Unabhängige Stoffbilanzgleichungen werden aufgestellt, indem für jede verschiedene, unabhängig erfasste Spezies oder Komponente eine Erhaltungsgleichung formuliert wird. Für eine Dreikomponentenoperation zur Zelltrennung oder Gasmischung ergeben sich somit drei unabhängige Komponentenbilanzen, beispielsweise Bilanzen für Zellen, gelöstes Medium und einen weiteren gelösten Stoff oder für drei Gasspezies. Zusätzlich kann eine Gesamtmassen- oder Gesamtmolenbilanz aufgestellt werden; sie ist jedoch lediglich die Summe dieser Komponentenbilanzen und liefert daher keine weitere unabhängige Gleichung.

Die Anzahl unabhängiger Stoffbilanzen wird durch die Anzahl verschiedener erhaltener Komponenten bestimmt, nicht durch die Anzahl der Ströme oder durch die Möglichkeit, zusätzliche Summenbilanzen aufzustellen. Diese Bilanzen müssen mit Prozessspezifikationen und Strombedingungen kombiniert werden, bis die Anzahl der unabhängigen Gleichungen der Anzahl der Unbekannten entspricht.

Mit klar definierten Systemgrenzen beginnen

Die Grundoperation definieren

Zeichnen Sie eine Grenze um die konkrete Anlage oder den Prozessabschnitt, der analysiert werden soll.

Bei einem Pilotanlagensystem zur Zelltrennung kann die Grenze eine Zentrifuge, einen Membranabscheider oder eine Filtrationseinheit umfassen. Bei einem Gasmischsystem kann sie den Mischverteiler umfassen und jeden Zulauf sowie den kombinierten Ablauf einschließen.

Nur Ströme, die diese Grenze überschreiten, erscheinen in den Bilanzgleichungen.

Gesamt- und lokale Bilanzen trennen

Eine Gesamtbilanz um eine gesamte Pilotanlage umfasst externe Einsatz- und Produktströme, schließt jedoch interne Ströme aus, die einzelne Einheiten miteinander verbinden.

Eine lokale Bilanz um einen Abscheider, Mischer, Verbindungspunkt oder Aufteilungspunkt umfasst nur die in dieses Teilsystem eintretenden und aus ihm austretenden Ströme. Lokale Bilanzen sind häufig erforderlich, um interne Strommengen und Zusammensetzungen zu bestimmen.

Eine Berechnungsbasis wählen

Die Basis kann ein festgelegtes Zeitintervall, beispielsweise eine Stunde kontinuierlichen Betriebs, oder eine festgelegte Einsatzmenge sein.

Für den stationären Betrieb ist die Akkumulation null, sodass jede Komponentenbilanz die allgemeine Form hat:

[ \text{Komponentenzufuhr}=\text{Komponentenaustrag} ]

Für den instationären Betrieb muss die Akkumulation berücksichtigt werden:

[ \text{Zufuhr}-\text{Austrag}=\text{Akkumulation} ]

Für jede unabhängige Komponente eine Bilanz aufstellen

Die erhaltenen Komponenten identifizieren

Listen Sie die Spezies oder Materialkategorien auf, deren Mengen unabhängig voneinander verfolgt werden müssen.

Beispiele sind:

Zellen, Medium und gelöster Stoff in einem Zelltrennungsprozess
Sauerstoff, Stickstoff und Kohlendioxid in einem Gasmischprozess
Lösungsmittel und gelöster Stoff in einer Verdünnungs- oder Konzentrationsoperation

Die Kategorien müssen so verschieden sein, dass die Menge einer Kategorie nicht allein aus den Mengen der anderen berechnet werden kann.

Komponentenstrommengen als Variablen verwenden

Für Strom (s) und Komponente (i) wird eine Komponentenstrommenge definiert, beispielsweise:

[ F_{i,s} ]

Die Bilanz für Komponente (i) über eine stationäre Einheit lautet:

[ \sum_{\text{Zuläufe}} F_{i,s}

\sum_{\text{Abläufe}} F_{i,s} ]

Die Formulierung der Bilanzen mit Komponentenstrommengen hält die Gleichungen linear, wenn die Prozessbeziehungen linear sind.

Beispiel: Dreikomponentenabscheider

Angenommen, ein Abscheider erhält den Einsatzstrom (F) und erzeugt die Ströme (P) und (W), die die Komponenten (A), (B) und (C) enthalten.

Die unabhängigen Bilanzen lauten:

[ F_A=P_A+W_A ]

[ F_B=P_B+W_B ]

[ F_C=P_C+W_C ]

Diese Gleichungen erzwingen unabhängig voneinander die Erhaltung aller drei Komponenten.

Zusätzlich kann eine Gesamtbilanz aufgestellt werden:

[ F_A+F_B+F_C

P_A+P_B+P_C+W_A+W_B+W_C ]

Diese Gesamtgleichung ergibt sich jedoch durch Addition der drei Komponentengleichungen. Sie ist mathematisch abhängig und kann nicht als vierte unabhängige Bilanz gezählt werden.

Spezifikationen und Strombedingungen hinzufügen

Bekannte Trenn- oder Mischbeziehungen verwenden

Komponentenbilanzen allein bestimmen möglicherweise nicht jede unbekannte Stromvariable.

Zusätzliche unabhängige Beziehungen können umfassen:

Eine festgelegte Zellrückgewinnung im Produktstrom
Ein bekannter Aufteilungsanteil für eine Gaskomponente
Eine angestrebte Austrittskonzentration
Ein vorgegebenes Verhältnis zwischen zwei Zulaufmengen
Eine bekannte Reinheit oder Abscheideleistung
Eine gemessene Gesamtstrommenge

Beispielsweise kann ein Zellabscheider mit einer Rückgewinnung (R) folgende Beziehung verwenden:

[ P_{\text{cells}}=R F_{\text{cells}} ]

Ein Gasmischer mit einem festgelegten Austritts-Molenbruch kann folgende Beziehung verwenden:

[ y_{\mathrm{CO_2},out}=y_{\mathrm{CO_2},target} ]

Dies sind Prozessspezifikationen und keine zusätzlichen Erhaltungsgesetze.

Summenbedingungen für Anteile einhalten

Wenn ein Strom mit Massen- oder Molenbrüchen beschrieben wird, müssen sich die Anteile zu eins summieren:

[ \sum_i w_{i,s}=1 ]

oder

[ \sum_i y_{i,s}=1 ]

Für einen Dreikomponentenstrom gilt:

[ w_A+w_B+w_C=1 ]

Diese Bedingung ist erforderlich, wenn die Zusammensetzungsvariablen unbekannt sind. Sie ist eine physikalische Normierungsbedingung und keine vierte Komponentenbilanz.

Unabhängige von redundanten Beziehungen unterscheiden

Eine Beziehung liefert nur dann nützliche Informationen, wenn sie nicht aus den bereits enthaltenen Gleichungen abgeleitet werden kann.

Beispielsweise ist die Gesamtbilanz redundant, wenn alle Komponentenbilanzen vorhanden sind. Ebenso kann die Angabe von zwei von drei Molenbrüchen den dritten bereits über die Summenbedingung der Anteile bestimmen.

Das Ziel besteht nicht darin, die Anzahl der aufgestellten Gleichungen zu maximieren. Entscheidend ist, die richtige Anzahl unabhängiger Gleichungen zu erhalten.

Unabhängigkeit und Freiheitsgrade überprüfen

Die Koeffizientenmatrix bilden

Wenn die Gleichungen linear sind, schreiben Sie sie in Matrixform:

[ A\mathbf{x}=\mathbf{b} ]

Hier enthält (\mathbf{x}) die unbekannten Komponentenstrommengen, Gesamtstrommengen oder Zusammensetzungsvariablen.

Der Rang von (A) gibt die Anzahl der durch das System dargestellten unabhängigen Gleichungen an. Wenn eine Zeile eine Linearkombination anderer Zeilen ist, erhöht sie den Rang nicht.

Eine Freiheitsgradanalyse durchführen

Berechnen Sie:

[ \text{Freiheitsgrade}

\text{Anzahl der Unbekannten}

\text{Anzahl der unabhängigen Gleichungen} ]

Ein vollständig spezifiziertes Modell hat im Allgemeinen null Freiheitsgrade.

Positive Freiheitsgrade bedeuten, dass zusätzliche Messungen oder Spezifikationen erforderlich sind.
Null Freiheitsgrade zeigen ein exakt spezifiziertes Modell an.
Negative Freiheitsgrade weisen darauf hin, dass redundante oder widersprüchliche Informationen vorliegen können.

Das Modell vor dem Lösen überprüfen

Ein Löser kann auch dann ein numerisches Ergebnis liefern, wenn das Modell schlecht formuliert ist, insbesondere wenn Daten gerundet sind oder Gleichungen nahezu abhängig sind.

Überprüfen Sie den Matrixrang, die Residuen und die physikalische Plausibilität der Lösung. Strommengen und Konzentrationen sollten nicht negativ sein, es sei denn, die Variablendefinition erlaubt ausdrücklich vorzeichenbehaftete Größen.

Die Methode auf typische Pilotsysteme anwenden

Zelltrennungssysteme

Behandeln Sie die Zellpopulation als separat erhaltene Komponente, wenn innerhalb des Abscheiders weder Zellen erzeugt noch zerstört werden.

Für einen Abscheider mit Einsatz-, konzentriertem Zell- und geklärtem Flüssigkeitsstrom kann eine Zellbilanz wie folgt aufgestellt werden:

[ F_{\text{cells}}

P_{\text{cells}}+W_{\text{cells}} ]

Zusätzliche Bilanzen können gelöste Stoffe, suspendierte Feststoffe oder Lösungsmittel erfassen, abhängig vom vorgesehenen Modell.

Wenn der Prozess Zellwachstum, Zelltod, Lyse oder eine chemische Reaktion verursacht, müssen die entsprechenden Quellen- oder Senkenterme berücksichtigt werden. Eine einfache Abscheiderbilanz ist nur dann gültig, wenn diese Effekte vernachlässigbar sind oder bewusst ausgeschlossen werden.

Gasmischsysteme

Für die Mischung nichtreaktiver Gase wird für jede Gasspezies eine Molenbilanz aufgestellt.

Für Spezies (i) gilt:

[ \sum_k F_{i,k}=F_{i,out} ]

Wenn Zulauf (k) die Gesamtmolenstrommenge (F_k) und den Molenbruch (y_{i,k}) besitzt, gilt:

[ F_{i,k}=F_k y_{i,k} ]

Die Austrittszusammensetzung ergibt sich aus:

[ y_{i,out}

\frac{\sum_k F_k y_{i,k}}{\sum_k F_k} ]

Die Austrittsmolenbrüche müssen außerdem folgende Bedingung erfüllen:

[ \sum_i y_{i,out}=1 ]

Diese abschließende Beziehung ist eine Konsistenzbedingung und abhängig von der vollständigen Menge der Komponentenbilanzen sowie der Definition der Gesamtstrommenge am Austritt.

Mehrere verbundene Einheiten

Bei einem System mit Mischern, Abscheidern, Reaktoren und Stromteilern werden Bilanzen auf der für die jeweilige Fragestellung erforderlichen Ebene aufgestellt.

Verwenden Sie eine Gesamtgrenze zur Überprüfung der globalen Erhaltung und einzelne Anlagengrenzen zur Bestimmung interner Stromvariablen. Interne Ströme heben sich in der Gesamtbilanz auf, bleiben aber für lokale Bilanzen wesentlich.

Die Zielkonflikte verstehen

Gesamtbilanzen sind nützlich, aber nicht unabhängig

Eine Gesamtbilanz ist weiterhin wertvoll, um Berechnungen zu überprüfen und Messinkonsistenzen zu erkennen.

Sie kann jedoch nicht zusätzlich zu allen entsprechenden Komponentenbilanzen als unabhängig gezählt werden. Wenn nur einige Komponentenbilanzen verwendet werden, kann eine Gesamtbilanz unabhängige Informationen liefern; ihre Unabhängigkeit muss jedoch gegenüber den bereits vorhandenen Gleichungen geprüft werden.

Zusammensetzungsvariablen können nichtlineare Gleichungen erzeugen

Die gleichzeitige Verwendung von Gesamtstrommenge und Zusammensetzung kann Produkte unbekannter Größen erzeugen:

[ F_s y_{i,s} ]

Wenn sowohl (F_s) als auch (y_{i,s}) unbekannt sind, ist die Gleichung nichtlinear.

Die Verwendung von Komponentenstrommengen (F_{i,s}) als primäre Unbekannte führt häufig zu einem einfacheren linearen Modell. Gesamtstrommenge und Zusammensetzung können anschließend, sofern angebracht, berechnet werden.

Messungen können inkonsistent sein

Sensoren in Pilotanlagen erfüllen aufgrund von Kalibrierfehlern, Rauschen, unterschiedlichen Probenahmen oder nicht erfassten Verlusten selten jede Erhaltungsgleichung exakt.

Wenn Messdaten das Modell überbestimmen, können Ingenieure Datenabgleichs- oder Kleinste-Quadrate-Verfahren verwenden. Die Erhaltungsgleichungen bleiben die physikalische Grundlage, während die Messunsicherheit bestimmt, wie Abweichungen behandelt werden.

Reaktive Systeme erfordern zusätzliche Terme

Für eine reaktive Einheit lautet eine Speziesbilanz nicht einfach Zufuhr gleich Austrag.

Die allgemeine stationäre Bilanz lautet:

[ \text{Zufuhr}-\text{Austrag} + \text{Erzeugung durch Reaktion}

\text{Verbrauch durch Reaktion} =0 ]

Unabhängige Reaktionsfortschritte oder Reaktionsgeschwindigkeiten können eingeführt werden, um diese Quellen- und Senkenterme darzustellen. Dies unterscheidet sich von einem nichtreaktiven Abscheider oder Mischer, in dem Spezies lediglich umverteilt werden.

So wenden Sie dies auf Ihr Projekt an

Die korrekte Gleichungsmenge hängt von den ausgewählten Variablen und den verfügbaren Spezifikationen ab.

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Zelltrennung liegt: Stellen Sie unabhängige Bilanzen für Zellen und jede weitere zu erfassende Materialkategorie auf und fügen Sie anschließend Spezifikationen für Rückgewinnung, Reinheit, Aufteilung oder Konzentration hinzu.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Gasmischung liegt: Stellen Sie für jede Gasspezies eine Molenbilanz auf, verwenden Sie bekannte Zulaufmengen und Zusammensetzungen und berücksichtigen Sie die Summe der Austrittsmolenbrüche.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf einer Pilotanlage mit mehreren Einheiten liegt: Definieren Sie sowohl Gesamt- als auch lokale Grenzen, bilanzieren Sie jedes erforderliche Teilsystem und schließen Sie interne Ströme nur aus der Gesamtbilanz aus.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der numerischen Lösung liegt: Verwenden Sie nach Möglichkeit Komponentenstrommengen, bewerten Sie den Matrixrang und stellen Sie sicher, dass die Freiheitsgrade null betragen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf gemessenen Pilotanlagendaten liegt: Verwenden Sie die unabhängigen Bilanzen als Erhaltungsbedingungen und gleichen Sie inkonsistente Messungen ab, anstatt redundante Gleichungen hinzuzufügen.

Unabhängige Stoffbilanzen werden aufgestellt, indem jede unabhängig erhaltene Komponente mit einer vollständigen Menge nichtredundanter physikalischer und prozessbezogener Bedingungen verknüpft wird.

Übersichtstabelle:

Wichtiger Aspekt	Praktische Empfehlung
Unabhängige Bilanzen	Stellen Sie für jede unabhängig erfasste Komponente oder Spezies eine Erhaltungsgleichung auf.
Zelltrennungssysteme	Erfassen Sie Zellen, gelöstes Medium, gelöste Stoffe oder andere relevante Materialkategorien.
Gasmischsysteme	Stellen Sie für jede Gasspezies eine Molenbilanz mithilfe der Zulaufströme und Molenbrüche auf.
Gesamtbilanz	Verwenden Sie sie als nützliche Prüfung, zählen Sie sie jedoch nicht als unabhängig, wenn alle Komponentenbilanzen enthalten sind.
Zusätzliche Gleichungen	Fügen Sie je nach Bedarf Bedingungen für Rückgewinnung, Reinheit, Aufteilung, Konzentration, Strommenge und Anteilssumme hinzu.
Modellvalidierung	Überprüfen Sie Matrixrang, Freiheitsgrade, Residuen und physikalische Plausibilität.
Reaktive Systeme	Berücksichtigen Sie Erzeugungs- und Verbrauchsterme für Reaktionen, Wachstum, Absterben oder Lyse.

Müssen Sie ein Stoffbilanzmodell im Pilotmaßstab entwickeln, lehren oder validieren? Kontaktieren Sie LABPARK für fachkundige Beratung sowie für Pilotanlagen zu Bildungs- und beruflichen Grundoperationen in den Bereichen Chemieingenieurwesen, Bioprozess- und Biotechnologie sowie Umwelt- und Wasseraufbereitung. Unsere Systeme unterstützen Universitäten, Forschungsinstitute und Unternehmen bei der praktischen Demonstration von Komponentenbilanzen, Trennleistung, Gasmischung, Prozesssteuerung und Datenabgleich mit praxisnaher, industrierelevanter Ausrüstung. Teilen Sie uns Ihren Zielprozess, die Komponenten, Strommengen sowie Ihre Lehr- oder Forschungsziele mit, und LABPARK unterstützt Sie bei der Auswahl einer geeigneten Konfiguration und der Entwicklung einer zuverlässigen Pilotlösung für Schulungszwecke.