Die Prandtl-, Schmidt- und Lewis-Zahlen zeigen, welcher Transportmechanismus eine Pilotanlage bestimmt. Die Prandtl-Zahl vergleicht die Impulsdiffusivität mit der Temperaturdiffusivität, die Schmidt-Zahl vergleicht die Impulsdiffusivität mit der Stoffdiffusivität, und die Lewis-Zahl vergleicht die Temperaturdiffusivität direkt mit der Stoffdiffusivität. Zusammen helfen sie Ingenieuren, das Verhalten von Grenzschichten vorherzusagen, Wärme- und Stoffübergangskoeffizienten zu korrelieren und zu beurteilen, ob Ergebnisse aus dem Pilotmaßstab zuverlässig auf größere Anlagen übertragen werden können.
Beim gleichzeitigen Wärme- und Stoffübergang wandeln diese Zahlen Fluideigenschaften in einen direkten Vergleich der Transportgeschwindigkeiten um. Ihre Bedeutung ist praktisch: Sie zeigen, ob Impuls-, Wärme- oder Stoffdiffusion schneller fortschreitet, und bestimmen, welche Analogien zwischen Wärme- und Stoffübergang sinnvoll sind.
Warum diese Zahlen in Pilotanlagen wichtig sind
Sie vereinheitlichen verschiedene Transportprozesse
Temperaturdiffusivität, binäre Stoffdiffusivität und kinematische Viskosität haben alle die Einheit (m^2/s):
[ \alpha = \frac{k}{\rho C_p}, \qquad D_{AB}, \qquad \nu = \frac{\mu}{\rho} ]
Da diese Größen die Geschwindigkeiten beschreiben, mit denen sich Wärme, Stoffe und Impuls in einem Fluid ausbreiten, bieten ihre Verhältnisse einen gemeinsamen Rahmen für den Vergleich gekoppelter Transportphänomene.
Sie zeigen die relative Dicke von Grenzschichten
Wärme, Stoffe und Impuls diffundieren in der Nähe einer Oberfläche oder Grenzfläche nicht notwendigerweise mit derselben Geschwindigkeit. Die dimensionslosen Zahlen zeigen, ob die thermischen und Konzentrationsgrenzschichten voraussichtlich dicker oder dünner als die hydrodynamische Grenzschicht sind.
Dies ist in Trocknungstürmen, Absorptionskolonnen, Destillationsanlagen, Membraneinheiten und Wärmeübertragungsreaktoren von Bedeutung, da die Gesamtprozessrate von den Wechselwirkungen aller drei Schichten abhängt.
Sie unterstützen Scale-up und Leistungsvergleiche
Pilotanlagen erzeugen experimentelle Wärme- und Stoffübergangsdaten unter kontrollierten Bedingungen. Dimensionslose Gruppen ermöglichen den Vergleich dieser Ergebnisse mit Korrelationen und mit Anlagen, die bei unterschiedlichen Größen, Durchflussraten und Fluideigenschaften betrieben werden.
Die Zahlen ersetzen nicht die Reynolds-, Nusselt- oder Sherwood-Zahlen. Stattdessen liefern sie die Beziehungen zwischen Fluideigenschaften, die dazu beitragen, dass diese Übertragungskorrelationen physikalisch sinnvoll bleiben.
Was die Prandtl-Zahl aussagt
Definition und physikalische Bedeutung
Die Prandtl-Zahl ist:
[ Pr = \frac{\nu}{\alpha} ]
Sie vergleicht die Geschwindigkeit der Impulsdiffusion mit der Geschwindigkeit der Temperaturdiffusion.
Eine hohe Prandtl-Zahl bedeutet, dass Impuls leichter diffundiert als Wärme. Eine niedrige Prandtl-Zahl bedeutet, dass sich Wärme im Vergleich zum Impuls relativ schnell ausbreitet.
Einfluss auf thermische Grenzschichten
Die Prandtl-Zahl beeinflusst die relative Entwicklung der Geschwindigkeits- und Temperaturprofile in Wandnähe. Dies wirkt sich auf die Nusselt-Zahl und damit auf den konvektiven Wärmeübergangskoeffizienten aus.
In Wärmeübertragern und beheizten oder gekühlten Reaktoren im Pilotmaßstab hilft (Pr) Ingenieuren, den Einfluss der Fluideigenschaften auf die thermische Leistung bei einem bestimmten Strömungsregime zu interpretieren.
Typisches Verhalten von Fluiden
Gase weisen üblicherweise Prandtl-Zahlen nahe eins auf, was auf weitgehend ähnliche Impuls- und Temperaturdiffusionsraten hindeutet. Wasser und viele gewöhnliche Lösungsmittel haben häufig Werte von etwa 1 bis 10, während viskose Öle und Polymerschmelzen deutlich höhere Werte erreichen können.
Diese Bereiche erklären, warum eine für ein Gas oder eine Flüssigkeit mit niedriger Viskosität entwickelte Korrelation möglicherweise nicht direkt auf ein hochviskoses Prozessfluid anwendbar ist.
Was die Schmidt-Zahl aussagt
Definition und physikalische Bedeutung
Die Schmidt-Zahl ist:
[ Sc = \frac{\nu}{D_{AB}} ]
Sie vergleicht die Impulsdiffusivität mit der molekularen Stoffdiffusivität.
Eine hohe Schmidt-Zahl bedeutet, dass die Stoffdiffusion im Verhältnis zur Impulsdiffusion langsam ist. Dies führt im Allgemeinen zu einer Konzentrationsgrenzschicht, die dünner als die Geschwindigkeitsgrenzschicht ist.
Einfluss auf das Stoffübergangsverhalten
Die Schmidt-Zahl ist ein wichtiges Eigenschaftsverhältnis in Stoffübergangskorrelationen und tritt häufig zusammen mit Reynolds- und Sherwood-Zahlen auf. Sie hilft zu bestimmen, wie die Fluidviskosität und die molekulare Diffusivität den Stoffübergangskoeffizienten beeinflussen.
In Pilotanlagen für Absorption, Extraktion, Trocknung und Destillation hilft (Sc) zu unterscheiden, ob der Prozess durch die Fluidbewegung in der Nähe der Grenzfläche oder durch die molekulare Diffusion durch die Konzentrationsgrenzschicht begrenzt wird.
Beziehung zu Fluideigenschaften
Ein Fluid mit hoher Viskosität oder ein System mit niedriger binärer Diffusivität kann eine große Schmidt-Zahl aufweisen. Solche Systeme erfordern möglicherweise eine intensivere Durchmischung, höhere Turbulenz oder eine veränderte Anlagengeometrie, um die gewünschte Stoffübergangsrate zu erreichen.
Was die Lewis-Zahl aussagt
Definition und physikalische Bedeutung
Unter Verwendung der Konvention aus der Hauptreferenz lautet die Lewis-Zahl:
[ Le = \frac{\alpha}{D_{AB}} = \frac{Sc}{Pr} ]
Sie vergleicht die Temperaturdiffusivität direkt mit der Stoffdiffusivität.
Eine Lewis-Zahl nahe eins bedeutet, dass Wärme und Stoffe mit ähnlichen Geschwindigkeiten diffundieren. Eine große Lewis-Zahl bedeutet, dass Wärme schneller als Stoffe diffundiert, während bei einer kleinen Lewis-Zahl die Stoffdiffusion relativ schneller ist.
Einige Quellen definieren das inverse Verhältnis, (D_{AB}/\alpha). Daher muss die verwendete Konvention beim Vergleich von Veröffentlichungen oder Versuchsberichten stets angegeben werden.
Bedeutung beim gleichzeitigen Wärme- und Stoffübergang
Die Lewis-Zahl ist besonders wichtig, wenn Verdampfung, Kondensation, Befeuchtung, Trocknung oder Absorption sowohl die Temperatur als auch die Zusammensetzung verändern. Sie zeigt, ob sich Energie- und Konzentrationsfelder räumlich voraussichtlich ähnlich entwickeln.
Wenn (Le \approx 1), können die Wärme- und Stoffübergangsgleichungen unter Annahmen wie konstanten Eigenschaften und vernachlässigbaren Soret- und Dufour-Effekten strukturell ähnlich werden. Dies unterstützt Analogien zwischen Wärme- und Stoffübergang, die die Modellierung und Auswertung experimenteller Daten vereinfachen.
Zusammenhang mit Nusselt- und Sherwood-Korrelationen
Der Wärmeübergang wird üblicherweise durch die Nusselt-Zahl dargestellt, während der Stoffübergang durch die Sherwood-Zahl beschrieben wird:
[ Nu = \frac{hL}{k}, \qquad Sh = \frac{k_cL}{D_{AB}} ]
Die Lewis-Zahl hilft zu bestimmen, ob eine thermische Korrelation angepasst werden kann, um die Stoffübergangsleistung abzuschätzen. Die Analogie ist am zuverlässigsten, wenn die maßgeblichen Gleichungen, Randbedingungen, das Strömungsregime und die Fluideigenschaften hinreichend ähnlich sind.
Wie die drei Zahlen zusammenwirken
Vergleich von Impuls-, Wärme- und Stofftransport
Die drei Verhältnisse stehen in einem zusammenhängenden Zusammenhang:
[ Pr = \frac{\nu}{\alpha}, \qquad Sc = \frac{\nu}{D_{AB}}, \qquad Le = \frac{\alpha}{D_{AB}} = \frac{Sc}{Pr} ]
Prandtl- und Schmidt-Zahlen vergleichen jeweils einen Diffusionsprozess mit dem Impulstransport. Die Lewis-Zahl vergleicht die beiden skalaren Transportprozesse direkt miteinander.
Ermittlung des bestimmenden Transportwiderstands
Wenn die Temperaturdiffusion wesentlich langsamer als die Stoffdiffusion ist, kann das Temperaturfeld den gekoppelten Prozess bestimmen. Wenn die Stoffdiffusion wesentlich langsamer ist, können Konzentrationspolarisation oder eine Konzentrationsgrenzschicht dominieren.
Diese Diagnose hilft Ingenieuren zu entscheiden, ob sie bei der Auslegung und Optimierung einer Pilotanlage den Schwerpunkt auf Wärmeübertragungsfläche, Stoffübergangsfläche, Mischintensität, Verweilzeit oder Betriebstemperatur legen sollten.
Unterstützung weiterer dimensionsloser Gruppen
Die Eigenschaftsverhältnisse werden zusammen mit Strömungs- und Übertragungsgruppen verwendet. Die Reynolds-Zahl identifiziert das Strömungsregime, während Nusselt- und Sherwood-Zahlen den konvektiven Wärme- und Stoffübergang quantifizieren.
Peclet-Zahlen kombinieren Konvektion und Diffusion, wobei die thermische Form häufig über (Pe = Re,Pr) mit Reynolds- und Prandtl-Zahlen in Beziehung steht. Zusammen bieten diese Gruppen eine vollständigere Beschreibung des Verhaltens einer Pilotanlage.
Die Zielkonflikte verstehen
Ähnliche dimensionslose Zahlen garantieren kein identisches Verhalten
Eine Lewis-Zahl nahe eins macht Wärme- und Stoffübergang nicht automatisch austauschbar. Die Analogie kann versagen, wenn sich die Eigenschaften stark mit der Temperatur oder Zusammensetzung ändern, wenn der Phasenwechsel erheblich ist oder wenn die Bedingungen an der Grenzfläche unterschiedlich sind.
Ingenieure müssen außerdem die tatsächliche Geometrie, das Strömungsregime, die Randbedingungen und die Kopplung zwischen Energie- und Stoffgleichungen berücksichtigen.
Molekularer und turbulenter Transport sind unterschiedlich
Die oben genannten Definitionen verwenden molekulare Diffusivitäten. In turbulenten Strömungen einer Pilotanlage trägt auch der turbulente Transport zum Impuls-, Wärme- und Stoffübergang bei.
Eine turbulente Prandtl-Zahl vergleicht beispielsweise die turbulente Impulsdiffusivität mit der turbulenten Temperaturdiffusivität. Ihre näherungsweise konstante Behandlung kann die Modellierung vereinfachen, doch ihre Anwendbarkeit hängt von der Strömung und dem Eigenschaftsbereich ab.
Korrelationen haben Gültigkeitsgrenzen
Eine Korrelation mit (Re), (Pr), (Sc), (Nu) oder (Sh) ist nur innerhalb des Bereichs von Bedingungen gültig, für den sie entwickelt wurde. Die unkritische Anwendung einer Korrelation außerhalb ihres Reynolds-Zahl-Bereichs, Eigenschaftsbereichs oder ihrer geometrischen Konfiguration kann zu irreführenden Scale-up-Ergebnissen führen.
Pilotdaten sollten daher auf ihre Übereinstimmung mit der vorgesehenen Korrelation und auf Änderungen der physikalischen Eigenschaften unter den Betriebsbedingungen geprüft werden.
Die Bestimmung von Eigenschaften kann die Unsicherheit dominieren
Viskosität, Wärmeleitfähigkeit, Wärmekapazität und binäre Diffusivität können sich mit Temperatur, Druck, Konzentration und Phase erheblich verändern. Da (Pr), (Sc) und (Le) aus diesen Eigenschaften berechnet werden, können ungenaue Eigenschaftsdaten die Interpretation experimenteller Ergebnisse verfälschen.
Bei Mehrkomponentengemischen kann die einfache binäre Diffusivität (D_{AB}) außerdem ein geeigneteres effektives oder multikomponentiges Transportmodell erfordern.
Die richtige Wahl für Ihr Ziel
Am sinnvollsten ist es, diese Verhältnisse unter den tatsächlichen lokalen oder repräsentativen Bedingungen der Pilotanlage zu berechnen und anschließend zusammen mit Reynolds-, Nusselt- und Sherwood-Korrelationen zu verwenden.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der thermischen Auslegung liegt: Verwenden Sie (Pr) mit Reynolds- und Nusselt-Korrelationen, um Temperaturgrenzschichten und konvektive Wärmeübergangskoeffizienten zu bewerten.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Stoffübergang liegt: Verwenden Sie (Sc) mit Reynolds- und Sherwood-Korrelationen, um Konzentrationsgrenzschichten und Stoffübergangskoeffizienten zu beurteilen.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem gleichzeitigen Wärme- und Stoffübergang liegt: Verwenden Sie (Le = \alpha/D_{AB}), um zu beurteilen, ob thermische und Konzentrationsfelder analog behandelt werden können.
- Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Scale-up liegt: Vergleichen Sie die relevanten dimensionslosen Gruppen zwischen Pilot- und Zielanlage und bewahren Sie dabei Geometrie, Strömungsregime, Eigenschaftsbereiche und Randbedingungen so weit wie praktisch möglich.
Das Verständnis dieser drei Zahlen verwandelt Messungen aus Pilotanlagen in Transportbeziehungen, die mit größerer Sicherheit interpretiert, korreliert und auf größere Maßstäbe übertragen werden können.
Zusammenfassungstabelle:
| Dimensionslose Zahl | Definition | Hauptvergleich | Anwendung in der Pilotanlage |
|---|---|---|---|
| Prandtl (Pr) | [4m(\nu/\alpha)\[0m | Impuls- und Temperaturdiffusion | Bewertet thermische Grenzschichten und Wärmeübertragungsleistung |
| Schmidt (Sc) | (\nu/D_{AB}) | Impuls- und Stoffdiffusion | Unterstützt die Stoffübergangsanalyse bei Absorption, Extraktion, Trocknung und Destillation |
| Lewis (Le) | (\alpha/D_{AB} = Sc/Pr) | Temperatur- und Stoffdiffusion | Bewertet Analogien zwischen Wärme- und Stoffübergang in gekoppelten Prozessen |
| Reynolds (Re) | Strömungsabhängiges Verhältnis | Trägheits- und viskose Kräfte | Identifiziert das Strömungsregime für Übertragungskorrelationen |
| Nusselt (Nu) und Sherwood (Sh) | Übertragungskoeffizienten | Konvektiver Wärme- und Stoffübergang | Quantifiziert die Wärme- und Stoffübergangsleistung |
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