Die Gesamtspannung eines Fluids wird in eine isotrope Druckspannung und eine deviatorische viskose Spannung aufgeteilt. In der üblichen Vorzeichenkonvention der Kontinuumsmechanik wird der Cauchy-Spannungstensor als (\boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}) geschrieben, wobei (p) der statische oder thermodynamische Druck und (\boldsymbol{\tau}) der viskose Spannungstensor ist. Diese Zerlegung ermöglicht es Pilotanlagenmodellen, Druckgradientenkräfte, die das Fluid transportieren und beschleunigen, von viskosen Spannungen zu unterscheiden, die den durch Verformung verursachten Impulstransport darstellen.

Die zentrale Idee ist, dass der Druck in alle Richtungen gleich wirkt, während die viskose Spannung von Geschwindigkeitsgradienten abhängt. Ihre kombinierte Divergenz tritt in der Impulsbilanz auf und bestimmt Druckabfall, Wandreibung, Mischmoment und Strömungsverteilung.

Was die Spannungzerlegung bedeutet

Die Gesamtspannung umfasst Druck- und viskose Effekte

Die auf ein Fluidelement wirkende Gesamtspannung wird durch den Cauchy-Spannungstensor dargestellt:

[ \boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

Hier ist (\mathbf{I}) der Einheitstensor, (-p\mathbf{I}) der isotrope Druckanteil und (\boldsymbol{\tau}) der viskose oder deviatorische Anteil.

Das negative Vorzeichen folgt der üblichen Konvention, dass positiver Druck kompressiv ist, während eine positive Normalspannung eine Zugspannung darstellt.

Druck ist der isotrope Anteil

Der Druck erzeugt in den Richtungen (x), (y) und (z) dieselbe Normalspannung:

[ \sigma_{xx}^{(p)}=\sigma_{yy}^{(p)}=\sigma_{zz}^{(p)}=-p ]

Er erzeugt keine Scherspannung, da ein isotropes Druckfeld keine bevorzugte Richtung besitzt.

Für einen allgemeinen Spannungstensor steht der thermodynamische Druck mit der mittleren Normalspannung in folgendem Zusammenhang:

[ p=-\frac{1}{3} \left( \sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz} \right) ]

Die viskose Spannung ist dann der verbleibende deviatorische Anteil:

[ \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\sigma}+p\mathbf{I} ]

Folglich hat der viskose Spannungstensor eine Spur von null:

[ \tau_{xx}+\tau_{yy}+\tau_{zz}=0 ]

Diese Bedingung der verschwindenden Spur macht den viskosen Tensor zu einem deviatorischen und nicht zu einem volumetrischen Spannungsanteil.

Wie die Zerlegung in die Impulsgleichung eingeht

Ausgehend von der allgemeinen Impulsbilanz

Die lokale Bilanz des linearen Impulses lautet:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f} + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} ]

wobei (\rho) die Dichte, (\mathbf{v}) die Geschwindigkeit, (D/Dt) die materielle Ableitung und (\mathbf{f}) die Volumenkräfte wie beispielsweise die Gewichtskraft pro Volumeneinheit bezeichnet.

Durch Einsetzen von (\boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}) ergibt sich:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}

\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

Dies ist die Druck-Viscositäts-Form der Cauchy-Impulsgleichung.

Druckgradienten treiben den Volumentransport an

Der Term

[ -\nabla p ]

stellt die durch räumliche Änderungen des statischen Drucks erzeugte Kraft dar. In einer Rohrleitung im Pilotmaßstab beschleunigt beispielsweise ein vorgegebener Druckabfall das Fluid durch das Rohrleitungsnetz.

In einer ruhenden Flüssigkeit unter dem Einfluss der Schwerkraft variiert der Druck mit der Höhe. Mit (z) nach oben gemessen gilt:

[ \nabla p=\rho\mathbf{g} ]

wobei (\mathbf{g}) nach unten zeigt. Dieses hydrostatische Druckfeld gleicht die Schwerkraft aus, wenn das Fluid ruht.

Viskose Spannungen wirken der Verformung entgegen

Der Term

[ \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

stellt die resultierende viskose Kraft dar, die aus räumlichen Änderungen der viskosen Spannungen entsteht. Er ist für Effekte wie Wandreibung, die Ausbildung von Geschwindigkeitsprofilen und die Impulsdiffusion zwischen benachbarten Fluidschichten verantwortlich.

Druck kann in einem ruhenden Fluid vorhanden sein, viskose Spannung erfordert jedoch im Allgemeinen Geschwindigkeitsgradienten oder Verformung, abgesehen von speziellen konstitutiven Effekten in komplexeren Materialien.

Wie viskose Spannung mit der Geschwindigkeit zusammenhängt

Zusammenhang für Newtonsche Fluide

Für ein isotropes Newtonsches Fluid steht die viskose Spannung in einem linearen Zusammenhang mit dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor:

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

wobei

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

Hier sind (\mu) die dynamische Viskosität und (\lambda) der zweite Viskositätskoeffizient, der mit der volumetrischen Verformung verbunden ist.

Für ein inkompressibles Fluid gilt:

[ \nabla\cdot\mathbf{v}=0 ]

und die konstitutive Beziehung vereinfacht sich zu:

[ \boldsymbol{\tau}

\mu \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

Die Impulsgleichung nimmt dann die bekannte Newtonsche Form an, vorbehaltlich der Annahmen einer konstanten Viskosität und Dichte.

Scherspannungen entstehen durch Geschwindigkeitsgradienten

Bei einer einfachen Strömung in (x)-Richtung, deren Geschwindigkeit sich quer zur Richtung (y) ändert, lautet die maßgebliche viskose Scherspannung:

[ \tau_{xy}

\mu\frac{\partial u}{\partial y} ]

Diese Beziehung ist unmittelbar relevant für Rohrströmungen, Rührbehälter, Grenzschichten und Strömungskanäle in Pilotanlagen.

Derselbe Gradient, der die Wandschubspannung erzeugt, trägt auch zum Druckverlust und zum erforderlichen Pumpenleistungsbedarf bei.

Auch normale viskose Spannungen können auftreten

Viskose Effekte sind nicht auf Scherkomponenten beschränkt. In beschleunigten, konvergierenden, divergierenden oder extensionalen Strömungen können die Diagonalkomponenten von (\boldsymbol{\tau}) von Bedeutung sein.

Bei inkompressibler Newtonscher Strömung stehen diese normalen viskosen Spannungen mit den normalen Geschwindigkeitsgradienten in Zusammenhang, wobei die Bedingung der verschwindenden Spur des deviatorischen Tensors erhalten bleibt.

Anwendung der Zerlegung in Pilotanlagen

Rohrleitungsnetze und Strömungskanäle

In Rohrleitungen liefern Druckgradienten die primäre Antriebskraft, während viskose Spannungen Impuls auf die Wände übertragen. Die daraus resultierende Bilanz bestimmt das Geschwindigkeitsprofil und den Druckabfall.

Bei turbulenter Strömung in Pilotanlagen umfasst die modellierte Spannung sowohl die molekulare Viskosität als auch den Einfluss von Geschwindigkeitsschwankungen. Reynolds-Spannungen werden üblicherweise wie folgt dargestellt:

[ \tau_{xy}^{t}

-\rho\overline{u'v'} ]

wobei (u') und (v') schwankende Geschwindigkeitskomponenten sind.

Mischbehälter und Reaktoren

In einem gerührten Behälter trägt der Druck zum gesamten Kraftfeld und zur hydrostatischen Verteilung bei. Die viskose Spannung bestimmt die lokale Energiedissipation, die Scherbeanspruchung und das vom Rührer benötigte Drehmoment.

Bei nichtnewtonschen Reaktorinhalten kann sich die lokale Viskosität mit der Verformungsgeschwindigkeit ändern. Die Spannungzerlegung bleibt gültig, das konstitutive Modell für (\boldsymbol{\tau}) wird jedoch nichtlinear.

Trennkolonnen und Schwerkraftanlagen

In Sedimentationskolonnen, Dekantern und Flotationsanlagen variiert der hydrostatische Druck mit der Tiefe und beeinflusst das Verhalten von Phasengrenzen und Füllständen. Viskose Spannungen bestimmen den Absetz-Widerstand, die Bewegung der Grenzfläche und die wandnahe Strömung.

Das Druckfeld und das viskose Feld erfüllen daher unterschiedliche Modellierungszwecke: Der Druck legt die Verteilung der Normalkräfte fest, während die viskose Spannung den verformungsbedingten Impulstransport beschreibt.

Wärmetauscher und thermische Strömungseinheiten

In Wärmetauscherkanälen stehen Wandschubspannung und Druckabfall mit dem Geschwindigkeitsgradientenfeld in Zusammenhang. Dieselbe Strömungsstruktur beeinflusst die thermische Grenzschicht und den konvektiven Wärmeübergang.

Bei hohen Reynolds-Zahlen kann der turbulente Impulstransport den molekularen viskosen Transport deutlich übersteigen, sodass ein Turbulenzmodell die zusätzliche scheinbare Spannung berücksichtigen muss.

Verständnis der Zielkonflikte

Druck ist nicht dasselbe wie die gesamte Normalspannung

Ein häufiger Modellierungsfehler besteht darin, jede Normalspannung als statischen Druck zu behandeln. In kompressiblen, extensionalen, stark beschleunigten oder nichtnewtonschen Strömungen können normale viskose Spannungen von Bedeutung sein.

Der Druck ist der isotrope Anteil des Spannungszustands; die verbleibenden Normalspannungen gehören zum deviatorischen Tensor.

Turbulente Spannung wird modelliert, nicht die molekulare Viskosität

In turbulenter Strömung enthält die zeitgemittelte Impulsgleichung Reynolds-Spannungen, die durch Geschwindigkeitsschwankungen entstehen. Diese Spannungen sind nicht identisch mit molekularen viskosen Spannungen, obwohl Turbulenzmodelle ihre Gesamtwirkung häufig durch eine effektive oder Wirbelviskosität darstellen.

Die ausschließliche Verwendung der molekularen Viskosität kann Wandreibung, Druckabfall, Mischbedarf und Pumpenleistung in turbulenten Pilotanlagen unterschätzen.

Vorzeichenkonventionen müssen konsistent bleiben

Einige Quellen definieren den Gesamtspannungstensor mit kompressivem Druck als (+p\mathbf{I}), während andere (-p\mathbf{I}) verwenden. Beide Konventionen können funktionieren, aber die Impulsgleichung und die Definitionen der Normalspannungen müssen durchgehend dieselbe Konvention verwenden.

Die übliche Form in der Verfahrenstechnik lautet:

[ \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

Inkompressibilität beseitigt nicht alle viskosen Spannungen

Für ein inkompressibles Fluid entfernt (\nabla\cdot\mathbf{v}=0) den volumetrischen Dilatationsterm aus der Newtonschen konstitutiven Gleichung. Scherspannungen oder normale deviatorische Spannungen, die durch andere Geschwindigkeitsgradienten verursacht werden, werden dadurch nicht beseitigt.

Nichtnewtonsche Fluide erfordern ein geeignetes konstitutives Gesetz

Bei Polymerlösungen, konzentrierten Suspensionen und Fermentationsbrühen kann die Viskosität von der Größe der Verzerrungsgeschwindigkeit abhängen. Ein verallgemeinertes Modell kann wie folgt geschrieben werden:

[ \boldsymbol{\tau}

\mu(\Gamma) \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

wobei (\Gamma) die lokale Verformungsgeschwindigkeit charakterisiert.

Die Druck-Viscositäts-Zerlegung bleibt weiterhin gültig, aber die viskose Spannung muss anhand des gemessenen rheologischen Verhaltens des Fluids berechnet werden.

So wenden Sie dies auf Ihr Projekt an

Die korrekte Zerlegung hängt von der Anlage, dem Strömungsregime und dem verwendeten Fluidmodell ab.

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Druckabfall in Rohrleitungen liegt: Berechnen Sie den Beitrag des Druckgradienten getrennt von den viskosen Spannungen an der Wand und im Volumen und berücksichtigen Sie bei turbulenter Strömung die turbulenten Reynolds-Spannungen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Misch- oder Reaktorauslegung liegt: Verwenden Sie das viskose Spannungsfeld zur Bewertung von Rührerdrehmoment, lokaler Energiedissipation und Scherbeanspruchung, während Sie den Druck für die Gesamtkräfte und die hydrostatische Bilanz beibehalten.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Trennanlagen liegt: Verwenden Sie den hydrostatischen Druck zur Bestimmung der tiefenabhängigen Normalkraftbelastung und viskose Spannungen zur Modellierung von Absetzen, Grenzflächenbewegung und Widerstand.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Verarbeitung nichtnewtonscher Fluide liegt: Behalten Sie die Druckzerlegung unverändert bei, wählen Sie jedoch ein konstitutives Gesetz, das die deviatorische Spannung mit der gemessenen geschwindigkeitsabhängigen Viskosität verknüpft.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf einem instationären oder turbulenten Betrieb liegt: Unterscheiden Sie zwischen molekularer viskoser Spannung und modellierter turbulenter Spannung, damit Druckverluste und Impulstransport nicht unterschätzt werden.

Die Trennung des isotropen Drucks von der verformungsabhängigen Spannung gibt Pilotanlagenmodellen eine klare physikalische Grundlage für die Vorhersage von Strömung, Reibung, Mischung, Trennung und Scale-up-Verhalten.

Zusammenfassungstabelle:

Spannungskomponente	Physikalische Bedeutung	Wichtigste Modellierungsfunktion	Anwendungen in Pilotanlagen
Statischer Druck	Isotrope Normalspannung, die in alle Richtungen gleich wirkt	Treibt die Strömung an und erzeugt hydrostatische Belastung	Rohrleitungen, Kanäle, Kolonnen, Dekanter
Molekulare viskose Spannung	Durch Geschwindigkeitsgradienten verursachte deviatorische Spannung	Modelliert Wandreibung, Impulsdiffusion und Verformung	Pumpen, Wärmetauscher, Rührbehälter
Turbulente Reynolds-Spannung	Durch Geschwindigkeitsschwankungen verursachter Impulstransport	Stellt zusätzliche scheinbare Spannung in turbulenter Strömung dar	Rohrleitungen mit hohen Durchsätzen, Mischung, Scale-up
Nichtnewtonsche Spannung	Geschwindigkeitsabhängige deviatorische Spannung auf Grundlage der Fluidrheologie	Prognostiziert Scherung, Drehmoment und Strömungsverhalten komplexer Fluide	Polymerlösungen, Suspensionen, Fermentationsbrühen

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