Die terminale Sinkgeschwindigkeit wird durch das Gleichgewicht zwischen der resultierenden Gewichtskraft des Partikels und dem Strömungswiderstand bestimmt. Für ein kugelförmiges Partikel im Bereich kleiner Reynolds-Zahlen ergibt sich daraus das Ergebnis nach dem Stokes’schen Gesetz:

[ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} ]

wobei (U_t) die terminale Geschwindigkeit, (D_p) der Partikeldurchmesser, (\rho_p) und (\rho_f) die Dichten des Partikels und der Flüssigkeit und (\mu) die Viskosität der Flüssigkeit sind. In einer Pilotanlage berechnen Studierende typischerweise diesen Wert, überprüfen das anwendbare Strömungsregime und vergleichen ihn mit der in einer Absetzsäule oder einem Sedimentationstank gemessenen Geschwindigkeit.

Die grundlegende Methode ist ein Kräftegleichgewicht, aber das Stokes’sche Gesetz ist nur gültig, wenn der viskose Widerstand dominiert. Bei größeren Partikeln oder Flüssigkeiten mit niedrigerer Viskosität hängt der Widerstandsbeiwert von der Reynolds-Zahl ab, sodass die Geschwindigkeit durch Auswahl oder iterative Bestimmung des geeigneten Widerstandsregimes ermittelt werden muss.

Wie das Kräftegleichgewicht die terminale Geschwindigkeit bestimmt

Resultierende Gravitations- oder Auftriebskraft

Bei einem kugelförmigen Partikel, das durch eine Flüssigkeit sinkt, wirkt der nach unten gerichteten Gewichtskraft der Auftrieb entgegen. Die daraus resultierende Antriebskraft ist

[ F_{\text{net}}=\frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f) ]

wobei (R) der Partikelradius ist.

Wenn (\rho_p>\rho_f), sinkt das Partikel. Wenn (\rho_p<\rho_f), steigt es auf, und die Richtung der Geschwindigkeit kehrt sich um.

Hydrodynamischer Widerstand

Wenn sich das Partikel bewegt, übt die Flüssigkeit eine der Bewegung entgegengesetzte Widerstandskraft aus. Unter den Bedingungen einer Stokes-Strömung beträgt die Widerstandskraft auf eine Kugel

[ F_D=6\pi\mu R U_t ]

Bei der terminalen Geschwindigkeit ist die Beschleunigung null, da die resultierende Kraft null ist:

[ F_{\text{net}}=F_D ]

Durch Einsetzen der beiden Kraftausdrücke ergibt sich

[ \frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f)

6\pi\mu R U_t ]

und damit

[ U_t=\frac{2}{9}\frac{R^2g(\rho_p-\rho_f)}{\mu} ]

Mit (D_p=2R) wird dieselbe Gleichung zu

[ \boxed{ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} } ]

Wann das Stokes’sche Gesetz gilt

Kleine Partikel-Reynolds-Zahl

Die Partikel-Reynolds-Zahl ist

[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]

Bei sehr kleinen Reynolds-Zahlen, in der Laborbehandlung der Sedimentation üblicherweise bei (Re_p<0.3), folgt der viskose Widerstand eng dem Stokes’schen Gesetz.

In diesem Regime sind Trägheitseffekte vernachlässigbar, und die Viskosität bestimmt den Bewegungswiderstand.

Bedeutung der Gleichung

Das Stokes-Ergebnis zeigt, dass die terminale Geschwindigkeit:

mit dem Quadrat des Partikeldurchmessers zunimmt.
linear mit dem Dichteunterschied zunimmt.
mit der Erdbeschleunigung zunimmt.
mit zunehmender Flüssigkeitsviskosität abnimmt.

Eine Verdopplung des Partikeldurchmessers erhöht somit die vorhergesagte Geschwindigkeit um den Faktor vier, vorausgesetzt, das Partikel bleibt im Stokes-Regime.

Wie Pilotanlagenexperimente die Geschwindigkeit bestimmen

Messung in einer Absetzsäule

Eine Suspension mit bekannter Zusammensetzung wird in eine transparente Absetzsäule oder ein Sedimentationsgefäß eingebracht. Die Position des Partikels oder der Grenzfläche wird als Funktion der Zeit aufgezeichnet.

Nachdem das Partikel seine anfängliche Beschleunigungsphase durchlaufen hat, ändert sich seine Position näherungsweise linear mit der Zeit. Die Steigung dieses Bereichs liefert die gemessene terminale Geschwindigkeit:

[ U_t \approx \frac{\Delta z}{\Delta t} ]

wobei (\Delta z) die gemessene Sinkstrecke ist.

Vergleich von gemessenen und berechneten Werten

Studierende berechnen (U_t) normalerweise vor der Durchführung des Experiments aus Partikelgröße, Dichte, Viskosität und Schwerkraft. Anschließend wird die gemessene Geschwindigkeit mit dem theoretischen Wert verglichen.

Unterschiede können durch Partikelgrößenverteilungen, nicht kugelförmige Partikel, Wandeffekte, die Suspensionskonzentration, Agglomeration, Temperaturschwankungen oder das Nichterreichen der terminalen Bewegung verursacht werden.

Abschätzung der Trennleistung

Die terminale Geschwindigkeit hilft zu bestimmen, ob ein Partikel innerhalb der verfügbaren Aufenthaltszeit entfernt wird:

[ t_s\approx\frac{H}{U_t} ]

wobei (H) die Sinkstrecke unter den relevanten idealisierten Bedingungen ist.

Diese Beziehung unterstützt die vorläufige Analyse von Sedimentationstanks, Klärbecken, Eindickern und Anlagen zur Zellklärung.

Wie das richtige Widerstandsregime ausgewählt wird

Die zirkuläre Abhängigkeit

Außerhalb des Stokes-Regimes hängt die terminale Geschwindigkeit vom Widerstandsbeiwert ab. Der Widerstandsbeiwert hängt von der Reynolds-Zahl ab, aber die Reynolds-Zahl selbst enthält die unbekannte terminale Geschwindigkeit:

[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]

Folglich kann die Geschwindigkeit nicht immer direkt aus einer einzigen expliziten Gleichung berechnet werden.

Reibungsgruppenmethode

Ein geeigneter Screening-Parameter ist

[ K

D_p \left[ \frac{\rho_f(\rho_p-\rho_f)g}{\mu^2} \right]^{1/3} ]

Der Wert von (K) zeigt das wahrscheinliche Sedimentationsregime an:

(K<3.3): laminares oder Stokes-Regime
(3.3<K<43.6): Übergangs- oder Allen-Regime
(K>43.6): turbulentes oder Newton-Regime

Diese Grenzen sind nützliche Richtwerte für die Ausbildung, aber das endgültige Regime sollte anhand der berechneten Reynolds-Zahl und der verwendeten Widerstandskorrelation bestätigt werden.

Versuchs- und Prüfverfahren

Eine typische Berechnung für eine Pilotanlage folgt dieser Abfolge:

(D_p), (\rho_p), (\rho_f), (\mu) und (g) festlegen.
Das wahrscheinliche Regime mithilfe von (K) oder einer anfänglichen Annahme für die Reynolds-Zahl abschätzen.
(U_t) mit der entsprechenden Sedimentationsgleichung berechnen.
(Re_p) mithilfe dieser Geschwindigkeit berechnen.
Prüfen, ob die Reynolds-Zahl mit dem angenommenen Regime übereinstimmt.
Bei einer inkonsistenten Annahme mit einer anderen Korrelation wiederholen.

Dieses Verfahren ist besonders wichtig für Partikel, die im Übergangsbereich liegen.

Was die Pilotanlage über die Gleichung hinaus vermittelt

Einfluss der Flüssigkeitseigenschaften

Eine zunehmende Viskosität verlangsamt die Sedimentation, da die Flüssigkeit einen größeren Widerstand gegen die Partikelbewegung bietet. Eine zunehmende Dichtedifferenz zwischen Partikel und Flüssigkeit erhöht die Antriebskraft und damit die Sinkgeschwindigkeit.

Die Temperatur kann die Viskosität erheblich beeinflussen, daher sollte die Flüssigkeitstemperatur während der Experimente aufgezeichnet werden.

Einfluss von Partikelgröße und -form

Die ideale Gleichung setzt kugelförmige Partikel mit bekanntem Durchmesser voraus. Reale Feststoffe können unregelmäßig, porös oder agglomeriert sein.

Bei nicht kugelförmigen Partikeln ist die gemessene Sinkgeschwindigkeit häufig niedriger als die einer Kugel mit äquivalentem Volumen, da der effektive Widerstand höher ist.

Verdünnte und konzentrierte Suspensionen

Das Kräftegleichgewicht für ein einzelnes Partikel beschreibt die ungehinderte freie Sedimentation, bei der die Partikel ausreichend voneinander getrennt sind und sich nicht stark gegenseitig beeinflussen.

Bei höheren Konzentrationen verändern Partikelwechselwirkungen und die Verdrängung von Flüssigkeit das Sedimentationsverhalten. Die gemessene Grenzflächengeschwindigkeit kann dann eher eine gehinderte Sedimentation oder Zonensedimentation darstellen als die terminale Geschwindigkeit einer isolierten Kugel.

Die Abwägungen verstehen

Das Stokes’sche Gesetz ist einfach, aber begrenzt

Das Stokes’sche Gesetz ist anschaulich und äußerst nützlich für die Vermittlung von Kräftegleichgewichten, Skalierungstrends und dem Verhalten bei kleinen Reynolds-Zahlen. Es wird unzuverlässig, wenn die Trägheit der Partikel bedeutsam ist oder die Suspension konzentriert ist.

Eine automatische Anwendung auf jede Partikelgröße kann zu falschen Sedimentationszeiten und Trennprognosen führen.

Theoretische und gemessene Geschwindigkeiten können voneinander abweichen

Eine Pilotanlage verhält sich selten wie eine unendlich ausgedehnte, ruhende Flüssigkeit. Gefäßwände, Störungen am Einlass, Turbulenzen, Kurzschlussströmungen, Schwankungen der Partikelgröße und Unsicherheiten bei der Probenahme können das Ergebnis beeinflussen.

Der experimentelle Wert sollte daher als Eigenschaft der festgelegten Anlage und Betriebsbedingung interpretiert werden, nicht als universelle Partikelkonstante.

Die Schwerkraft liefert nicht immer die Beschleunigung

Bei der gewöhnlichen Sedimentation ist (g) die Erdbeschleunigung. Bei der Zentrifugation wird die effektive Beschleunigung durch die lokale Zentrifugalbeschleunigung ersetzt.

Dasselbe Prinzip des Kräftegleichgewichts gilt weiterhin, aber die Beschleunigung kann sich abhängig von der radialen Position in der Anlage ändern.

Die Gas-Flüssigkeits-Trennung erfordert eine andere praktische Behandlung

Bei Flüssigkeitströpfchen, die durch ein Gas sinken, unterscheiden sich Dichteverhältnisse und Widerstandsverhalten erheblich von der Flüssig-Feststoff-Sedimentation. Bei der Auslegung von Abscheidern wird üblicherweise ein mit der Reynolds-Zahl verknüpfter Widerstandsfaktor oder Widerstandsbeiwert verwendet, anstatt unterschiedslos die Stokes-Gleichung für Flüssig-Feststoff-Systeme anzuwenden.

Das grundlegende Prinzip bleibt dasselbe: Das um den Auftrieb korrigierte Gewicht wird bei der terminalen Bewegung durch den Widerstand ausgeglichen.

So wenden Sie dies auf Ihr Pilotanlagenexperiment an

Wenden Sie je nach Ziel der Übung den folgenden Ansatz an:

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Theorie kleiner Reynolds-Zahlen liegt: Wenden Sie das Kräftegleichgewicht an und verwenden Sie (\displaystyle U_t=gD_p^2(\rho_p-\rho_f)/(18\mu)); überprüfen Sie anschließend, dass das resultierende (Re_p) im Stokes-Bereich liegt.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der experimentellen Messung liegt: Bestimmen Sie die Steigung der Partikel- oder Grenzflächenposition über der Zeit im Bereich der terminalen Sedimentation und vergleichen Sie sie mit der berechneten Geschwindigkeit.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Anlagenauslegung liegt: Verwenden Sie die geeignete Widerstandskorrelation, Aufenthaltszeit und Sinkstrecke, anstatt das Stokes’sche Gesetz anzuwenden, ohne das Strömungsregime zu überprüfen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Maßstabsübertragung liegt: Zeichnen Sie die Partikelgrößenverteilung, Konzentration, Temperatur, Flüssigkeitseigenschaften und Gefäßgeometrie auf, da diese bestimmen, ob das Verhalten im Labor die Pilot- oder industrielle Betriebsweise repräsentiert.

Eine zuverlässige Bestimmung der terminalen Geschwindigkeit kombiniert das Kräftegleichgewicht, die Überprüfung des Strömungsregimes und den direkten Vergleich mit Messungen in der Pilotanlage.

Zusammenfassungstabelle:

Wichtiger Aspekt	Hauptaussage
Grundlegendes Prinzip	Die terminale Geschwindigkeit tritt ein, wenn das Auftriebsgewicht dem hydrodynamischen Widerstand entspricht.
Stokes’sches Gesetz	`Ut = gDp²(rhop - rhof) / 18mu` bei kleinen Partikel-Reynolds-Zahlen.
Wichtige Variablen	Partikeldurchmesser, Dichteunterschied, Flüssigkeitsviskosität und Schwerkraft.
Überprüfung des Regimes	`Rep` berechnen und bestätigen, ob Stokes-, Übergangs- oder turbulenter Widerstand gilt.
Experimentelle Methode	Die Steigung der Partikel- oder Grenzflächenposition über der Zeit im Bereich der terminalen Sedimentation messen.
Anwendung bei der Trennung	Sedimentationszeit abschätzen und die Leistung von Sedimentationstank, Klärbecken und Eindicker bewerten.
Fehlerquellen	Partikelform, Größenverteilung, Wandeffekte, Konzentration, Temperatur und unvollständig erreichte terminale Bewegung.
Daten für die Maßstabsübertragung	Partikeleigenschaften, Suspensionskonzentration, Flüssigkeitsbedingungen und Gefäßgeometrie aufzeichnen.

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