Redundante Massenbilanzgleichungen treten auf, weil die Zusammensetzung der Ströme durch abhängige Beziehungen eingeschränkt ist. Bei der mehrstufigen Flüssigkeitsmischung müssen die Massenanteile von Wasser, Glukose, Nährstoffen und anderen Komponenten in der Summe eins ergeben. Wenn daher bereits eine Gesamtmassenbilanz und unabhängige Bilanzen für alle Komponenten bis auf eine enthalten sind, kann die Bilanz der verbleibenden Komponente aus diesen Gleichungen abgeleitet werden und liefert keine neuen Informationen.

Schreiben Sie in einem mehrstufigen Mischmodell nur so viele unabhängige Bilanzen auf, wie zur Bestimmung der unbekannten Durchflussraten und Zusammensetzungen erforderlich sind. Behalten Sie zusätzliche Bilanzen als Validierungsprüfungen bei, anstatt sie blind in das Gleichungssystem des Solvers aufzunehmen.

Warum Redundanz bei der mehrstufigen Mischung auftritt

Massenanteile enthalten eine implizite Einschränkung

Für einen Strom, der (n) Komponenten enthält, erfüllen die Massenanteile:

[ \sum_{i=1}^{n} w_i = 1 ]

Für Wasser, Glukose und Nährstoffe gilt:

[ w_{\text{Wasser}} + w_{\text{Glukose}} + w_{\text{Nährstoffe}} = 1 ]

Nur zwei dieser drei Massenanteile sind unabhängig. Sobald zwei bekannt sind, ergibt sich der dritte automatisch.

Gesamt- und Komponentenbilanzen können sich überschneiden

Eine Gesamtmassenbilanz für ein Mischgefäß kann wie folgt geschrieben werden:

[ \sum F_{\text{ein}} = \sum F_{\text{aus}} ]

Eine Komponentenbilanz für die Spezies (i) lautet:

[ \sum F_{\text{ein}} w_{i,\text{ein}}

\sum F_{\text{aus}} w_{i,\text{aus}} ]

Wenn für jede Spezies Komponentenbilanzen erstellt werden und zudem eine Gesamtbilanz enthalten ist, kann die Gesamtbilanz der Summe der Komponentenbilanzen entsprechen. Sie ist daher eine lineare Kombination bereits vorhandener Gleichungen.

Sequenzielle Einheiten erzeugen wiederholte Beziehungen

In einem mehrstufigen Prozess wird der Auslass eines Mischers zum Einlass des nächsten. Bilanzen um einzelne Gefäße beschreiben bereits die Materialflüsse durch die Sequenz.

Eine zusätzliche Gesamtbilanz über mehrere verbundene Gefäße kann einfach die Summe dieser Einheitsbilanzen sein. Sie kann zur Überprüfung der Erhaltung nützlich sein, liefert aber nicht notwendigerweise eine weitere unabhängige Gleichung.

Wie man das unabhängige Gleichungssystem bestimmt

Unabhängige Zusammensetzungsvariablen zählen

Verwenden Sie für (n) Komponenten, die durch Massenanteile beschrieben werden, maximal (n-1) unabhängige Zusammensetzungsvariablen pro Strom, da der letzte Anteil durch die Einschränkung der Summe auf eins festgelegt ist.

Definieren Sie beispielsweise bei Wasser, Glukose und Nährstoffen zwei Anteile explizit und berechnen Sie den dritten als:

[ w_{\text{Nährstoffe}}

1-w_{\text{Wasser}}-w_{\text{Glukose}} ]

Dies verhindert, dass das Modell drei eingeschränkte Anteile als drei unabhängige Unbekannte behandelt.

Gleichungen auf Unbekannte abstimmen

Listen Sie vor dem Lösen Folgendes auf:

Unbekannte Stromdurchflussraten
Unbekannte Komponentenanteile oder Konzentrationen
Bekannte Zufuhrzusammensetzungen
Bekannte Betriebsspezifikationen
Unabhängige Misch- oder Prozessbilanzen

Das Modell sollte genügend unabhängige Gleichungen enthalten, um die Unbekannten zu bestimmen, aber nicht mehrere Gleichungen, die dieselbe Einschränkung ausdrücken.

Matrixrang zur Überprüfung der Unabhängigkeit verwenden

Platzieren Sie bei einem linearen oder linearisierten Modell die Gleichungskoeffizienten in einer Matrix und bewerten Sie deren Rang.

Ein korrekt gestelltes quadratisches System erfordert im Allgemeinen:

[ \text{Rang}(A)

\text{Anzahl der unabhängigen Unbekannten} ]

Wenn der Rang niedriger als die Anzahl der Gleichungen ist, sind einige Gleichungen abhängig. Wenn der Rang niedriger als die Anzahl der Unbekannten ist, ist der Prozess unterbestimmt und erfordert zusätzliche unabhängige Informationen.

Bilanzen stufenweise prüfen

Identifizieren Sie für jedes Mischgefäß die unabhängigen Speziesbilanzen, die für die Unbekannten in dieser Einheit erforderlich sind. Vermeiden Sie es, automatisch jede mögliche Komponentenbilanz, Gesamtbilanz und Prozessgesamtbilanz zu schreiben, ohne zu prüfen, ob sie unabhängige Informationen hinzufügen.

Dies ist besonders wichtig, wenn mehrere Stufen gemeinsame Zufuhrströme oder feste Zusammensetzungen teilen.

Praktische Wege zum Umgang mit Redundanz

Eine abhängige Zusammensetzungsvariable eliminieren

Der einfachste Ansatz ist die direkte Verwendung der Einschränkung auf eins. Geben Sie (n-1) Massenanteile an und berechnen Sie den letzten.

Dies reduziert die Anzahl der Variablen und verhindert, dass der Solver ein Gleichungssystem mit einer inhärenten Abhängigkeit erhält.

Eine abhängige Bilanzgleichung weglassen

Behalten Sie alternativ alle Komponentenvariablen bei, lassen Sie aber eine Bilanz weg, die aus den anderen abgeleitet werden kann. Wenn beispielsweise die Gesamtbilanz und die Bilanzen für alle Spezies bis auf eine enthalten sind, lassen Sie die Bilanz der letzten Spezies weg.

Die weggelassene Beziehung ergibt sich mathematisch immer noch, wenn die verbleibenden Gleichungen korrekt formuliert sind.

Lösungsgleichungen von Prüfgleichungen trennen

Einige Gleichungen sollten erst verwendet werden, nachdem die Primärlösung erhalten wurde. Beispielsweise kann eine Gesamtmassenbilanz oder eine Anlagenbilanz als unabhängige Konsistenzprüfung ausgewertet werden.

Dies bewahrt den diagnostischen Wert der Gleichung, ohne die Solver-Matrix singulär oder rangdefizitär zu machen.

Eine unabhängige Basis oder Spezifikation verwenden

Das Modell muss eine klar definierte Basis haben, wie z. B. einen spezifizierten Zufuhr-Massenstrom, eine Chargengröße, ein Gefäßvolumen oder einen Referenzkomponentenstrom. Ohne eine unabhängige Basis können alle berechneten Flüsse skalierbare Versionen voneinander sein.

Eine Prozessspezifikation liefert Informationen, die eine redundante Bilanz nicht liefern kann.

Was redundante Bilanzen aufdecken können

Messprobleme erkennen

Setzen Sie nach dem Lösen der unabhängigen Bilanzen die gemessenen und berechneten Werte in eine redundante Bilanz ein. Ein von Null verschiedener Restwert kann auf Folgendes hinweisen:

Kalibrierungsfehler bei Durchflussmessern oder Rotametern
Falsche Zusammensetzungsanalyse
Einen nicht gemessenen Ein- oder Auslass
Ein Leck in Rohrleitungen, Ventilen oder Gefäßdichtungen

Die redundante Gleichung wird zu einer Materialbilanzprüfung.

Akkumulation oder Rückhalt identifizieren

Eine stationäre Bilanz nimmt an, dass sich kein Material ansammelt. In Pilotanlagen können Flüssigkeitsrückhalt, Wandablagerungen, Oberflächenadsorption oder sich ändernde Gefäßbestände diese Annahme verletzen.

Für eine dynamische Einheit muss die Bilanz die Akkumulation beinhalten:

[ \text{Ein} - \text{Aus} + \text{Erzeugung} - \text{Verbrauch}

\frac{d(\text{Masse im System})}{dt} ]

Ein Restwert bedeutet nicht automatisch, dass die Gleichung falsch formuliert wurde.

Weggelassene Reaktionen aufdecken

Bioprozessflüssigkeiten können Biomassewachstum, Substratverbrauch und Produktbildung enthalten. Wenn das Modell das System als nicht-reaktiven Mischer behandelt, während biologische oder chemische Reaktionen ablaufen, können gemessene Komponentenbilanzen fehlschlagen, selbst wenn die Gesamtmasse konsistent erscheint.

Speziesbilanzen müssen gegebenenfalls Reaktionserzeugung oder -verbrauch beinhalten.

Die Kompromisse verstehen

Das Entfernen von Gleichungen verbessert die numerische Lösbarkeit

Das Eliminieren abhängiger Gleichungen gibt dem Solver ein System mit vollem Rang und vermeidet Fehler wie singuläre Matrizen, Null-Pivots oder Warnungen vor inkonsistenten Gleichungen.

Der Kompromiss besteht darin, dass eine weggelassene Gleichung während der Lösung nicht mehr unabhängig erzwungen wird. Sie sollte daher nachträglich überprüft werden.

Das Beibehalten redundanter Gleichungen kann die Validierung unterstützen

Redundante Bilanzen sind wertvoll, wenn Messungen verrauscht sind oder das Modell zur Überprüfung der Leistung der Pilotanlage verwendet wird. Sie liefern Restwerte, die Lecks, Sensorfehler, Akkumulationen oder falsche Prozessannahmen aufdecken können.

Das Einbeziehen exakter doppelter Gleichungen in einen einfachen Solver verbessert jedoch nicht die Genauigkeit. Es kann das System stattdessen mathematisch singulär machen.

Reale Daten können Bilanzen inkonsistent erscheinen lassen

Exakte Redundanz gilt für die Modellgleichungen, aber gemessene Werte enthalten Fehler. Zwei mathematisch äquivalente Gleichungen können unterschiedliche numerische Restwerte erzeugen, wenn sie mit unvollkommenen Sensordaten gefüllt werden.

Verwenden Sie für gemessene Systeme ein dediziertes unabhängiges Modell zur Schätzung und verwenden Sie redundante Bilanzen für die Restwertanalyse oder die Datenabgleichung.

Überbestimmung kann das eigentliche Problem verbergen

Das Erzwingen einer exakten Schließung jeder Bilanz kann die Tatsache verbergen, dass der Prozess transient, reaktiv, undicht oder schlecht instrumentiert ist. Ein kontrollierter Restwert ist oft informativer als eine künstliche exakte Anpassung.

Die richtige Wahl für Ihr Ziel treffen

Verwenden Sie die Gleichungsstruktur bewusst, bevor Sie das mehrstufige Modell implementieren.

Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf einer stabilen Prozesssimulation liegt: Entfernen Sie abhängige Zusammensetzungsvariablen oder Bilanzgleichungen und überprüfen Sie dann, ob die Koeffizientenmatrix vollen Rang hat.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Validierung von Pilotanlagenmessungen liegt: Lösen Sie mit den unabhängigen Bilanzen und verwenden Sie die redundanten Gesamt- oder Anlagenbilanzen, um Erhaltungsrestwerte zu berechnen.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Diagnose eines Materialungleichgewichts liegt: Untersuchen Sie Reaktionen, Akkumulation, Lecks und Messfehler, bevor Sie die Bilanzgleichungen ändern.
Wenn Ihr Hauptaugenmerk auf der Modellierung biologischer Produktion liegt: Fügen Sie Terme für Biomasse-, Substrat- und Produkterzeugung oder -verbrauch hinzu, anstatt jede Stufe als nicht-reaktiven Mischer zu behandeln.

Ein fundiertes Modell unterscheidet zwischen Gleichungen, die zur Berechnung des Prozesses benötigt werden, und Gleichungen, die beibehalten werden, um zu testen, ob sich Prozess und Messungen konsistent verhalten.

Zusammenfassungstabelle:

Hauptproblem	Empfohlener Ansatz	Vorteil
Massenanteile summieren sich zu eins	Nur n-1 unabhängige Anteile verwenden	Verhindert abhängige Zusammensetzungsvariablen
Gesamt- und Komponentenbilanzen überschneiden sich	Eine ableitbare Bilanz aus dem Solver weglassen	Vermeidet singuläre oder rangdefizitäre Systeme
Mehrere Stufen wiederholen Beziehungen	Jedes Gefäß und den Gesamtprozess separat prüfen	Hält das Gleichungssystem unabhängig
Redundante Bilanzen enthalten nützliche Informationen	Als Validierungsprüfung nach der Lösung beibehalten	Hilft beim Erkennen von Lecks, Sensorfehlern und Akkumulation
Biologische Reaktionen beeinflussen Speziesbilanzen	Erzeugungs- und Verbrauchsterme einfügen	Verbessert die Modellgenauigkeit für Bioprozesse
Unbekannten Flüssen fehlt eine Referenzbasis	Zufuhrstrom, Chargengröße, Volumen oder Referenzstrom angeben	Macht das Modell identifizierbar
Gemessene Daten sind inkonsistent	Restwertanalyse oder Datenabgleich verwenden	Unterstützt zuverlässige Pilotanlagendiagnose

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