Für eine stationäre, voll entwickelte Strömung zweier nicht mischbarer Flüssigkeitsschichten in einem Kanal reduzieren sich die maßgeblichen Gleichungen auf jeweils eine Impulsgleichung pro Phase, gekoppelt durch Wand- und Flüssig-Flüssig-Grenzflächenbedingungen. Für inkompressible Newtonsche Fluide erfordert die Massenerhaltung ein divergenzfreies Geschwindigkeitsfeld, während die Impulserhaltung durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben wird. In der üblichen Näherung paralleler Platten ist die axiale Geschwindigkeit in jeder Phase über den Kanalquerschnitt quadratisch verteilt, und die Integrationskonstanten werden durch die Haftbedingung an den Wänden sowie die Kontinuität von Geschwindigkeit und Schubspannung an der Grenzfläche bestimmt.

Die Geschwindigkeitsprofile werden durch impulserhaltende Bilanzen in jeder Phase bestimmt, die durch den Druckgradienten angetrieben werden. Der Viskositätskontrast beeinflusst das Profil über die phasenspezifischen Impulsgleichungen, während die Grenzflächenbedingungen eine physikalisch konsistente Bewegung und Spannungsübertragung zwischen den Flüssigkeiten sicherstellen.

Was gelöst werden muss

Kontinuität in jeder Phase

Für inkompressible Phasen mit konstanter Dichte lautet die Kontinuitätsgleichung

[ \nabla \cdot \mathbf{v}^{(i)} = 0, \qquad i=1,2 ]

wobei (\mathbf{v}^{(i)}) das Geschwindigkeitsfeld der Phase (i) bezeichnet.

Für eine stationäre, voll entwickelte, unidirektionale Kanalströmung gilt

[ \mathbf{v}^{(i)} = \left(v_x^{(i)}(y),0,0\right) ]

und die Kontinuität ist automatisch erfüllt, da sich die axiale Geschwindigkeit nur in Querrichtung verändert.

Impulserhaltung

Die allgemeine Impulsgleichung für inkompressible Newtonsche Fluide lautet für jede Phase

[ \rho_i \frac{D\mathbf{v}^{(i)}}{Dt}

\rho_i\mathbf{g} -\nabla P^{(i)} +\mu_i\nabla^2\mathbf{v}^{(i)} ]

wobei (\rho_i), (\mu_i) und (P^{(i)}) die Dichte, die dynamische Viskosität und den Druck der Phase (i) bezeichnen.

Diese Gleichung umfasst transiente und konvektive Beschleunigung, Schwerkraft, Druckkräfte und viskose Impulsdiffusion.

Voll entwickelte axiale Strömung

Wenn die Strömung stationär und voll entwickelt ist und hauptsächlich durch einen axialen Druckgradienten angetrieben wird, lautet die axiale Impulsgleichung

[ 0

-\frac{dP^{(i)}}{dx} + \mu_i\frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2} ]

oder äquivalent

[ \frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2}

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

für jede Flüssigkeitsschicht.

Die daraus resultierende Geschwindigkeitsverteilung ist

[ v_x^{(i)}(y)

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx}\frac{y^2}{2} + a_i y+b_i ]

wobei (a_i) und (b_i) Integrationskonstanten sind, die durch die Rand- und Grenzflächenbedingungen bestimmt werden.

Randbedingungen an festen Wänden

Haftbedingung

An einer ruhenden festen Wand entspricht die tangentiale Fluidgeschwindigkeit der Wandgeschwindigkeit. Für die zweischichtige Geometrie der Referenzkonfiguration gilt

[ v_x^{(1)}(H_1)=0 ]

und

[ v_x^{(2)}(-H_2)=0 ]

wobei Phase 1 den Bereich zwischen der Grenzfläche und der oberen Wand einnimmt und Phase 2 den Bereich zwischen der unteren Wand und der Grenzfläche.

Diese Bedingungen liefern zwei der vier Gleichungen, die zur Bestimmung der Integrationskonstanten erforderlich sind.

Undurchlässigkeitsbedingung

An einer undurchlässigen ruhenden Wand ist die Normalgeschwindigkeit null:

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(i)}=0 ]

Diese Bedingung verhindert, dass eine der beiden Flüssigkeiten die Kanalwand durchquert. In der idealisierten unidirektionalen Lösung wird sie bereits durch das Fehlen einer wandnormalen Geschwindigkeitskomponente berücksichtigt.

Bewegte oder poröse Wände

Bewegt sich eine Wand, lautet die tangentiale Bedingung

[ \mathbf{v}t=\mathbf{V}{w,t} ]

statt null. Eine poröse oder reaktive Wand erfordert eine separate Bedingung für den Normalfluss, da Fluid oder Spezies die Grenze durchqueren können.

Bedingungen an der Flüssig-Flüssig-Grenzfläche

Kinematische Grenzflächenbedingung

An einer ruhenden Grenzfläche bei (y=0) muss die Normalgeschwindigkeit mit der Position der Grenzfläche vereinbar sein. Für eine undurchlässige, nicht reagierende Grenzfläche gilt

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(1)}

\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(2)} ]

Für die parallele, voll entwickelte Konfiguration sind beide Normalgeschwindigkeiten null.

Wenn sich die Grenzfläche bewegt oder verformt, muss ihre Geschwindigkeit stattdessen die entsprechende kinematische Bedingung erfüllen. Die Position der Grenzfläche wird dann Teil der unbekannten Lösung.

Kontinuität der Tangentialgeschwindigkeit

Für zwei gewöhnliche, nicht mischbare Newtonsche Flüssigkeiten ohne Grenzflächenschlupf gilt

[ v_x^{(1)}(0)=v_x^{(2)}(0) ]

Diese Bedingung stellt sicher, dass die Flüssigkeitsschichten an ihrer gemeinsamen Grenze dieselbe Tangentialgeschwindigkeit haben.

Sie liefert die dritte Beziehung, die zur Bestimmung der Integrationskonstanten erforderlich ist.

Kontinuität der Tangentialspannung

Wenn an der Grenzfläche keine durch Oberflächenspannungsgradienten erzeugte tangentiale Spannung vorhanden ist, sind die viskosen Schubspannungen stetig:

[ \mu_1\frac{dv_x^{(1)}}{dy}(0)

\mu_2\frac{dv_x^{(2)}}{dy}(0) ]

Dies ist bei unterschiedlichen Viskositäten entscheidend. Der Geschwindigkeitsgradient ändert sich im Allgemeinen über die Grenzfläche hinweg, sodass die Schubspannung im Gleichgewicht bleibt.

Damit steht die vierte Beziehung für die vier Integrationskonstanten in den beiden quadratischen Geschwindigkeitsprofilen zur Verfügung.

Normalspannung und Oberflächenspannung

Ein vollständiges Zweiphasenmodell erfordert außerdem eine Normalspannungsbedingung an der Grenzfläche. In allgemeiner Form gilt

[ \mathbf{n}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\gamma\kappa ]

mit einer geeigneten Vorzeichenkonvention, wobei (\boldsymbol{\tau}) der Gesam Spannungstensor, (\gamma) die Grenzflächenspannung und (\kappa) die Krümmung der Grenzfläche ist.

Für eine ebene, ruhende Grenzfläche mit konstanter Grenzflächenspannung ist die Krümmung null, und die Normalspannungsbedingung reduziert sich auf die Gleichheit der Normalspannungen. Diese Bedingung wird besonders wichtig, wenn sich die Grenzfläche verformt, der Kanal nicht eben ist oder Kapillarkräfte die Phasenverteilung bestimmen.

Marangoni-Effekte

Wenn die Grenzflächenspannung mit der Temperatur oder Zusammensetzung variiert, ist die Tangentialspannung nicht einfach stetig. Ihr Sprung wird durch den Gradient der Oberflächenspannung ausgeglichen:

[ \mathbf{t}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\nabla_s\gamma\cdot\mathbf{t} ]

wobei (\nabla_s) den Oberflächengradienten bezeichnet.

Für isotherme Flüssigkeiten mit einheitlicher Zusammensetzung an der Grenzfläche wird dieser Term normalerweise vernachlässigt.

Bedingungen an den Kanal Ein- und Auslässen

Vorgegebene Eintrittsströmung

Modelle von Pilotanlagen geben häufig Eintrittsgeschwindigkeitsprofile, Phasenvolumenströme oder gesamte Volumenströme vor. Ein voll entwickelter Eintritt kann vorgegeben werden als

[ v_x^{(i)}(y)=v_{\text{in}}^{(i)}(y) ]

oder über den Phasenvolumenstrom

[ Q_i=\int_{A_i}v_x^{(i)},dA ]

Die Eintrittsvorgabe muss mit der Phasenverteilung und der Position der Grenzfläche vereinbar sein.

Vorgegebener Druckgradient

Für einen langen, voll entwickelten Kanal kann der Druckgradient die maßgebliche Eingangsgröße sein:

[ \frac{dP^{(i)}}{dx} ]

In vielen gleichstromigen Kanalkonfigurationen ist der axiale Druckgradient für beide Phasen gleich, obwohl sich die resultierenden Geschwindigkeitsprofile aufgrund unterschiedlicher Viskositäten und Schichtdicken unterscheiden.

Auslassbedingung

An einem Auslass kann das Modell den Druck, eine Bedingung für voll entwickelte Strömung oder eine geeignete konvektive Ausströmbedingung vorgeben. Die Wahl hängt davon ab, ob die Pilotanlage als druckgetrieben, durch den Volumenstrom geregelt oder an nachgeschaltete Anlagen angeschlossen modelliert wird.

Die Auslassbedingung darf keine künstliche Einschränkung für eine sich entwickelnde Grenzfläche oder ein sich entwickelndes Geschwindigkeitsfeld auferlegen.

Warum der Viskositätskontrast wichtig ist

Unterschiedliche Krümmung der Profile

Die Krümmung jedes Geschwindigkeitsprofils ist proportional zu

[ \frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

Beim gleichen Druckgradienten entwickelt die weniger viskose Phase eine größere Geschwindigkeitskrümmung als die viskosere Phase.

Spannungsgleichgewicht bestimmt die Änderung des Gradienten

Obwohl die Tangentialgeschwindigkeit an der Grenzfläche stetig ist, müssen es die Geschwindigkeitsgradienten nicht sein. Die Spannungsbedingung erfordert

[ \mu_1\left.\frac{dv_x^{(1)}}{dy}\right|_{0}

\mu_2\left.\frac{dv_x^{(2)}}{dy}\right|_{0} ]

Somit verändert das Viskositätsverhältnis die Verteilung des Impulses zwischen den Schichten.

Folgen für verfahrenstechnische Grundoperationen

Das resultierende Geschwindigkeitsfeld beeinflusst die Verweilzeitverteilung, die Erneuerung der Grenzfläche, den Druckverlust, den Phasenanteil, die Stoffaustauschfläche und die Trennleistung.

Diese Effekte sind bei Flüssig-Flüssig-Extraktionsmodulen, Reaktoren mit Schichtenströmung, Membrankontaktgeräten und anderen kanalartigen Pilotanlagen von Bedeutung.

Verständnis der Zielkonflikte

Die Annahme voll entwickelter Strömung

Die quadratische Lösung ist nur gültig, nachdem Eintrittseffekte vernachlässigbar geworden sind. In der Nähe von Einlässen, Verteilern, Bögen, Verengungen und Phasentrennvorrichtungen können eine axiale Entwicklung und Sekundärströmungen die vollständigen mehrdimensionalen Gleichungen erfordern.

Die Annahme einer ebenen Grenzfläche

Eine feste Grenzfläche bei (y=0) schließt eine Verformung der Grenzfläche und eine kapillare Entwicklung aus. Dies kann unzureichend sein, wenn die Volumenströme hoch, die Kanalabmessungen klein, die Grenzflächenspannung gering sind oder die Phaseneigenschaften erhebliche Druckunterschiede verursachen.

Die Annahme laminarer Strömung

Die vereinfachte gewöhnliche Differentialgleichung beschreibt eine viskose, voll entwickelte Strömung und ist am unmittelbarsten auf laminare Bedingungen anwendbar. Wenn der Kanal in einen Übergangs- oder turbulenten Bereich eintritt, können zusätzliche Schließungsbeziehungen und eine Turbulenzmodellierung erforderlich sein.

Die Reynolds-Zahl sollte auf einer geeigneten hydraulischen Abmessung basieren, beispielsweise dem hydraulischen mittleren Durchmesser

[ d_m=\frac{4A}{p} ]

für die relevante Kanalgeometrie.

Die Annahme einer haftenden Grenzfläche

Die Geschwindigkeitskontinuität setzt einen vernachlässigbaren Grenzflächenschlupf voraus. In einigen spezialisierten Systemen können Tenside, Verunreinigungen, Grenzflächenrheologie oder Effekte im Mikromaßstab die Grenzflächenbedingung verändern und ein konstitutives Grenzflächenmodell erfordern.

Die Annahme konstanter Eigenschaften

Die Referenzgleichungen gehen von einer konstanten Viskosität und Dichte aus. Starke Temperatur- oder Konzentrationsgradienten können dazu führen, dass (\mu_i) und (\rho_i) variabel sind und den Impuls mit Energie- und Stoffbilanzen koppeln.

Die richtige Wahl für Ihr Ziel

Verwenden Sie bei der Darstellung einer Zweiphasen-Kanal-Pilotanlage die folgenden Grundsätze zur Modellauswahl:

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf einer voll entwickelten, druckgetriebenen Strömung liegt: Lösen Sie die phasenspezifischen reduzierten Impulsgleichungen mit Haftbedingungen an den Wänden sowie Kontinuität der Tangentialgeschwindigkeit und Tangentialspannung an der Grenzfläche.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Position der Grenzfläche oder dem Phasenanteil liegt: Ergänzen Sie die kinematische Grenzflächenbedingung und die Normalspannungsbilanz einschließlich Oberflächenspannung und Krümmung.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Verhalten im Eintritts-, Verteiler- oder Umlenkbereich liegt: Behalten Sie die vollständigen transienten oder stationären mehrdimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen bei und formulieren Sie physikalisch konsistente Einlass-, Auslass-, Wand- und Grenzflächenbedingungen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Stofftransport oder Reaktion liegt: Koppeln Sie die Strömungsgleichungen mit der Stoffspezieserhaltung und formulieren Sie Konzentrations- oder Flussbedingungen an Einlässen, Wänden und der Flüssig-Flüssig-Grenzfläche.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Scale-up und der Vorhersage des Druckverlusts liegt: Berücksichtigen Sie den geeigneten hydraulischen Durchmesser, den Reynolds-Zahlen-Bereich, die Wandrauheit, die Phasenvolumenströme und die Schwankungen der Stoffeigenschaften.

Ein zuverlässiges Zweiphasenmodell für eine Pilotanlage wird nicht nur durch seine Differentialgleichungen definiert, sondern auch durch Rand- und Grenzflächenbedingungen, die den tatsächlichen Betrieb der Anlage präzise abbilden.

Übersichtstabelle:

Modellelement	Maßgebliche Anforderung	Zweck
Kontinuität	`∇ · v⁽ⁱ⁾ = 0`	Stellt die inkompressible Massenerhaltung in jeder Phase sicher
Impuls	`ρᵢ Dv⁽ⁱ⁾/Dt = ρᵢg − ∇P⁽ⁱ⁾ + μᵢ∇²v⁽ⁱ⁾`	Beschreibt Druck-, Schwerkraft-, Trägheits- und viskose Effekte
Voll entwickelte Strömung	`0 = −dP⁽ⁱ⁾/dx + μᵢ d²vₓ⁽ⁱ⁾/dy²`	Erzeugt quadratische Geschwindigkeitsprofile in jeder Schicht
Feste Wände	Haft- und Undurchlässigkeitsbedingungen	Definiert die Fluidbewegung an ruhenden, bewegten oder porösen Wänden
Flüssig-Flüssig-Grenzfläche	Kompatibilität der Normalgeschwindigkeit und Kontinuität der Tangentialgeschwindigkeit	Erhält eine physikalisch konsistente Phasengrenze
Schubspannung	`μ₁ dvₓ⁽¹⁾/dy = μ₂ dvₓ⁽²⁾/dy`	Gleicht den Impulstransport über die Grenzfläche aus
Normalspannung	Spannungssprung ausgeglichen durch `γκ`	Berücksichtigt Krümmung und Oberflächenspannung bei einer Verformung der Grenzfläche
Marangoni-Effekte	Sprung der Tangentialspannung ausgeglichen durch `∇ₛγ`	Stellt Oberflächenspannungsgradienten infolge von Temperatur oder Zusammensetzung dar
Einlass und Auslass	Vorgegebener Volumenstrom, Geschwindigkeit, Druck oder eine Bedingung für voll entwickelte Strömung	Passt das Modell an den tatsächlichen Betrieb der Pilotanlage an
Erweiterte Modelle	Energie-, Stoff-, Turbulenz- und Gleichungen für variable Stoffeigenschaften	Unterstützt Stofftransport, Reaktion, Scale-up und nicht ideale Betriebsbedingungen

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