Der viskose Spannungstensor wird als symmetrisch angenommen, da gewöhnliche Fluide keine unabhängigen mikroskopischen Drehmomente ausüben. Die Erhaltung des Drehimpulses an einem infinitesimalen Fluidelement erfordert daher, dass die Scherspannungen auf zueinander senkrechten Flächen gleich sind, wie z. B. (\tau_{xy}=\tau_{yx}). Dies reduziert die neun Komponenten eines Spannungstensors zweiter Ordnung auf sechs unabhängige Größen und ist für die konventionellen Fluide gültig, die in den meisten Pilotanlagen für Verfahrenstechnik verwendet werden.

Bei standardmäßigen Kontinuumsfluiden ist die Spannungssymmetrie eine Folge der Drehimpulserhaltung, nicht bloß eine mathematische Vereinfachung. Die Annahme kann versagen, wenn das Fluid interne Strukturen enthält oder verteilten Volumenmomenten ausgesetzt ist, die unabhängig von gewöhnlichen Oberflächenspannungen ein Drehmoment ausüben.

Warum Spannungssymmetrie verwendet wird

Der Spannungstensor repräsentiert Oberflächenkräfte

Der Cauchy-Spannungstensor beschreibt die Kraft, die über eine gedachte Fläche innerhalb des Fluids wirkt. Seine Diagonalelemente sind Normalspannungen, während seine Nicht-Diagonalelemente Scherspannungen sind.

In drei Dimensionen enthält der Tensor ursprünglich neun Komponenten:

[ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}. ]

Die Komponenten (\sigma_{xy}) und (\sigma_{yx}) beschreiben beispielsweise Spannungen, die mit zwei senkrechten Flächenorientierungen verbunden sind. Sie sind nicht automatisch gleich, nur weil sie dieselben zwei Koordinatenrichtungen verwenden.

Drehimpulserhaltung erzwingt die Einschränkung

Betrachten Sie ein infinitesimales rechteckiges Fluidelement. Wenn (\tau_{xy}) und (\tau_{yx}) ungleich wären, würden ihre Kräfte ein Netto-Drehmoment um die dritte Koordinatenachse erzeugen.

Für ein konventionelles Fluidelement ohne unabhängiges Volumendrehmoment muss der Drehimpuls erhalten bleiben. Das Rotationsgleichgewicht erfordert dann:

[ \tau_{xy}=\tau_{yx}, \qquad \tau_{xz}=\tau_{zx}, \qquad \tau_{yz}=\tau_{zy}. ]

Dasselbe gilt für den gesamten Spannungstensor. Da der Druckbeitrag isotrop ist,

[ \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}, ]

und (-p\mathbf{I}) bereits symmetrisch ist, ist der viskose Spannungstensor (\boldsymbol{\tau}) immer dann symmetrisch, wenn die Gesamtspannung symmetrisch ist.

Das Argument des infinitesimalen Elements

Die Oberflächenkräfte, die für ein mögliches Drehmoment verantwortlich sind, skalieren mit der Größe des Elements so, dass sie signifikant bleiben, wenn das Element schrumpft. Im Gegensatz dazu skaliert das Trägheitsmoment des Elements mit der fünften Potenz seiner charakteristischen Länge, während sein Volumen mit der dritten Potenz skaliert.

Wenn sich das Element der Größe Null nähert, wird der Beitrag der Rotationsträgheit im Vergleich zu dem durch ein Ungleichgewicht der Scherspannungen erzeugten Drehmoment vernachlässigbar. Ein endliches Spannungsungleichgewicht würde daher ein unausgeglichenes Drehmoment im Grenzfall des Fluidelements implizieren, daher müssen sich die Nicht-Diagonalkomponenten ausgleichen.

Dieses Argument setzt voraus, dass Spannungen und Beschleunigungen endlich bleiben und dass kein separates mikroskopisches Drehmoment innerhalb des Materials wirkt.

Warum dies bei der Analyse von Pilotanlagen wichtig ist

Konstitutive Gleichungen werden einfacher

Für ein isotropes newtonsches Fluid steht die viskose Spannung in folgendem Zusammenhang mit der Deformationsrate:

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I}, ]

wobei

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^{T} \right] ]

der symmetrische Deformationsratentensor ist.

Da (\mathbf{D}) symmetrisch ist, ist auch die newtonsche viskose Spannung symmetrisch. Für ein inkompressibles Fluid gilt (\nabla\cdot\mathbf{v}=0), wodurch die Scher- und Normalspannungen primär durch die dynamische Viskosität (\mu) gesteuert werden.

Standard-Verfahrenseinheiten erfüllen die Annahme

Die Annahme ist für gängige Arbeitsfluide in Pilotanlagen angemessen, einschließlich:

Luft und andere gewöhnliche Gase
Wasser und konventionelle newtonsche Flüssigkeiten
Viele Polymerlösungen
Typische Suspensionen und Schlämme, wenn sie als Kontinuumsfluide behandelt werden
Fluide in Rohrströmungs-, Wärmetauscher-, Misch- und Kolonnenströmungsexperimenten

Unter diesen Bedingungen beschreiben die üblichen Impulsgleichungen korrekt Druckabfall, Wandschubspannung, Geschwindigkeitsprofile, Mischspannungen und Strömungen durch Prozessanlagen.

Symmetrische Spannung ist etwas anderes als Rotation

Ein symmetrischer viskoser Spannungstensor bedeutet nicht, dass sich das Fluidelement nicht drehen kann. Der Geschwindigkeitsgradient kann in einen symmetrischen Deformationsratenanteil und einen antisymmetrischen Starrkörperrotationsanteil zerlegt werden:

[ \nabla\mathbf{v}

\mathbf{D} + \mathbf{W}, ]

wobei (\mathbf{D}) die Deformation und (\mathbf{W}) die lokale Rotation beschreibt.

Der antisymmetrische Teil des Geschwindigkeitsgradienten repräsentiert Vortizität oder Starrkörperrotation. Er ist für sich genommen keine antisymmetrische viskose Spannung.

Wann die Annahme versagt

Fluide mit Volumenmomenten

Die Spannungssymmetrie kann versagen, wenn ein Fluid ein verteiltes Volumendrehmoment erfährt, das manchmal als Volumenmoment bezeichnet wird. In diesem Fall kann der Drehimpuls sowohl durch gewöhnliche Oberflächenspannungen als auch durch ein unabhängiges Drehmoment ausgeglichen werden, das im gesamten Fluidvolumen wirkt.

Das Drehimpulsgleichgewicht erlaubt dann:

[ \sigma_{ij}\ne\sigma_{ji}. ]

Ein vollständiges Modell erfordert möglicherweise zusätzliche Momentenspannungsterme und in einigen Theorien eine separate Bilanzgleichung für die Rotation der Mikrostruktur des Fluids.

Polare und mikropolare Fluide

Polare oder mikropolare Fluide enthalten interne Bestandteile, die sich unabhängig vom Geschwindigkeitsfeld des Bulk-Fluids drehen können. Beispiele hierfür sind Fluide mit suspendierten asymmetrischen Partikeln, strukturierte Mikrofluide oder Materialien, die unter Verwendung von Kontinuumstheorien vom Cosserat-Typ modelliert werden.

Für diese Fluide kann ein lokales Element einen intrinsischen Rotationsfreiheitsgrad besitzen. Die klassische newtonsche konstitutive Beziehung ist dann unzureichend, und der antisymmetrische Teil der Spannung kann physikalische Informationen tragen, anstatt auf Null gezwungen zu werden.

Ferrofluide und extern aufgeprägte Felder

Ferrofluide enthalten magnetische Partikel, die mit einem angelegten Magnetfeld interagieren können. Magnetische Drehmomente können die Partikel drehen und Drehimpuls auf das Fluid übertragen.

In einem Modell, das die magnetischen Effekte als Volumenmoment behandelt, muss der mechanische Spannungstensor nicht symmetrisch sein. Die genaue Formulierung hängt davon ab, ob der magnetische Beitrag in die Fluidspannung einbezogen, durch Volumenkraft- und Volumenmomentterme dargestellt oder in eine breitere elektromagnetische Spannungsbilanz integriert wird.

Elektromagnetische und andere Kontinuumseffekte

Externe Felder können Kräfte und Drehmomente auf der Kontinuumsskala erzeugen. Ähnliche Überlegungen ergeben sich bei einigen elektrisch leitfähigen Fluiden, Flüssigkristallen, Suspensionen mit aktiver Partikelrotation und anderen strukturierten Materialien.

Das Kernproblem ist nicht einfach, dass das Fluid nicht-newtonsch ist. Viele nicht-newtonsche Fluide haben immer noch einen symmetrischen Cauchy-Spannungstensor. Das Versagen tritt auf, wenn das Materialmodell unabhängigen Drehimpuls, Momentenspannungen oder Volumendrehmomente beinhaltet.

Verständnis der Kompromisse

Die Annahme ist effizient, aber bedingt

Die Verwendung eines symmetrischen Spannungstensors reduziert die Anzahl der unabhängigen Spannungskomponenten von neun auf sechs. Dies vereinfacht die konstitutiven Gleichungen, Randbedingungen, numerischen Implementierungen und die Interpretation von Messungen im Pilotmaßstab erheblich.

Die Vereinfachung ist für gewöhnliche Fluide gerechtfertigt, da ihre internen molekularen Rotationen auf der Anlagenskala keine separat auflösbaren Drehmomente erzeugen.

Nicht-newtonsches Verhalten hebt die Symmetrie nicht automatisch auf

Viskoelastizität, Strukturviskosität, Dilatanz und Fließgrenzverhalten verändern die Beziehung zwischen Spannung und Deformation. Sie machen den Spannungstensor nicht notwendigerweise asymmetrisch.

Eine asymmetrische Spannung erfordert einen spezifischeren physikalischen Mechanismus, wie z. B. interne Partikelrotation oder ein angelegtes Volumenmoment.

Die Gültigkeit des Kontinuums ist eine separate Anforderung

Die Spannungssymmetrie setzt eine Kontinuumsbeschreibung voraus, in der lokale Spannungs- und Geschwindigkeitsfelder sinnvoll sind. Diese Beschreibung ist zuverlässig, wenn die Knudsen-Zahl,

[ \mathrm{Kn}=\frac{\ell_0}{\ell}, ]

ausreichend klein ist, wobei (\ell_0) die mittlere freie Weglänge der Moleküle und (\ell) die charakteristische Anlagenlänge ist.

Bei sehr kleinen Skalen oder in verdünnten Gasen können die Kontinuumsgleichungen selbst unzureichend werden. Das ist ein Versagen des Kontinuumsmodells, das sich von einem Versagen der Drehimpulssymmetrie innerhalb der Kontinuumsmechanik unterscheidet.

Elektromagnetische Buchführung kann zu Verwirrung führen

Ein mechanischer Spannungstensor kann asymmetrisch erscheinen, wenn elektromagnetische Kräfte und Drehmomente separat dargestellt werden. Die physikalisch relevante Gesamtdrehimpulsbilanz kann dennoch konsistent sein, sobald alle Beiträge von Feldern, Volumenkräften, Volumenmomenten und Oberflächenspannungen einbezogen sind.

Daher muss die scheinbare Asymmetrie innerhalb der gewählten Spannungsdefinition und der Formulierung der Bilanzgesetze interpretiert werden.

Anwendung auf die Analyse von Pilotanlagen

Für die meisten Berechnungen in der Verfahrenstechnik ist die Annahme der symmetrischen viskosen Spannung der richtige Ausgangspunkt:

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf konventioneller Rohrströmung oder Druckabfall liegt: Verwenden Sie ein symmetrisches newtonsches oder ein geeignetes verallgemeinertes newtonsches Spannungsmodell, wobei die Viskosität für das Fluid und die Betriebsbedingungen ausgewählt wird.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Wärmeaustausch oder Mischen mit gewöhnlichen Flüssigkeiten liegt: Behandeln Sie die viskose Spannung als symmetrisch und beurteilen Sie separat, ob die viskose Dissipation groß genug ist, um die Energiebilanz zu beeinflussen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Polymerlösungen, Schlämmen oder anderen nicht-newtonschen Fluiden liegt: Modifizieren Sie die konstitutive Beziehung für die Rheologie des Materials, aber nehmen Sie keine Asymmetrie an, es sei denn, das Fluid weist eine unabhängige Rotationsstruktur oder aufgeprägte Volumendrehmomente auf.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Ferrofluiden, Flüssigkristallen, partikelbeladenen Mikrofluiden oder feldreaktiven Materialien liegt: Prüfen Sie, ob das zugrunde liegende Modell Volumenmomente, Momentenspannungen oder mikrostrukturellen Drehimpuls enthält, bevor Sie eine Spannungssymmetrie erzwingen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf Strömungen im Mikromaßstab oder in verdünnten Gasen liegt: Überprüfen Sie die Kontinuumsannahme mithilfe der Knudsen-Zahl, bevor Sie sich auf konventionelle Spannungstensor-Gleichungen verlassen.

Für standardmäßige Pilotanlagen-Fluide ist die Spannungssymmetrie eine physikalisch gerechtfertigte Folge der Drehimpulserhaltung; spezialisierte Fluide erfordern ein Bilanzgesetz und ein konstitutives Modell, die explizit ihre zusätzlichen Drehmomente berücksichtigen.

Zusammenfassungstabelle:

Thema	Wichtige Erkenntnis
Warum Symmetrie gilt	Die Drehimpulserhaltung erfordert gleiche komplementäre Scherspannungen, wenn kein unabhängiges Volumendrehmoment existiert.
Standardmodell	Newtonsche und viele nicht-newtonsche Fluide verwenden einen symmetrischen viskosen Spannungstensor.
Relevanz für Pilotanlagen	Die Annahme unterstützt die Analyse von Rohrströmungen, Druckabfall, Mischen, Wärmeaustausch und Kolonnenprozessen.
Wann sie versagen kann	Volumenmomente, Momentenspannungen, mikropolare Fluide, Ferrofluide, Flüssigkristalle und rotierende Mikrostrukturen können asymmetrische Spannungen erzeugen.
Separate Betrachtung	Bei Strömungen in verdünnten Medien oder im Mikromaßstab muss die Gültigkeit des Kontinuums mit der Knudsen-Zahl überprüft werden.
Praktische Anleitung	Ändern Sie das konstitutive Modell nur dann, wenn physikalisch ein unabhängiger Drehimpuls oder ein verteiltes Drehmoment vorhanden ist.

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