Eine Freiheitsgradanalyse wird durchgeführt, indem unbekannte Variablen und unabhängige Gleichungen gezählt und anschließend die Anzahl der Gleichungen von der Anzahl der Unbekannten subtrahiert wird. Für eine Stoffbilanz einer verfahrenstechnischen Grundoperation oder einer Technikumsanlage gilt (N_D = N_U - N_E), wobei (N_U) die Anzahl der unbekannten Strom- und Prozessvariablen und (N_E) die Anzahl der unabhängigen Bilanzen, Spezifikationen und physikalischen Beziehungen bezeichnet. Ein Ergebnis von null bedeutet im üblichen Fall, dass das Modell für eine eindeutige Lösung korrekt spezifiziert ist; ein positives Ergebnis bedeutet, dass weitere Informationen benötigt werden, während ein negatives Ergebnis auf redundante oder potenziell inkonsistente Randbedingungen hinweist.

Die zentrale Prüfung besteht darin festzustellen, ob für jede unbekannte Größe genügend unabhängige Informationen vorhanden sind. Definieren Sie die Systemgrenze sorgfältig, zählen Sie nur unabhängige Gleichungen und nutzen Sie das Ergebnis, um zu entscheiden, ob das Modell gelöst, zusätzliche Daten erhoben oder redundante Messungen untersucht werden sollen.

System vor dem Zählen definieren

Grundoperation oder Prozessgrenze auswählen

Beginnen Sie damit, eine Grenze um die zu analysierende Grundoperation, den Abschnitt der Technikumsanlage oder die Kombination von Einheiten zu ziehen. Zählen Sie nur Variablen, die mit Strömen und Wechselwirkungen verbunden sind, welche diese Grenze überschreiten, sowie interne Variablen, die vom gewählten Modell benötigt werden.

Bei einem einzelnen Mischer kann die Grenze die Zu- und Produktströme umfassen. Bei einer mehrstufigen Technikumsanlage kann es effizienter sein, zunächst einen Absorber-, Kondensator- oder Extraktionsabschnitt separat zu analysieren, bevor der gesamte Prozess betrachtet wird.

Einheiten zusammenfassen, wenn interne Daten nicht verfügbar sind

Wenn ein Zwischenstrom zwischen zwei Einheiten eine unbekannte Durchflussrate und Zusammensetzung aufweist, kann das Zusammenfassen der Einheiten zu einem Makrosystem die Analyse vereinfachen. Die Variablen des internen Stroms entfallen dann aus dem Problem der externen Bilanzierung.

Dies ist beispielsweise hilfreich, wenn eine Destillationskolonne und ihr Kondensator durch eine nicht gemessene Dampfleitung verbunden sind. Die zusammengefasste Grenze verhindert die Einführung von Variablen, die nicht mit gemessenen oder spezifizierten Größen verknüpft werden können.

Eine Bezugsbasis festlegen

Eine Berechnungsbasis ist selbst Teil der Spezifikation. Sie kann eine Zulaufmenge, eine Produktionsrate, eine Chargengröße oder eine festgelegte Betriebszeit sein.

Wenn beispielsweise eine Bezugsbasis von (100\ \mathrm{kmol}) Zulauf gewählt wird, kann dadurch eine ansonsten beliebige Skalierungsvariable entfernt werden. Ohne Bezugsbasis oder gemessenen Gesamtstrom können Zusammensetzungsangaben möglicherweise nur relative Größen bestimmen.

Unbekannte Variablen zählen

Stromdurchflussraten einbeziehen

Listen Sie jede unbekannte Massenstrom-, Molstrom- oder Volumenstromrate auf, die die Grenze überschreitet. Zählen Sie eine Variable nicht doppelt, nur weil sie in unterschiedlichen Einheiten dargestellt wird.

Wenn der Volumenstrom über eine bekannte Dichte mit dem Massenstrom verknüpft ist, kann er entweder als bekannte abgeleitete Größe oder als unabhängige unbekannte Größe behandelt werden, die durch eine Dichtegleichung verbunden ist. Die gewählte Vorgehensweise muss jedoch konsistent sein.

Unabhängige Zusammensetzungen einbeziehen

Für einen Strom mit (n) Komponenten gibt es nur (n-1) unabhängige Massen- oder Molanteile, da

[ \sum_{i=1}^{n} x_i = 1 ]

oder

[ \sum_{i=1}^{n} w_i = 1 ]

gilt. Zählen Sie daher nicht alle (n) Anteile als unabhängige Unbekannte und berücksichtigen Sie gleichzeitig die Summenbeziehung, es sei denn, diese Gleichung wird ausdrücklich in die Zählung aufgenommen.

Temperaturen, Drücke und Leistungen einbeziehen, wenn sie relevant sind

Ein Stoffbilanzmodell kann zusätzliche unbekannte Größen wie Austrittstemperatur, Druck, Dampfanteil, Wärmestrom oder Arbeit erfordern.

Diese Variablen müssen einbezogen werden, wenn das Modell Energiebilanzen, Phasengleichgewichtsbeziehungen, Druckverlustgleichungen oder Stoffberechnungen enthält, in denen sie vorkommen.

Reaktionsfortschritte oder Reaktionsraten einbeziehen

Bei reaktiven Systemen können Reaktionsfortschritte (\xi_j), Reaktionsraten oder Terme für die Bildung und den Verbrauch von Spezies unbekannt sein.

Wenn das Modell für jede unabhängige Reaktion einen Reaktionsfortschritt verwendet, wird jeder Fortschritt als unbekannte Größe gezählt. Die entsprechenden stöchiometrischen Beziehungen verknüpfen den Reaktionsfortschritt anschließend mit den Speziesströmen am Ein- und Austritt.

Unabhängige Gleichungen zählen

Komponentenstoffbilanzen aufstellen

Für ein nichtreaktives stationäres System hat jede unabhängige Speziesbilanz allgemein die Form

[ \text{Zufuhr} - \text{Abfuhr} = 0 ]

Für Spezies (i) gilt

[ \sum \dot n_{i,\text{ein}}-\sum \dot n_{i,\text{aus}}=0 ]

Diese Bilanzen sind normalerweise die wichtigsten Gleichungen in einer Stoffbilanz einer Grundoperation.

Es kann auch eine Gesamtbilanz aufgestellt werden, sie ist jedoch möglicherweise nicht unabhängig, wenn sie durch Summieren aller Komponentenbilanzen entsteht. Zählen Sie nur unabhängige Gleichungen.

Zusammensetzungsbedingungen hinzufügen

Die Summe der Massen- oder Molanteile liefert für jeden Strom, dessen Zusammensetzungsvariablen berücksichtigt werden, eine Gleichung:

[ \sum_i x_i=1 ]

Diese Gleichungen sind erforderlich, wenn die einzelnen Komponentenanteile als unbekannt behandelt werden.

Prozessspezifikationen hinzufügen

Spezifikationen liefern Gleichungen, die durch Betrieb, Auslegung oder Experiment vorgegeben werden. Beispiele sind:

Eine bekannte Zulaufmenge.
Eine spezifizierte Produktzusammensetzung.
Eine bekannte Rückgewinnungs- oder Aufteilungsfraktion.
Eine spezifizierte partielle Kondensation.
Gleiche Durchflussraten in zwei Zweigen.
Eine gemessene Austrittstemperatur oder ein gemessener Austrittsdruck.

Eine Messung liefert nur dann nützliche Informationen, wenn sie eine unabhängige Beziehung zwischen den unbekannten Größen herstellt.

Physikalische und stoffliche Beziehungen hinzufügen

Abhängig vom Modell sind Beziehungen einzubeziehen wie

[ \dot m = \rho \dot V ]

für die dichtebasierte Umrechnung zwischen Massen- und Volumenstrom oder Dampf-Flüssigkeits-Gleichgewichts-Gleichungen für eine Phasentrennung.

Weitere mögliche Beziehungen sind Summenbedingungen für Phasenanteile, Gleichgewichtskonstanten, stöchiometrische Gleichungen, Korrelationen zur Anlagenleistung und Druckverlustbeziehungen.

Energiebilanzen hinzufügen, wenn erforderlich

Wenn Temperatur, Wärmestrom, Phasenänderung oder Reaktionsenthalpie unbekannt sind, kann eine reine Stoffbilanz unzureichend sein. Eine Energiebilanz kann die zusätzliche unabhängige Gleichung liefern:

[ \text{Energiezufuhr} - \text{Energieabfuhr} + \text{zugeführte Wärme} - \text{Arbeit} = 0 ]

Bei reaktiven Technikumsanlagen können neben den Speziesbilanzen Energiebilanzen erforderlich sein, um Austrittstemperaturen oder Wärmeströme zu bestimmen.

Freiheitsgrade berechnen und interpretieren

Die Freiheitsgradgleichung verwenden

Nachdem Variablen und Gleichungen aufgelistet wurden, berechnen Sie

[ N_D=N_U-N_E ]

wobei:

(N_D) die Anzahl der Freiheitsgrade ist.
(N_U) die Anzahl der unabhängigen unbekannten Variablen ist.
(N_E) die Anzahl der unabhängigen Gleichungen und Spezifikationen ist.

Die Zählung sollte für das genaue zu lösende Modell und die festgelegte Systemgrenze durchgeführt werden.

Wenn (N_D=0)

Ein Ergebnis von null bedeutet, dass das System über dieselbe Anzahl unabhängiger Gleichungen wie unbekannter Größen verfügt. Es ist daher exakt spezifiziert und kann im Allgemeinen als quadratisches Gleichungssystem behandelt werden.

Bei linearen Stoffbilanzen entspricht dies üblicherweise einer eindeutigen Lösung, sofern die Gleichungen unabhängig sind. Bei nichtlinearen Modellen garantiert ein Freiheitsgrad von null allein jedoch weder eine physikalisch sinnvolle noch eine eindeutige numerische Lösung; die Gleichungen können mehrere Lösungen oder keine zulässige Lösung besitzen oder numerische Schwierigkeiten verursachen.

Wenn (N_D>0)

Ein positives Ergebnis bedeutet, dass das System unterspezifiziert ist. Es gibt mehr Unbekannte als unabhängige Gleichungen, sodass die verfügbaren Bilanzen nicht alle Variablen eindeutig bestimmen können.

Die fehlenden Informationen können aus einer nicht gemessenen Durchflussrate, einer unbekannten Zulaufzusammensetzung, einer nicht spezifizierten Rückgewinnung oder einer fehlenden Prozessbeziehung stammen. Es sind zusätzliche unabhängige Messungen oder Betriebsspezifikationen erforderlich.

Wenn (N_D<0)

Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass das System überspezifiziert ist. Es wurden mehr Gleichungen oder Randbedingungen aufgelistet, als zur Bestimmung der gezählten Unbekannten erforderlich sind.

Dies beweist nicht automatisch, dass keine Lösung existiert. Einige Gleichungen können redundant sein oder die Messungen können miteinander konsistent sein. Ein inkonsistentes überspezifiziertes System besitzt jedoch keine exakte Lösung und sollte auf Messfehler, falsche Annahmen, doppelt erfasste Gleichungen oder eine unvollständige Variablenliste untersucht werden.

Die Methode auf Technikumsprobleme anwenden

Mit einer Stromtabelle beginnen

Erstellen Sie eine Tabelle, in der jeder Strom, seine Gesamtstromrate, Komponentenanteile, Temperatur, Druck, Phase und alle weiteren modellierten Eigenschaften aufgeführt sind. Kennzeichnen Sie jeden Eintrag als bekannt, gemessen, spezifiziert oder unbekannt.

Dadurch werden versteckte Unbekannte sichtbar, die in einem Prozessfließbild leicht übersehen werden, insbesondere Zusammensetzungen und phasenbezogene Variablen.

Zunächst einfache Teilsysteme analysieren

Bei einer mehrstufigen Technikumsanlage können Mischer, Teiler, Extraktoren, Absorber, Kondensatoren oder Kolonnen isoliert und ihre Freiheitsgrade separat berechnet werden.

Ein Teilsystem mit null Freiheitsgraden kann häufig zuerst gelöst werden und liefert anschließend bekannte Zwischenströme für das nächste Teilsystem.

Das Ergebnis zur Planung von Messungen verwenden

Wenn die Technikumsanlage positive Freiheitsgrade aufweist, zeigt die Analyse, welche Art von Information fehlt. Ein Inline-Durchflussmesser kann einen unbekannten Strom bestimmen, während eine Laboranalyse der Zusammensetzung einen unbekannten Speziesanteil bestimmen kann.

Die zusätzliche Messung muss unabhängig sein. Die Messung einer weiteren Variablen, die bereits durch die vorhandenen Bilanzen bestimmt ist, reduziert die tatsächlichen Freiheitsgrade nicht.

Gleichungen auf Unabhängigkeit prüfen

Vermeiden Sie es, Gleichungen zu zählen, die lediglich algebraische Umstellungen oder Summen anderer Gleichungen darstellen. Beispielsweise kann eine Gesamtmassenbilanz von allen Komponentenbilanzen abhängen, wenn keine Masse erzeugt oder vernichtet wird.

Ebenso erhöht es die Anzahl sowohl der Unbekannten als auch der Gleichungen künstlich, wenn jeder Speziesanteil als unabhängig gezählt und zusätzlich eine Summenbedingung auferlegt wird.

Reaktive Systeme korrekt analysieren

Molekulare Speziesbilanzen

Bei molekularen Bilanzen führen Reaktionen Terme für Bildung und Verbrauch ein. Wenn Reaktionsfortschritte unbekannt sind, führt jede unabhängige Reaktion im Allgemeinen eine zusätzliche unbekannte Fortschrittsvariable ein.

Die Speziesbilanzen und stöchiometrischen Beziehungen müssen gemeinsam gezählt werden. Eine zweckmäßige konzeptionelle Form ist

[ N_D=N_{\text{unbekannte Variablen}}+N_{\text{unabhängige Reaktionen}} -N_{\text{unabhängige molekulare Bilanzen}} -N_{\text{zusätzliche Gleichungen}} ]

wenn Reaktionsterme durch zusätzliche unbekannte Reaktionsraten oder Reaktionsfortschritte dargestellt werden.

Atombilanzen

Atombilanzen berücksichtigen die Erhaltung von Elementen wie Kohlenstoff, Wasserstoff und Sauerstoff. Reaktionen erzeugen oder vernichten keine Atome, daher erscheinen Reaktionsterme für Bildung und Verbrauch nicht in den Atombilanzen.

Diese Formulierung kann die Komplexität der Bilanzgleichungen reduzieren, jedoch können zusätzliche Beziehungen erforderlich sein, um die Verteilung der molekularen Spezies zu bestimmen.

Formulierung über den Reaktionsfortschritt

Unter Verwendung von Reaktionsfortschritten können die Speziesströme am Austritt als Funktionen der Zulaufströme und der Reaktionsfortschritte geschrieben werden:

[ n_{i,\text{aus}}

n_{i,\text{ein}} + \sum_j \nu_{ij}\xi_j ]

wobei (\nu_{ij}) der stöchiometrische Koeffizient der Spezies (i) in Reaktion (j) und (\xi_j) der Reaktionsfortschritt der Reaktion (j) ist.

Die Reaktionsfortschritte werden zusammen mit den Bilanzen, Umwandlungsspezifikationen, Gleichgewichtsbeziehungen oder kinetischen Gleichungen als unbekannte Größen bestimmt.

Zusammenhänge und Abwägungen verstehen

Eine Zählung von null ist keine vollständige Validierung

Die Freiheitsgradanalyse prüft, ob das Modell strukturell spezifiziert ist. Sie bestätigt weder, dass die Gleichungen die Anlage korrekt beschreiben, noch dass die Messdaten zuverlässig sind.

Ein Modell kann (N_D=0) aufweisen und dennoch unphysikalische Durchflussraten liefern, beispielsweise aufgrund falscher Phasenannahmen, fehlerhafter Sensordaten oder einer ungültigen Stoffeigenschaftskorrelation.

Redundante Messungen können wertvoll sein

Ein überspezifiziertes System ist in einer Technikumsanlage nicht zwangsläufig unerwünscht. Redundante Messungen können verwendet werden, um die Datenkonsistenz zu prüfen, Sensorfehler zu erkennen und Variablen durch ein Verfahren zur Datenabgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate zu schätzen.

Die entscheidende Unterscheidung besteht zwischen struktureller Lösbarkeit und Datenvalidierung. Ein Minimalmodell benötigt möglicherweise null Freiheitsgrade, während in einer betriebenen Anlage absichtlich mehr Messungen als das Minimum erfasst werden.

Das Zählen von Gleichungen hängt vom Modell ab

Eine Änderung des Modells kann das Ergebnis der Freiheitsgradanalyse verändern. Das Hinzufügen einer Energiebilanz, einer Gleichgewichtsbeziehung, eines Reaktionsfortschritts oder einer Druckverlustgleichung führt sowohl Modellannahmen als auch potenziell neue Variablen ein.

Die Zählung muss daher wiederholt werden, sobald sich Prozessgrenze, Betriebsbereich oder mathematische Formulierung ändern.

Die physikalische Zulässigkeit muss weiterhin geprüft werden

Prüfen Sie nach der Lösung, ob die Durchflussraten nichtnegativ sind, die Anteile zwischen null und eins liegen, die Gesamtbilanzen geschlossen sind und Temperaturen und Drücke innerhalb physikalisch sinnvoller Bereiche bleiben.

Eine mathematisch bestimmte Lösung ist nur dann nützlich, wenn sie auch die physikalischen Randbedingungen der Grundoperation erfüllt.

Die richtige Entscheidung für Ihr Ziel treffen

Verwenden Sie das Ergebnis der Freiheitsgradanalyse als Werkzeug für Auslegung und Fehlersuche, bevor Sie die Stoffbilanzgleichungen lösen.

Wenn Ihr Hauptziel die Lösung einer einzelnen Grundoperation ist: Definieren Sie eine klare Grenze, zählen Sie unabhängige Stromvariablen, berücksichtigen Sie alle relevanten Bilanzen und Spezifikationen und fahren Sie fort, sobald das Modell (N_D=0) aufweist.
Wenn Ihr Hauptziel die Konfiguration einer Technikumsanlage ist: Nutzen Sie positive Freiheitsgrade, um die für eine eindeutige Berechnung erforderlichen Durchflussmesser, Zusammensetzungsanalysen und Betriebsspezifikationen zu bestimmen.
Wenn Ihr Hauptziel die Analyse eines Mehrfachprozesses ist: Fassen Sie Einheiten mit nicht gemessenen internen Strömen zusammen oder lösen Sie sequenziell ausgehend von Teilsystemen mit null Freiheitsgraden.
Wenn Ihr Hauptziel die Validierung experimenteller Daten ist: Betrachten Sie ein negatives Freiheitsgradergebnis als Gelegenheit, redundante Messungen zu vergleichen und Inkonsistenzen zu untersuchen, anstatt die Daten automatisch zu verwerfen.
Wenn Ihr Hauptziel die Modellierung eines Reaktors ist: Berücksichtigen Sie Reaktionsfortschritte oder -raten, stöchiometrische Beziehungen sowie alle erforderlichen Energie- oder Gleichgewichtsgleichungen, bevor Sie bestimmen, ob das System geschlossen ist.

Eine sorgfältige Freiheitsgradanalyse verwandelt die Frage „Kann diese Bilanz gelöst werden?“ in eine präzise Entscheidung darüber, welche Informationen, Gleichungen und Messungen das Prozessmodell tatsächlich benötigt.

Zusammenfassungstabelle:

Analyseelement	Wichtiger Punkt
Freiheitsgradgleichung	`N_D = N_U - N_E`
`N_D = 0`	Das Modell ist strukturell spezifiziert und kann im Allgemeinen gelöst werden.
`N_D > 0`	Das Modell ist unterspezifiziert; zusätzliche Daten oder Gleichungen sind erforderlich.
`N_D < 0`	Das Modell ist überspezifiziert; prüfen Sie auf Redundanzen oder inkonsistente Messungen.
Zu zählende Unbekannte	Stromdurchflussraten, unabhängige Zusammensetzungen, Temperaturen, Drücke, Wärmeströme, Reaktionsfortschritte und Reaktionsraten.
Zu zählende Gleichungen	Komponentenbilanzen, Zusammensetzungsbedingungen, Prozessspezifikationen, Stoffeigenschaftsbeziehungen, Energiebilanzen und Reaktionsgleichungen.
Bewährte Vorgehensweise	Definieren Sie die Systemgrenze, zählen Sie nur unabhängige Informationen und überprüfen Sie nach der Lösung die physikalische Zulässigkeit.
Anwendung in Technikumsanlagen	Nutzen Sie das Ergebnis, um fehlende Durchflussmesser, Zusammensetzungsanalysen oder Betriebsspezifikationen zu bestimmen.

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