Die grundlegenden Bilanzgleichungen sind die inkompressible Kontinuitätsgleichung und die Navier-Stokes-Impulsgleichungen. Für ein isothermes, inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte (\rho) und dynamischer Viskosität (\mu) lauten sie

[ \nabla \cdot \mathbf{v}=0 ]

und

[ \rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} +\mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}\right)

-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{g}. ]

Zusammen bestimmen diese Gleichungen die drei Geschwindigkeitskomponenten und das Druckfeld unter Berücksichtigung der geeigneten Anlagengeometrie sowie der Einlass-, Auslass-, Wand- und Anfangsbedingungen.

Kernaussage: Die isotherme, inkompressible Strömung eines Newtonschen Fluids in Pilotanlagen wird hauptsächlich durch die Massenerhaltung und die Impulserhaltung beschrieben. Energie-, Stoff-, Reaktions- oder Mehrphasengleichungen werden nur dann ergänzt, wenn die Grundoperation Effekte umfasst, die nicht allein durch diese beiden Gleichungen dargestellt werden können.

Das Gleichungssystem

Massenerhaltung: die Kontinuitätsgleichung

Die allgemeine Gleichung der Massenerhaltung lautet

[ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0. ]

Für ein inkompressibles Fluid mit konstanter Dichte gilt

[ \boxed{\nabla\cdot\mathbf{v}=0} ]

Diese Bedingung besagt, dass sich ein Fluidelement bei seiner Bewegung weder ausdehnt noch zusammenzieht. In kartesischen Koordinaten gilt

[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} =0, ]

wobei (u), (v) und (w) die Geschwindigkeitskomponenten in den (x)-, (y)- und (z)-Richtungen sind.

Impulserhaltung: die Navier-Stokes-Gleichungen

Die Bilanz des linearen Impulses lautet

[ \boxed{ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{g} } ]

wobei die substantielle Ableitung definiert ist als

[ \frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}. ]

Die Impulsgleichung stellt somit eine Bilanz zwischen folgenden Größen dar:

Fluidbeschleunigung: (\rho D\mathbf{v}/Dt)
Druckkräfte: (-\nabla p)
Viskose Kräfte: (\mu\nabla^2\mathbf{v})
Volumenkräfte: (\rho\mathbf{g}), üblicherweise die Schwerkraft

Der konvektive Term ((\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}) ist in Krümmern, Querschnittsverengungen, Erweiterungen, Mischern und anderen Bereichen wichtig, in denen die Geschwindigkeit räumlich variiert.

Kartesische Komponentenform

Für die Geschwindigkeit (\mathbf{v}=(u,v,w)) lauten die Impulsgleichungen

[ \rho\left( \frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z} \right)

-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\nabla^2u+\rho g_x, ]

[ \rho\left( \frac{\partial v}{\partial t} +u\frac{\partial v}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial y} +w\frac{\partial v}{\partial z} \right)

-\frac{\partial p}{\partial y} +\mu\nabla^2v+\rho g_y, ]

[ \rho\left( \frac{\partial w}{\partial t} +u\frac{\partial w}{\partial x} +v\frac{\partial w}{\partial y} +w\frac{\partial w}{\partial z} \right)

-\frac{\partial p}{\partial z} +\mu\nabla^2w+\rho g_z. ]

Diese drei Gleichungen liefern zusammen mit der Kontinuitätsgleichung vier Gleichungen für vier primäre Felder: (u), (v), (w) und (p).

Warum das Newtonsche Verhalten wichtig ist

Newtonsches Viskositätsgesetz

Bei einem Newtonschen Fluid ändern sich die viskosen Spannungen linear mit der Verformungsgeschwindigkeit. In Tensorform gilt

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D}, ]

für inkompressible Strömung, wobei

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^{T} \right] ]

der Verformungsgeschwindigkeitstensor ist.

Für konstante Viskosität und inkompressible Strömung vereinfacht sich die Divergenz der viskosen Spannung zu

[ \nabla\cdot\boldsymbol{\tau}

\mu\nabla^2\mathbf{v}. ]

Diese Vereinfachung führt zum viskosen Term in der Standardform der Navier-Stokes-Gleichung.

Physikalische Interpretation

Der viskose Term beschreibt die Impulsdiffusion. Er berücksichtigt den durch Geschwindigkeitsgradienten verursachten Impulstransport, beispielsweise zwischen einer ruhenden Rohrwand und dem sich in der Rohrmitte bewegenden Fluid.

Erforderliche Bedingungen zum Schließen des Modells

Haftbedingung an der Wand

An einer ruhenden festen Wand gilt

[ \mathbf{v}=0. ]

Diese Bedingung ist entscheidend für die Vorhersage von Wandschubspannung, Druckverlust und Geschwindigkeitsprofilen in Rohren, Kanälen, Wärmetauschern und Packungsapparaten.

Bei einer bewegten Wand entspricht die Fluidgeschwindigkeit an der Wand der Wandgeschwindigkeit.

Einlassbedingungen

Ein Einlass kann durch ein Geschwindigkeitsprofil vorgegeben werden:

[ \mathbf{v}=\mathbf{v}_{\text{in}}, ]

oder durch einen Massenstrom:

[ \dot{m}

\int_A \rho,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n},dA. ]

Für vereinfachte Untersuchungen wird häufig ein gleichförmiges Einlassprofil verwendet, während für detaillierte Analysen von Pilotanlagen entwickelte oder gemessene Profile besser geeignet sind.

Auslassbedingungen

Zu den typischen Auslassvorgaben gehören ein bekannter Druck,

[ p=p_{\text{out}}, ]

oder eine geeignete Ausströmbedingung, wenn die Strömung stromabwärts hinreichend entwickelt ist. Die gewählte Auslassbedingung kann die vorhergesagten Druckfelder und Rückströmungen erheblich beeinflussen.

Anfangsbedingung

Für einen instationären Betrieb muss das anfängliche Geschwindigkeitsfeld definiert werden:

[ \mathbf{v}(\mathbf{x},0)=\mathbf{v}_0(\mathbf{x}). ]

Außerdem ist eine Druckreferenz erforderlich, da der Druck bei inkompressibler Strömung im Allgemeinen nur bis auf eine beliebige Konstante bestimmt ist.

Häufige Vereinfachungen in Pilotanlagenmodulen

Stationäre Strömung

Wenn sich die Betriebsbedingungen zeitlich nicht wesentlich ändern, gilt

[ \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}=0. ]

Die Impulsgleichung wird zu

[ \rho(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}

-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{g}. ]

Diese Näherung wird häufig für stationäre Analysen von Rohren, Kanälen und Wärmetauschern verwendet.

Vollständig entwickelte Innenströmung

Bei einer vollständig entwickelten Strömung in einem geraden Kanal oder Rohr ändert sich das Geschwindigkeitsprofil nicht in axialer Richtung. Die maßgeblichen Gleichungen können dann auf ein Gleichgewicht zwischen Druckgradient und viskosem Widerstand reduziert werden.

Beispielsweise gilt für eine eindimensionale Strömung zwischen parallelen Platten

[ 0=-\frac{dp}{dx}+\mu\frac{d^2u}{dy^2}. ]

Das daraus resultierende Geschwindigkeitsprofil ist bei konstantem Druckgradienten parabolisch.

Vernachlässigbare Trägheit

Bei hinreichend kleiner Reynolds-Zahl sind die Trägheitseffekte im Vergleich zu den viskosen Effekten gering. Die Impulsgleichung reduziert sich auf die Form für eine Stokes-Strömung:

[ 0=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{g}. ]

Diese Näherung ist für hochviskose Fluide, enge Kanäle sowie Module mit niedrigen Durchflussraten im Mikro- oder Laborbereich nützlich.

Schwerkraft und hydrostatischer Druck

Wenn die Geschwindigkeit vernachlässigbar ist, reduziert sich die Impulsgleichung zu

[ \nabla p=\rho\mathbf{g}. ]

Dies beschreibt die hydrostatische Druckverteilung. In strömenden Systemen kann die Schwerkraft in vertikalen Rohrleitungen, Packungskolonnen, Behältern und Konfigurationen mit natürlicher Konvektion weiterhin von Bedeutung sein.

Anwendung der Gleichungen auf Grundoperationen

Rohrleitungsnetze und Pumpen

Die Gleichungen beschreiben Geschwindigkeitsverteilungen und Druckgradienten im gesamten Rohrleitungssystem. Integrierte oder reduzierte Formen werden anschließend verwendet, um Druckverluste abzuschätzen und den Pumpenbedarf zu bestimmen.

In einer Pilotanlage können die vollständigen Feldgleichungen rechnerisch gelöst werden, während einfachere Rohrabschnitte häufig durch Reibungsfaktor-Korrelationen dargestellt werden, die aus diesen Bilanzen abgeleitet sind.

Wärmetauscher

Für eine strikt isotherme Modellierung der Fluidströmung bestimmen Kontinuität und Impuls die Hydrodynamik, einschließlich Geschwindigkeitsverteilung, Wandschubspannung und Druckverlust.

Wenn das Ziel eine Temperaturänderung oder eine Wärmeübertragungsleistung umfasst, muss zusätzlich eine Energiegleichung aufgestellt werden. Eine häufig verwendete Bilanz auf Stromeebene lautet

[ Q=\dot{m}C_p\Delta T, ]

während die Leistung des Wärmetauschers häufig beschrieben wird durch

[ Q=UA\Delta T_{\mathrm{lm}}F. ]

Dies sind zusätzliche thermische Beziehungen und kein Ersatz für die Strömungsgleichungen.

Reaktoren und Mischanlagen

In Rührkesseln und Durchflussreaktoren sagen die Navier-Stokes-Gleichungen Zirkulation, Rückströmung und strömungsbezogene Geschwindigkeitsfelder voraus.

Für Reaktion, Stofftransport und Verweilzeitverhalten sind zusätzliche Erhaltungsgleichungen erforderlich. Die Fluidströmungsgleichungen allein können Umsatz oder Konzentration nicht vorhersagen.

Festbetten und Kolonnen

In Packungsapparaten können die Navier-Stokes-Gleichungen auf Porenebene für detaillierte Modellierungen verwendet werden; auf der Ebene der Verfahrenstechnik werden sie jedoch häufig durch Druckverlustbeziehungen für poröse Medien ersetzt.

Die zugrunde liegenden Prinzipien bleiben die Massen- und Impulserhaltung, wobei die Packung durch zusätzliche Widerstandsterme berücksichtigt wird.

Zweiflüssigkeits- oder Mehrphasenmodule

Für zwei nicht mischbare Fluide benötigt jede Phase eigene Erhaltungsgleichungen sowie Grenzflächenbedingungen. An einer Flüssig-Flüssig-Grenzfläche umfassen typische Bedingungen

[ \mathbf{v}_1=\mathbf{v}_2 ]

für die Kontinuität der Tangentialgeschwindigkeit und

[ \boldsymbol{\tau}_1\cdot\mathbf{n}

\boldsymbol{\tau}_2\cdot\mathbf{n} ]

für die Kontinuität der viskosen Spannung, sofern Grenzflächeneffekte angemessen berücksichtigt werden.

Die inkompressiblen Gleichungen für ein Einfluidmodell sind daher unzureichend, wenn Phasengrenzen, Impulsübertragung zwischen den Phasen oder Phasenwechsel von Bedeutung sind.

Verständnis der Zielkonflikte

Isotherm bedeutet nicht, dass Energie immer irrelevant ist

Ein isothermes Modell nimmt an, dass die Temperatur konstant ist oder dass thermische Effekte die Strömungslösung nicht beeinflussen. Es liefert keine Temperaturverteilungen, Wärmeübergangskoeffizienten oder thermische Leistung.

Für Wärmetauscher, beheizte Reaktoren oder Systeme mit stark variierender Viskosität kann eine Energiegleichung erforderlich sein, selbst wenn die anfängliche Strömungsanalyse eine isotherme Näherung verwendet.

Die Inkompressibilität besitzt einen definierten Gültigkeitsbereich

Flüssigkeiten werden häufig als inkompressibel modelliert, weil Dichteänderungen gering sind. Auch Gase können als inkompressibel behandelt werden, wenn die Geschwindigkeit deutlich unter der Schallgeschwindigkeit liegt und druckbedingte Dichteänderungen vernachlässigbar sind.

Die Näherung sollte bei Hochgeschwindigkeits-Gasströmungen, großen Druckänderungen, starken Temperaturschwankungen oder Systemen mit kompressibilitätsbedingten Effekten überprüft werden.

Eine konstante Viskosität kann eine schlechte Näherung sein

Die Standardgleichung nimmt eine konstante (\mu) an. Dies ist für viele Flüssigkeiten über moderate Temperatur- und Schergeschwindigkeitsbereiche hinweg angemessen, jedoch nicht für Fluide mit stark temperaturabhängiger Viskosität oder für nicht-Newtonsche Materialien.

Wenn die Viskosität räumlich variiert, sollte der viskose Term im Allgemeinen in Form der Spannungsdivergenz beibehalten werden, anstatt ihn einfach als (\mu\nabla^2\mathbf{v}) zu schreiben.

Laminaritätsannahmen sind für Navier-Stokes nicht erforderlich

Die Navier-Stokes-Gleichungen gelten für Newtonsche Strömungen unabhängig davon, ob diese laminar oder turbulent sind. Die direkte Auflösung turbulenter Skalen ist jedoch rechenintensiv, sodass für Anlagen im Pilotmaßstab häufig Turbulenzmodelle oder experimentell validierte Korrelationen erforderlich sind.

„Viskose Dissipation“ gehört zur Energiebilanz

Viskose Spannungen beeinflussen die Impulsgleichung direkt. Die durch viskose Dissipation erzeugte Wärme erscheint in der Energiegleichung und wird in einer strikt isothermen Formulierung weggelassen.

Diese Unterscheidung verhindert den häufigen Fehler, viskose Dissipation als zusätzlichen Term in der Impulsgleichung zu behandeln.

Die richtige Wahl für Ihr Ziel

Das geeignete Bilanzmodell hängt davon ab, was die Analyse der Pilotanlage vorhersagen soll.

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Geschwindigkeitsprofilen und Druckverlust liegt: Verwenden Sie die inkompressible Kontinuitätsgleichung zusammen mit den Navier-Stokes-Impulsgleichungen sowie Dichte und Viskosität, die den Betriebsbedingungen entsprechen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Wärmeübertragungsleistung liegt: Ergänzen Sie eine Energiegleichung und verwenden Sie die Strömungslösung, um Konvektion, Druckverlust und Wärmeübertragungsverhalten zu bestimmen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf dem Reaktorumsatz oder der Stoffverteilung liegt: Ergänzen Sie Stoff- oder Reaktionsbilanzen zu den hydrodynamischen Gleichungen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Flüssig-Flüssig- oder Gas-Flüssig-Prozessen liegt: Verwenden Sie phasenspezifische Erhaltungsgleichungen und berücksichtigen Sie Bedingungen für Grenzflächengeschwindigkeit, Spannung und Stoffübertragung.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf einer schnellen anlagentechnischen Auslegung liegt: Verwenden Sie validierte reduzierte Modelle, beispielsweise Korrelationen für Reibungsfaktoren, poröse Medien oder Verweilzeiten, und beachten Sie deren Betriebsgrenzen.

Bei klar angegebenen Annahmen und korrekt spezifizierten Randbedingungen bilden diese Erhaltungsgleichungen eine zuverlässige Grundlage für die Analyse des Fluidströmungsverhaltens in Pilotanlagen.

Übersichtstabelle:

Modellelement	Maßgebliche Beziehung	Hauptzweck
Massenerhaltung	∇ · v = 0	Gewährleistet die Kontinuität einer inkompressiblen Strömung
Impulserhaltung	ρ(∂v/∂t + v · ∇v) = −∇p + μ∇²v + ρg	Sagt Geschwindigkeits-, Druck-, viskose und Volumenkrafteffekte voraus
Newtonsches Viskositätsgesetz	τ = 2μD	Verknüpft die viskose Spannung mit der Verformungsgeschwindigkeit
Randbedingungen	Einlass-, Auslass-, Wand- und Anfangsbedingungen	Schließt das mathematische Modell
Zusätzliche Physik	Energie-, Stoff-, Reaktions- oder Mehrphasengleichungen	Erweitert das Modell für Wärmeübertragung, Reaktionen oder mehrere Phasen

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