_B(1-x_B)} {1+(\alpha-1)x_B} ]

Daher,

[ \frac{1}{y-x_B}

\frac{1+(\alpha-1)x_B} {(\alpha-1)x_B(1-x_B)} ]

Die integrierte Gleichung wird zu

[ \ln\left(\frac{B_0}{B_1}\right)

\frac{1}{\alpha-1} \left[ \ln\left(\frac{x_{B0}}{x_{B1}}\right)

\alpha \ln\left( \frac{1-x_{B0}}{1-x_{B1}} \right) \right] ]

Diese Form ist nützlich für binäre Laborgemische, wenn die relative Flüchtigkeit vernünftigerweise als konstant angesehen werden kann.

Form mit Komponenten-Molzahlen

Definieren Sie die Molzahlen der flüchtigen und der weniger flüchtigen Komponente, die im Sumpf verbleiben, als

[ N_{\mathrm{v}}=Bx_B ]

und

[ N_{\mathrm{l}}=B(1-x_B) ]

Das Ergebnis mit konstanter relativer Flüchtigkeit kann auch geschrieben werden als

[ \ln\left(\frac{N_{\mathrm{v},1}}{N_{\mathrm{v},0}}\right)

\alpha \ln\left(\frac{N_{\mathrm{l},1}}{N_{\mathrm{l},0}}\right) ]

Dieser Ausdruck zeigt, dass der Bestand der flüchtigen Komponente schneller abnimmt als der Bestand der weniger flüchtigen Komponente, wenn (\alpha>1).

Einbeziehung von Zeit und Wärmezufuhr

Verdampfungsrate

Die Rayleigh-Gleichung beschreibt die Trajektorie der Zusammensetzung und des Bestands, gibt aber nicht an, wie schnell der Batch abläuft. Zeit kann durch die Verdampfungsrate eingeführt werden.

Wenn die Wärmezufuhr (Q) und die molare latente Verdampfungswärme (\Delta H_{\mathrm{vap}}) näherungsweise konstant sind, ist die molare Verdampfungsrate

[ \dot n_V = \frac{Q}{\Delta H_{\mathrm{vap}}} ]

Da Flüssigkeit als Dampf abgezogen wird,

[ \frac{dB}{dt}=-\dot n_V ]

Für konstante (Q) und (\Delta H_{\mathrm{vap}}),

[ B(t)=B_0-\dot n_V t ]

bis die Annahmen nicht mehr gelten oder der Batch gestoppt wird.

Dynamik der Zusammensetzung

Die Kombination der Stoffbilanz mit der Rayleigh-Beziehung ergibt

[ \frac{dx_B}{dt}

\frac{\dot n_V}{B} (x_B-y) ]

Äquivalent dazu,

[ \frac{dx_B}{dt}

-\frac{\dot n_V}{B} (y-x_B) ]

Da (y>x_B) für die flüchtigere Komponente gilt, ist (dx_B/dt) negativ. Die Flüssigkeit verarmt zunehmend an dieser Komponente.

Auswirkung der Wärmezufuhr

Eine Erhöhung der Wärmezufuhr erhöht im Allgemeinen (\dot n_V), wodurch die Zeit verkürzt wird, die zum Erreichen eines bestimmten Flüssigkeitsbestands erforderlich ist. Unter idealen Annahmen ändert dies die Zeitskala des Batches, aber nicht die Gleichgewichtsbeziehung zwischen (B) und (x_B).

In der Praxis kann eine übermäßige Wärmezufuhr diese Trennung von Zeit und Zusammensetzung ungültig machen, indem sie Mitreißen, Schäumen, Nicht-Gleichgewichtsverdampfung, Wärmeverluste oder Begrenzungen des Kondensators verursacht.

Anwendung des Modells auf Pilotanlagendaten

Erforderliche Messungen

Ein typisches Experiment erfordert:

Anfängliche Flüssigkeitsmenge (B_0) oder Anfangsvolumen und Zusammensetzung.
Anfänglicher Molenbruch der flüchtigen Komponente (x_{B0}).
Verbleibende Flüssigkeitsmenge (B_1) zu einem ausgewählten Zeitpunkt.
Rückstandszusammensetzung (x_{B1}).
Destillatansammlung (H_a).
Dampf- oder Destillatzusammensetzung, falls verfügbar.
Heizrate, Wärmezufuhr oder Verdampfungsrate.

Volumenmessungen müssen unter Verwendung der Gemischdichte, der Molmassen und der Zusammensetzung in Mol umgerechnet werden. Direkte Molmessungen sind vorzuziehen, sofern verfügbar.

Vorhersage des Rückstands

Wenn (B_0), (x_{B0}) und (B_1) bekannt sind, kann die Rayleigh-Gleichung nach (x_{B1}) aufgelöst werden. Bei einem Modell mit konstantem (\alpha) ist dies normalerweise eine nichtlineare Berechnung.

Wenn stattdessen die Rückstandszusammensetzung gemessen wird, kann die Gleichung verwendet werden, um die verbleibende Flüssigkeitsmenge vorherzusagen:

[ B_1 = B_0 \exp\left[ -\int_{x_{B1}}^{x_{B0}} \frac{dx_B}{y-x_B} \right] ]

Der vorhergesagte Wert kann dann mit dem experimentellen Flüssigkeitsbestand verglichen werden.

Bewertung der Trennleistung

Die momentane Dampfzusammensetzung wird aus der Flüssigkeitszusammensetzung berechnet:

[ y_1 = \frac{\alpha x_{B1}} {1+(\alpha-1)x_{B1}} ]

Die durchschnittliche Zusammensetzung des angesammelten Destillats ergibt sich aus einer Gesamtkomponentenbilanz:

[ \bar y_D = \frac{B_0x_{B0}-B_1x_{B1}} {B_0-B_1} ]

Diese durchschnittliche Destillatzusammensetzung ist im Allgemeinen nicht gleich der endgültigen momentanen Dampfzusammensetzung. Die Dampfzusammensetzung ändert sich während des gesamten Batches, daher stellt das angesammelte Produkt eine integrierte Historie des Betriebs dar.

Verständnis der Kompromisse

Konstante relative Flüchtigkeit ist eine Näherung

Die Annahme, dass (\alpha) konstant ist, kann für stark nicht-ideale Gemische oder weite Zusammensetzungsbereiche ungeeignet sein. Die relative Flüchtigkeit kann mit Temperatur, Druck und Zusammensetzung variieren.

Für Arbeiten mit höherer Genauigkeit ersetzen Sie die Gleichung mit konstantem (\alpha) durch gemessene oder thermodynamisch berechnete VLE-Daten und werten das Rayleigh-Integral numerisch aus.

Gleichgewicht garantiert keine ideale Pilotleistung

Das ideale Modell nimmt an, dass der Dampf, der die Flüssigkeit verlässt, im Gleichgewicht mit ihr steht. Reale Anlagen können Überhitzung, Mitreißen, unvollständige Durchmischung, Dampfbestand, Wärmeverluste und verzögerte Probenahmeantworten aufweisen.

Diese Effekte können dazu führen, dass die gemessene Dampfzusammensetzung vom Gleichgewichtswert abweicht, der aus der momentanen Rückstandszusammensetzung vorhergesagt wurde.

Die Heizrate beeinflusst die Dauer, nicht immer das Ergebnis

Unter dem idealen Modell ändert die Wärmezufuhr die Rate der Bestandsabnahme, aber nicht die Gleichgewichtstrajektorie. Reale Systeme können von diesem Verhalten abweichen, wenn höhere Heizraten Schäumen, Mitreißen, Fluten des Kondensators oder unzureichende Wärmeübertragungs- und Mischleistung verursachen.

Eine einzelne Stufe ist keine Destillationskolonne

Das Rayleigh-Modell stellt einen Gleichgewichtsverdampfungsschritt dar, der über die Zeit wiederholt wird. Es berücksichtigt keine theoretischen Böden, Rückfluss, Kolonneninhalt, Bodenwirkungsgrad, minimalen Rückfluss oder Boden-zu-Boden-Zusammensetzungsprofile.

Methoden wie die Fenske-Underwood-Gilliland-Analyse gehören zum Design von Stufenkolonnen und sollten nicht durch die einstufige Rayleigh-Bilanz ersetzt werden, es sei denn, die Pilotanlage enthält einen echten Kontaktteil.

Wie Sie dies auf Ihr Projekt anwenden

Der folgende Arbeitsablauf bietet eine praktische Sequenz zur Modellvalidierung:

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Rückstandszusammensetzung liegt: Verwenden Sie die integrierte Rayleigh-Gleichung mit der gemessenen oder angenommenen VLE-Beziehung, um (x_{B1}) bei der gemessenen verbleibenden Flüssigkeitsmenge zu bestimmen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Batch-Dauer liegt: Schätzen Sie (\dot n_V=Q/\Delta H_{\mathrm{vap}}), integrieren Sie die Bestandsbilanz über die Zeit und koppeln Sie sie mit der Rayleigh-Zusammensetzungsbeziehung.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Destillatausbeute liegt: Berechnen Sie (H_a=B_0-B_1) und bestimmen Sie die Zusammensetzung des angesammelten Destillats aus der Gesamtbilanz der flüchtigen Komponente.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Modellvalidierung liegt: Vergleichen Sie die vorhergesagten Rückstands- und Destillatzusammensetzungen mit zeitgestempelten Proben und untersuchen Sie dann Abweichungen durch Änderung von (\alpha), Wärmeverlust, Mitreißen und Nicht-Gleichgewichtseffekte.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Prozessdesign liegt: Verwenden Sie das Rayleigh-Modell als Basis für einen Batch ohne Rückfluss und verwenden Sie ein dynamisches Stufenmodell, wenn die Pilotanlage Böden, Packungen, Rückfluss oder signifikanten internen Inhalt enthält.

Das Rayleigh-Modell bietet den wesentlichen theoretischen Maßstab, um zu verstehen, wie eine einstufige Batch-Destillation ein binäres Gemisch trennt, während die Sumpfflüssigkeit zunehmend verarmt.

Zusammenfassungstabelle:

Thema	Kerngleichung oder Prinzip	Anwendung
Flüssigkeitsbilanz	Hₐ = B₀ − B₁	Berechnet das angesammelte Destillat
Rayleigh-Gleichung	dB/B = dxᴮ/(y − xᴮ)	Verknüpft Flüssigkeitsbestand mit Zusammensetzungsänderung
Integriertes Modell	ln(B₀/B₁) = ∫ dxᴮ/(y − xᴮ)	Sagt Rückstandszusammensetzung oder verbleibende Flüssigkeit voraus
VLE-Beziehung	y = y*(xᴮ)	Bestimmt die momentane Dampfzusammensetzung
Konstante relative Flüchtigkeit	y = αxᴮ/[1 + (α − 1)xᴮ]	Vereinfacht Berechnungen für binäre Gemische
Verdampfungsrate	ṅᵥ = Q/ΔHᵥₐₚ	Verbindet Wärmezufuhr mit Batch-Dauer
Durchschnittliche Destillatzusammensetzung	ȳᴰ = (B₀xᴮ₀ − B₁xᴮ₁)/(B₀ − B₁)	Bewertet die gesamte Trennleistung
Modellbeschränkungen	Setzt Gleichgewicht, ideale Mischung und vernachlässigbare Verluste voraus	Identifiziert Ursachen für Abweichungen in Pilotanlagen

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